Расчетка по теории вероятностей. Расчетка_1_ТВиМС-2021_Варианты 1-16. Вариант 11. Из чисел от 1 до 100 наугад выбраны два разных числа. События a и b соответственно означают, что выбрано хотя бы одно нечетное число и хотя бы одно четное число. Что означают события ab и AB2

• Название: Вариант 11. Из чисел от 1 до 100 наугад выбраны два разных числа. События a и b соответственно означают, что выбрано хотя бы одно нечетное число и хотя бы одно четное число. Что означают события ab и AB2
• Анкор: Расчетка по теории вероятностей
• Дата: 25.12.2021
• Размер: 399.89 Kb.
• Имя файла: Расчетка_1_ТВиМС-2021_Варианты 1-16.pdf
• Тип: Документы; #317826
• страница: 3 из 3

8. Случайная величина X задана функцией плотности
( )
ln
f x
c
x

при
1 3
x
 
и
( )
0
f x

при
 
1;3
x

Найти: 1) коэффициент с, функцию распределения, 2) D[X], Р(X < 2,5), P(2 ≤ X ≤ 4); 3) плотность распределения случайной величины
3 1
Z
X


9. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
( )
F x
x

при
1 2
,
c
x
c
 
( )
2 0, 5
F x
x


при
2 3
,
c
x
c
 
( )
1
F x

при
3
x
c

и
( )
0
F x

при
1
x
c

Найти:
1 2
3
,
, ,
c c c
M[Х],
квантиль уровня 0,2.
10. Найти константу, к которой сходится с вероятностью единица последовательность


1
/
n
X
X
n
 

,
если
1
,
,
n
X
X

независимы и имеют плотность распределения
  

1
,
1.
f x
x
x






Найти для каких значений параметра

эта сходимость имеет место.
11. Время ожидания поезда метро за одну поездку имеет равномерное распределение на отрезке от 0 до 5
минут. Оценить вероятность того, что не менее 2-x раз из 40 поездок время ожидания оказалось больше 4,5
минут.

12
Вариант 12
1. Брошены четыре монеты. Пусть событие A состоит в том, что по крайней мере на двух монетах выпал герб, а событие B – в том, что хотя бы на двух монетах выпала решка. Описать события AB,
,
AB AB
2. В шахматном матче участвуют 4 пары шахматистов. Вероятность ничьей в каждой партии равна 1/4.
Найти вероятность того, что в матче будет хотя бы одна ничья.
3. На отрезке единичной длины наудачу поставлены две точки, в результате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части. Определить вероятность того, что длина каждой из первых двух частей не превосходит 3/5, длина же последней части больше 1/2.
4. На сборку поступают детали с четырех автоматов. Первый и второй автоматы дают по 40 %, а третий и четвертый по 10 % всех деталей, необходимых для сборки. Брак в продукции первого и второго автомата составляет 1 %, а третьего и четвертого – 4 %. Деталь, изготовленная автоматом, оказалась бракованной.
Какова вероятность того, что она изготовлена на первом автомате?
5. Электрическая цепь состоит из элементов
k
A
, соединенных по следующей схеме:
Вероятность выхода из строя элемента
k
A
равна 0,1. Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь не будет пропускать ток.
6. Вероятность успеха в схеме Бернулли в 7 раз меньше вероятности неудачи. Для каждого целого k найти вероятность того, что в 3 испытаниях будет k успехов.
7. Вероятность отказа сервера при каждом из независимых подключений с помощью модема равна 0,2.
Попытки подключения производятся до установления связи. 1) Найти ряд распределения X – числа произведенных попыток подключения, если число попыток ограничено тремя. Построить график функции распределения X. 2) Найти таблицу распределения случайной величины Y = (X–1/2)
2

, математическое ожидание и стандартное отклонение X.
8. Случайная величина X задана функцией плотности
( )
ln
f x
cx
x

при
1 2
x
 
и
( )
0
f x

при
 
1; 2
x

. Найти:
1) коэффициент с, функцию распределения, 2) D[X], Р(X < 1,5),
P(1,5 ≤ X ≤ 4);
3) плотность распределения случайной величины Z = 2X
2
9. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
( )
1
F x
x
 
при
0
c
x
 
и
( )
0
F x

при
x
c

Найти:
,
c
M[Х], квантиль уровня 0,1.
10. Найти константу, к которой сходится с вероятностью единица последовательность


2 2
1
/
n
X
X
n
 

,
если
1
,
,
n
X
X

независимы и имеют плотность распределения
 
2 2
/
2 2
,
0.
x
x
f x
e
x





Найти для каких значений параметра

эта сходимость имеет место.
11. Количество воды, расходуемое жителями одной квартиры в сутки, имеет показательное распределение со средним значением 100 литров. Оценить вероятность того, что по крайней мере в трех квартирах потребление воды не будет меньше 5 литров.

13
Вариант 13
1. На отрезке [0, 1] наудачу ставятся две точки. Построить подходящее пространство элементарных исходов и описать событие A, означающее, что вторая точка ближе к правому концу отрезка [0, 1], чем к левому, и событие B, означающее, что расстояние между двумя точками меньше половины длины отрезка, а также событие AB.
2. Трое женщин и трое мужчин садятся случайным образом за круглый стол. Найти вероятность того, что мужчины и женщины за столом будут чередоваться.
3. Случайная точка A наудачу выбирается в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. найти вероятность того,
что расстояние от А до ближайшей стороны прямоугольника не превосходит 1/3.
4. Студент выучил к зачету только 10 вопросов из 30. Для получения зачета достаточно ответить на два из четырех разных вопросов. Какова вероятность того, что зачет будет получен? Какова вероятность того, что студент ответил не менее чем на три вопроса, если известно, что он получил зачет?
5. Вероятность установления соединения с сервером при каждой попытке равна 0,9. Найти вероятность того, что соединение будет установлено не раньше четвертой попытки.
6. Вероятность успеха в схеме Бернулли в 2 раза больше вероятности неудачи. Для каждого целого k найти вероятность того, что в 3 испытаниях будет k успехов.
7. Пользователь компьютера забыл пароль и перебирает наудачу 5 возможных. После четырех неудачных попыток компьютер блокируется. 1) Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа попыток X. Построить график функции распределения X. 2) Найти таблицу распределения случайной величины Y = (X–1/2)
2

, математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины X.
8. Случайная величина X задана функцией плотности
4
( )
f x
cx


при
1
x

и
( )
0
f x

при
1
x

. Найти: 1)
коэффициент с, функцию распределения, 2) D[X], Р(X < 1,5),
P(0 ≤ X ≤ 3); 3) плотность распределения случайной величины Z = 1/X.
9. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
( )
0, 5 1
F x
x


при
4
c
x
 
и
( )
0
F x

при
x
c

Найти:
,
c
M[Х], квантиль уровня 0,3.
10. Найти константу, к которой сходится с вероятностью единица последовательность


3 3
1
/
n
X
X
n
 

,
если
1
,
,
n
X
X

независимы и имеют плотность распределения
 
3 2
/
3
,
0,
0,
0.
x
x
e
x
f x
x






 



Найти для каких значений параметра

эта сходимость имеет место.
11. Взвешивают груз, находящийся в 200 мешках. Каждый из мешков может быть поврежден с вероятностью 0,03. Найти вероятность того, что повреждено более 3 мешков.

14
Вариант 14
1. Из множества супружеских пар выбирается одна пара. Событие A = {мужу больше 25 лет}, событие B =
{муж старше жены}, событие C = {жене больше 25 лет}. Выяснить смысл событий:
\
,
A AB ABC
2. Собрались вместе три незнакомых человека. Найти вероятность, что хотя бы у двух из них совпадают дни рождения. Предполагается, что вероятность родиться в любой из 365 дней одна и та же.
3. На отрезке AB наудачу выбираются две точки M и N. Какова вероятность того, что точка M окажется по крайней мере вдвое ближе к точке A, чем к точке N?
4. Прибор состоит из четырех независимо работающих блоков, вероятности отказа которых за смену равны соответственно 0,01, 0,02, 0,03 и 0,04. Вероятность выхода из строя прибора при отказе одного из блоков равна 0,8; при отказе более чем одного блока – 1. Определить вероятность выхода прибора из строя за смену. Найти вероятность того, что отказал один блок, если известно, что прибор вышел из строя.
5. Электрическая цепь состоит из элементов
k
A
, соединенных по следующей схеме:
Вероятность выхода из строя элемента
1
A
равна 0,1, остальных элементов
k
A
– по 0,4. Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь будет пропускать ток.
6. Вероятность успеха в схеме Бернулли в 2 раза меньше вероятности неудачи. Для каждого целого k найти вероятность того, что в 4 испытаниях будет k успехов.
7. При игре с автоматом в случае выигрыша игрок получает 10 рублей. Для участия в игре игрок бросает в автомат 5 рублей. Вероятность выигрыша равна 0,2. 1) Найти ряд распределения X – величины выигрыша.
Построить график функции распределения X. (В случае проигрыша величина выигрыша считается отрицательным числом, равным величине проигрыша, взятой со знаком «минус».) 2) Найти таблицу распределения случайной величины Y = 20 – 2X, математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины X.
8. Случайная величина X задана функцией плотности
1
( )
f x
c
x

 
при
1 3
x
 
и
( )
0
f x

при
 
1;3
x

. Найти: 1) коэффициент с, функцию распределения, 2) D[X], Р(X < 2,5), P(2 ≤ X ≤ 4); 3) плотность распределения случайной величины ln(
1).
Z
X


9. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
1
( )
4
x
F x


при
5
c
x
 
и
( )
0
F x

при
x
c

Найти:
,
c
M[Х], квантиль уровня 0,4.
10. Найти константу, к которой сходится с вероятностью единица последовательность


1
/
n
X
X
n
 

,
если
1
,
,
n
X
X

независимы и имеют плотность распределения
 
2
/
2 1
,
0,
2 0,
0.
x
e
x
f x
x
x






 



Найти для каких значений параметра

эта сходимость имеет место.
11. Количество десятикопеечных монет, необходимое для выдачи каждой сдачи в кассе, принимает значения от 0 до 4 с равными вероятностями. В кассе в начале рабочего дня находится 2500
десятикопеечных монет. При каком количестве выдач сдачи будет выдано с вероятностью не менее 0,999
хотя бы раз 4 десятикопеечных монеты.

15
Вариант 15
1. Брошены две игральные кости. Пусть событие A состоит в том, что выпавшая сумма очков нечетна, а событие B – в том, что хотя бы на одной из костей выпала тройка. Описать события
AB
и
AB
2. Из полного набора костей домино наудачу берутся пять костей. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы одна с шестеркой.
3. На линейке наудачу поставлены 2 точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними окажется больше половины длины линейки?
4. Первое орудие 2-орудийной батареи пристреляно так, что вероятность попадания для него равна 3/11.
Для второго орудия она равна 1/5. Батарея дала залп по цели. Найти вероятность того, что цель поражена.
Найти вероятность того, что первое орудие попало в цель, если известно, что цель была поражена. Для поражения цели достаточно одного попадания.
5. Два стрелка поочередно стреляют по одной и той же мишени. У каждого стрелка 2 патрона. При первом попадании стрельба прекращается. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка 0,3, для второго – 0,4. Найти вероятность того, что оба стрелка израсходуют весь свой боезапас.
6. Вероятность успеха в схеме Бернулли в 4 раза меньше вероятности неудачи. Для каждого целого k найти вероятность того, что в 3 испытаниях будет k успехов.
7. Вероятность приема отдельного сигнала равна 0,8. Радиосигнал передается 4 раза. 1) Найти ряд распределения X – числа принятых сигналов. Найти вероятность того, что принятых сигналов будет не меньше 2, но не больше 3. 2) Найти таблицу распределения случайной величины Y = (X–1/2)
2

,
математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины X.
8. Случайная величина X задана функцией плотности
( )
/ 20
f x
c
x
 
при
1 3
x
 
и
( )
0
f x

при
 
1;3
x

. Найти: 1) коэффициент с, функцию распределения, 2) D[X], Р(X < 2,5), P(2 ≤ X ≤ 4); 3) плотность распределения случайной величины
2 1
X
Z
e


9. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
2
( )
6
x
F x


при
4
c
x
 
и
( )
0
F x

при
x
c

Найти:
,
c
M[Х], квантиль уровня 0,5.
10. Найти константу, к которой сходится с вероятностью единица последовательность


1
/
n
X
X
n
 

,
если
1
,
,
n
X
X

независимы и имеют плотность распределения
 
2
/
2 1
,
0,
0,
0.
x
e
x
f x
x






 



Найти для каких значений параметра

эта сходимость имеет место.
11. Продолжительность разговора по телефону имеет показательное распределение с параметром

= 2
мин
1

. Оцените вероятность того, что длительность хотя бы двух разговоров окажется меньше 5 секунд.

16
Вариант 16
1. События: A – хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный, B – все приборы доброкачественные. Что означают события A

B и AB?
2. В ящике лежат 3 черных и 3 белых шара. Найти вероятность того, что при последовательном случайном извлечении шаров из ящика сначала вынут все белые шары.
3. На отрезке единичной длины наудачу поставлены две точки, в результате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части. Определить вероятность того, что длина каждой из трех получившихся частей не меньше 1/6.
4. Запрос абонента автоматически с равными вероятностями направляется на один из двух серверов.
Вероятность возникновения сбоя в работе первого сервера равна 0,1, второго – 0,01. Какова вероятность того, что запрос будет обслужен без сбоя? Какова вероятность того, что абонент обслуживался на первом сервере, если известно, что он был обслужен без сбоя?
5. Вероятность изготовления некачественной детали равна 0,2. Найти вероятность того, что из 4 деталей найдется хотя бы одна качественная.
6. Вероятность успеха в схеме Бернулли в 2 раза больше вероятности неудачи. Для каждого целого k найти вероятность того, что в 4 испытаниях будет k успехов.
7. Вероятность попадания в мишень равна 0,8 при каждом выстреле. Стрельба ведется одиночными выстрелами до первого попадания, пока не будет израсходован боезапас. 1) Найти ряд распределения,
математическое ожидание и дисперсию X – числа произведенных выстрелов, если боезапас составляет 4
единицы. Построить график функции распределения X. 2)
Найти таблицу распределения случайной величины Y = (X – 1/2)
2

, математическое ожидание и стандартное отклонение X.
8. Случайная величина X задана функцией плотности
( )
3
x
f x
c
 
при
1 1
x
  
и
( )
0
f x

при


1;1
x
 
. Найти: 1) коэффициент с, функцию распределения, 2) D[X], Р(X ≤ 0,5); Р(0 <X <2); 3) плотность распределения случайной величины Z = 2X
3
–1.
9. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
1
( )
4
x
F x


при
3
c
x
 
и
( )
0
F x

при
x
c

Найти:
,
c
M[Х], квантиль уровня 0,8.
10. Найти константу, к которой сходится с вероятностью единица


3 3
1
/
n
X
X
n
 

, если
1
,
,
n
X
X

независимы и имеют плотность распределения
 
2
/
2 3
,
0,
2 0,
0.
x x
x
e
x
f x
x






 



Найти для каких значений параметра

эта сходимость имеет место.
11. Участник лотереи бросает игральную кость 60 раз. Оценить вероятность того, что не менее 18 раз выпадет число «3» или число «4».