Решение задач по комбинаторике. В вазе 6 бананов 8 яблок и 9 апельсинов. Найдите вероятность того что вынутый фрукт не банан. Чтобы найти вероятность нужно положительные исходы поделить на все исходы значит 8 яблок 9 апельсинов на всю сумму фруктов получится 8917. 89623 1723 739
 Скачать 17.41 Kb.
|
|
В вазе 6 бананов 8 яблок и 9 апельсинов. Найдите вероятность того что вынутый фрукт не банан. Чтобы найти вероятность нужно положительные исходы поделить на все исходы значит 8 яблок + 9 апельсинов на всю сумму фруктов получится 8+9=17. 8+9+6=23 17/23=0.739 Вазе 6 яблок ,5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода? Если считать все яблоки одинаковыми, все груши одинаковыми и все сливы одинаковыми, то выбор любого яблока будет равнозначен, любой груши и любой сливы. Следовательно, независимо от количества каждого из фруктов, вариантов выбора столько же, сколько всего видов фруктов. По условию их три, значит, и вариантов выбора одного плода тоже три. Ответ: 3 варианта. Пракикум "Решение задач по комбинаторике" Разделы: Математика Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами…. К комбинаторным задачам относятся также задачи построения магических квадратов, задачи расшифровки и кодирования. Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков 17 века Блеза Паскаля (1623–1662) и Пьера Ферма (1601–1665) по теории азартных игр. Эти труды содержали принципы определения числа комбинаций элементов конечного множества. С 50-х годов 20 века интерес к комбинаторике возрождается в связи с бурным развитием кибернетики. Основные правила комбинаторики – это правило суммы и правило произведения. Правило суммы Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать n + m способами. Например, Если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать 5 + 6 = 11 способами. Правило произведения Если элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то пару А и В можно выбрать n • m способами. Например, если есть 2 разных конверта и 3 разные марки, то выбрать конверт и марку можно 6 способами (2 • 3 = 6). Правило произведения верно и в том случае, когда рассматривают элементы нескольких множеств. Например, если есть 2 разных конверта, 3 разные марки и 4 разные открытки, то выбрать конверт, марку и открытку можно 24 способами (2 • 3 • 4 = 24). Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называется n – факториалом и обозначается символом n! n! = 1 • 2 • 3 • 4 •…• n. Например, 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120. Принято считать 0! равным 1. Число перестановок из n равна n! Например, если есть 3 шарика – красный, синий и зелёный, то выложить их в ряд можно 6 способами (3 • 2 • 1 = 3! = 6). Иногда комбинаторная задача решается с помощью построения дерева возможных вариантов. Например, решим предыдущую задачу о 3-х шарах построением дерева. Практикум по решению задач по комбинаторике. ЗАДАЧИ и решения 1. В вазе 6 яблок, 5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода? 6 + 5 + 4 = 15 Ответ: 15 вариантов. 2. Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2 алые и 4 жёлтые розы? 3 + 2 + 4 = 9 Ответ: 9 вариантов. 3. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С ведут три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С? 5 • 3 = 15 Ответ: 15 путей. 4. Сколькими способами можно составить пару из одной гласной и одной согласной букв слова «платок»? гласные: а, о – 2 шт. согласные: п, л, т, к – 4 шт. 2 • 4 = 8 Ответ: 8 способами. 5. Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек? 6 • 8 = 48 Ответ: 48 пар. 6. В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно заказать? 4 • 8 = 28 Ответ: 28 вариантов. 7. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры могут повторяться? 1 цифра – 3 способа 2 цифра – 3 способа 3 цифра – 3 способа 3 • 3 = 9 Ответ: 9 различных двузначных чисел. 8. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5, если цифры могут повторяться? 1 цифра – 2 способа 2 цифра – 2 способа 3 цифра – 2 способа 2 • 2 • 2 = 8 Ответ: 8 различных чисел. 9. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры могут повторяться? 1 цифра – 3 способа 2 цифра – 4 способа 3 • 4 = 12 Ответ: 12 различных чисел. 10. Сколько существует трёхзначных чисел, у которых все цифры чётные? Чётные цифры – 0, 2, 4, 6, 8. 1 цифра – 4 способа 2 цифра – 5 способов 3 цифра – 5 способов 4 • 5 • 5 = 100 Ответ: существует 100 чисел. 11. Сколько существует четных трёхзначных чисел? 1 цифра – 9 способов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) 2 цифра – 10 способов (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) 3 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8) 9 • 10 • 5 = 450 Ответ: существует 450 чисел. 12.Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из трёх различных цифр 4, 5, 6? 1 цифра – 3 способа 2 цифра – 2 способа 3 цифра – 1 способ 3 • 2 • 1 = 6 Ответ: 6 различных чисел. 13. Сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы А, В, С, D? 1 вершина – 4 способа 2 вершина – 3 способа 3 вершина – 2 способа 4 • 3 • 2 = 24 Ответ: 24 способа. 14. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,при условии, что ни одна цифра не повторяется? 1 цифра – 5 способов 2 цифра – 4 способа 3 цифра – 3 способа 5 • 4 • 3 = 60 Ответ: 60 различных чисел. 15. Сколько различных трёхзначных чисел, меньших 400, можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если любая из этих цифр может быть использована только один раз? 1 цифра – 2 способа 2 цифра – 4 способа 3 цифра – 3 способа 2 • 4 • 3 = 24 Ответ: 24 различных числа. 16. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трёх горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал шести цветов? 1 полоса – 6 способов 2 полоса – 5 способов 3 полоса – 4 способа 6 • 5 • 4 = 120 Ответ: 120 способов. 17. Из класса выбирают 8 человек, имеющих лучшие результаты по бегу. Сколькими способами можно составить из них команду из трёх человек для участия в эстафете? 1 человек – 8 способов 2 человек – 7 способов 3 человек – 6 способов 8 • 7 • 6 = 336 Ответ: 336 способов. 18. В четверг в первом классе должно быть четыре урока: письмо, чтение, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день? 1 урок – 4 способа 2 урок – 3 способа 3 урок – 2 способа 4 урок – 1 способ 4 • 3 • 2 • 1 = 24 Ответ: 24 варианта. 19. В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки разные? 1 урок – 8 вариантов 2 урок – 7 вариантов 3 урок – 6 вариантов 4 урок – 5 вариантов 5 урок – 4 варианта 8 • 7 • 6 • 5 • 4 = 6720 Ответ: 6720 вариантов. 20. Шифр для сейфа составляется из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра? 1 цифра – 5 способов 2 цифра – 4 способа 3 цифра – 3 способа 4 цифра – 2 способа 5 цифра – 1 способ 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 Ответ: 120 вариантов. 21. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов? 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720 Ответ: 720 способов. 22. Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с нуля и 9? 1 цифра – 8 способов 2 цифра – 10 способов 3 цифра – 10 способов 4 цифра – 10 способов 5 цифра – 10 способов 6 цифра – 10 способов 7 цифра – 10 способов 8 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 = 8.000.000 Ответ: 8.000.000 вариантов. 23. Телефонная станция обслуживает абонентов, у которых номера телефонов состоят из 7 цифр и начинаются с 394. На сколько абонентов рассчитана эта станция? № телефона 394 10 • 10 • 10 • 10 = 10.000 Ответ: 10.000 абонентов. 24. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну перчатку на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров? Левые перчатки – 6 способов Правые перчатки – 5 способов (6 перчатка того же размера, что и левая) 6 • 5 = 30 Ответ: 30 способов. 25 . Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляют пятизначные числа, в которых все цифры разные. Сколько таких чётных чисел? 5 цифра – 2 способа (две чётные цифры) 4 цифра – 4 способа 3 цифра – 3 способа 2 цифра – 2 способа 1 цифра – 1 способ 2 • 4 • 3 • 2 • 1 = 48 Ответ: 48 чётных чисел. 26. Сколько существует четырёхзначных чисел, составленных из нечётных цифр и делящихся на 5? Нечётные цифр – 1, 3, 5, 7, 9. Из них делятся на 5 – 5. 4 цифра – 1 способ (цифра 5) 3 цифра – 4 способа 2 цифра – 3 способа 1 цифра – 2 способа 1 • 4 • 3 • 2 = 24 Ответ: 24 числа. 27. Сколько существует пятизначных чисел, у которых третья цифра – 7, последняя цифра – чётная? 1 цифра – 9 способов (все, кроме 0) 2 цифра – 10 способов 3 цифра – 1 способ (цифра 7) 4 цифра – 10 способов 5 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8) 9 • 10 • 1 • 10 • 5 = 4500 Ответ: 4500 чисел. 28. Сколько существует шестизначных чисел, у которых вторая цифра – 2, четвёртая – 4, шестая – 6, а все остальные – нечётные? 1 цифра – 5 вариантов (из 1, 3, 5, 7, 9) 2 цифра – 1 вариант (цифра 2) 3 цифра – 5 вариантов 4 цифра – 1 вариант (цифра 4) 5 цифра – 5 вариантов 6 цифра – 1 вариант (цифра 6) 5 • 1 • 5 • 1 • 5 • 1 = 125 Ответ: 125 чисел. 29.Сколько различных чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр 8 и 9? Однозначных – 2 Двузначных – 2 • 2 = 4 Трёхзначных – 2 • 2 • 2 = 8 Четырёхзначных – 2 • 2 • 2 • 2 =16 Пятизначных – 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32 Шестизначных – 2 • 2 • 2 • 2 2 • 2 = 64 Всего: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126 Ответ: 126 чисел. 30. В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? Капитан – 11 способов Заместитель – 10 способов 11 • 10 = 110 Ответ: 110 способов. 31.В классе учатся 30 человек. Сколькими способами из них можно выбрать старосту и ответственного за проездные билеты? Староста – 30 способов Ответ. за билеты – 29 способов 30 • 29 = 870 Ответ: 870 способов. 32. В походе участвуют 12 мальчиков, 10 девочек и 2 учителя. Сколько вариантов групп дежурных из трёх человек (1 мальчик, 1 девочка, 1 учитель) можно составить? 12 • 10 • 2 = 240 Ответ: 240 способов. 33. Сколько комбинаций из четырёх букв русского алфавита (в алфавите всего 33 буквы) можно составить при условии, что 2 соседние буквы будут разными? 1 буква – 33 способа 2 буква – 32 способа 3 буква – 32 способа 4 буква – 32 способа 33 • 32 • 32 • 32 = 1.081.344 Ответ: 1.081.344 комбинаций. |