Расчетка по теории вероятностей. Расчетка_1_ТВиМС-2021_Варианты 1-16. Вариант 11. Из чисел от 1 до 100 наугад выбраны два разных числа. События a и b соответственно означают, что выбрано хотя бы одно нечетное число и хотя бы одно четное число. Что означают события ab и AB2

• Название: Вариант 11. Из чисел от 1 до 100 наугад выбраны два разных числа. События a и b соответственно означают, что выбрано хотя бы одно нечетное число и хотя бы одно четное число. Что означают события ab и AB2
• Анкор: Расчетка по теории вероятностей
• Дата: 25.12.2021
• Размер: 399.89 Kb.
• Имя файла: Расчетка_1_ТВиМС-2021_Варианты 1-16.pdf
• Тип: Документы; #317826
• страница: 2 из 3

5. Электрическая цепь состоит из элементов
k
A
, соединенных по следующей схеме:
Вероятность выхода из строя элемента
2
A
равна 0,01, остальных элементов
k
A
– по 0,1. Предполагается,
что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь будет пропускать ток.
6. Вероятность успеха в схеме Бернулли в 1,5 раза меньше вероятности неудачи. Для каждого целого k
найти вероятность того, что в 4 испытаниях будет k успехов.
7. Два игрока играют в шахматы на деньги. Известно, что в среднем из 4 партий одну выигрывает первый игрок, одна заканчивается вничью, и две выигрывает второй игрок. В случае проигрыша первый игрок платит второму 5 рублей, а в случае выигрыша получает от второго 10 рублей. 1) Найти ряд распределения
X
– суммы выигрыша в одной партии (отрицательный выигрыш – это проигрыш, взятый со знаком
«минус»). Построить график функции распределения X. 2) Найти таблицу распределения случайной величины
/10 2
X
Y


, математическое ожидание и стандартное отклонение X.
8. Случайная величина X задана функцией плотности
2
( )
f x
cx

при
1 3
x
 
и
( )
0
f x

при
 
1;3
x

Найти: 1) коэффициент с, функцию распределения, 2) D[X], Р(X < 2,5), P(2 ≤ X ≤ 4); 3) плотность распределения случайной величины ln(
1).
Z
X


9. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения


( )
2 / 4
F x
x


при 2 x c
  
и
( )
1
F x

при
x
c

Найти:
,
c
M[Х], квантиль уровня 0,8.
10. Найти константу, к которой сходится с вероятностью единица последовательность


3 3
1
/
n
X
X
n
 

,
если
1
,
,
n
X
X

независимы и имеют плотность распределения
 
/
3
,
0.
2
x x
x
f x
e
x





При каких значений параметра

эта сходимость имеет место?
11. При включении лампы она перегорает с вероятностью 0,001. Найти вероятность того, что 5 ламп хватит на 2000 включений.

7
Вариант 7
1. Две игральные кости бросаются 1 раз. Описать пространство элементарных исходов. Пусть событие A
означает, что на первой кости выпало четное число, а на второй больше очков, чем на первой, а событие B –
на второй выпало 4 очка. Описать события AB и
AB
2. Бросают 5 монет. Какова вероятность того, что на них выпадут и орлы и решки?
3. На отрезке единичной длины наудачу поставлены две точки, в результате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части. Определить вероятность того, что длина максимальной части из трех получившихся частей не превосходит 4/5.
4. Одинаковые детали поступают на сборку с трех заводов. Первый завод дает 10 %, второй 40 %, третий 50
% всех деталей, необходимых для сборки. Брак в продукции первого завода составляет 2 %, второго – 3 %,
третьего – 4 %. Найти вероятность поступления на сборку бракованной детали. Найти вероятность того, что оказавшаяся бракованной деталь изготовлена на первом заводе.
5. Электрическая цепь состоит из элементов
k
A
, соединенных по следующей схеме:
Вероятность выхода из строя каждого элемента
k
A
равна 0,2. Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь будет пропускать ток.
6. Вероятность успеха в схеме Бернулли в 7 раз больше вероятности неудачи. Для каждого целого k найти вероятность того, что в 3 испытаниях будет k успехов.
7. Для трех саженцев вероятности успешно вынести пересадку равны 0,5, 0,6 и 0,8. 1) Найти ряд распределения X – числа вынесших пересадку саженцев. Построить график функции распределения X. 2)
Найти таблицу распределения случайной величины Y = (X–1/2)
2

, математическое ожидание и стандартное отклонение X.
8. Случайная величина X задана функцией плотности
2
( )
f x
cx

при
2 2
x
  
и
( )
0
f x

при


2; 2
x
 
. Найти: 1) коэффициент с, функцию распределения, 2) D[X],
Р(X < 1,5), P(0 ≤ X ≤ 3);
3) плотность распределения случайной величины
2
Z
X

9. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
2
( )
F x
x

при
0
x
c
 
и
( )
1
F x

при
x
c

Найти:
,
c
M[Х], квантиль уровня 0,16.
10. Найти константу, к которой сходится с вероятностью единица последовательность


1
/
n
X
X
n
 

,
если
1
,
,
n
X
X

независимы и имеют плотность распределения
 


1 /
1
,
1,
0,
1.
x
x
f x
x



 



 



Найти для каких значений параметра

эта сходимость имеет место.
11. Время ожидания троллейбуса за одну поездку имеет равномерное распределение на отрезке от 0 до 15
минут. Совершено 40 поездок. Оценить вероятность того, что время ожидания хотя бы раз окажется меньше 30 секунд.

8
Вариант 8
1. Брошены три монеты. Описать события A ={выпало не больше двух гербов и по крайней мере одна решка} и B = {выпало не менее одного герба и хотя бы одна решка}. Описать также события AB,
AB
2. В шахматном турнире участвуют 16 человек, которые разбиваются на пары по жребию и играют по олимпийской системе (проигравший выбывает из игры, ничьих нет). Какова вероятность того, что второй по силе шахматист не попадет в финал?
3. На отрезке единичной длины наудачу поставлены две точки, в результате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части. Определить вероятность того, что сумма длин первых двух частей не превосходит длины последней части.
4. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 50 %, а второй 30 % всех деталей,
необходимых для сборки. Брак в продукции первого автомата составляет 1 %, второго – 2 %, а третьего – 4
%. Деталь, изготовленная автоматом, оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом автомате?
5. Электрическая цепь состоит из элементов
k
A
, соединенных по следующей схеме:
Вероятность выхода из строя элемента
k
A
равна 0,1. Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь не будет пропускать ток.
6. Вероятность успеха в схеме Бернулли равна вероятности неудачи. Для каждого целого k найти вероятность того, что в 6 испытаниях будет k успехов.
7. Вероятность отказа сервера при каждом из независимых подключений с помощью модема равна 0,2.
Попытки подключения производятся до установления связи. 1) Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию X – числа произведенных попыток подключения, если число попыток ограничено пятью. Построить график функции распределения X. 2) Найти таблицу распределения случайной величины
Y = (X–1/2)
2

, математическое ожидание и стандартное отклонение X.
8. Случайная величина X задана функцией плотности
3
( )
f x
c x

при
1 1
x
  
и
( )
0
f x

при


1;1
x
 
. Найти: 1) коэффициент с, функцию распределения, 2) D[X], Р(X < 0); Р(0,5<X <2); 3) плотность распределения случайной величины Z = X
3
9. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
2
( )
16
x
F x

при
0
x
c
 
и
( )
1
F x

при
x
c

Найти:
,
c
M[Х], квантиль уровня 0,25.
10. Найти константу, к которой сходится с вероятностью единица последовательность


2 2
1
/
n
X
X
n



,
если
1
,
,
n
X
X

независимы и имеют плотность распределения
  

1
,
1,
0,
1.
x
x
f x
x



 


 


Найти для каких значений параметра

эта сходимость имеет место.
11. Количество воды, расходуемое жителями одной квартиры в сутки, имеет показательное распределение со средним значением 200 литров. Оценить вероятность того, что хотя бы в двух из 50 квартир потребление воды превысит 1000 литров.

9
Вариант 9
1. Случайная точка A наудачу выбирается в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. Описать событие,
означающее, что расстояние от A до каждой стороны прямоугольника не превосходит 1/2.
2. На полке в случайном порядке расставлены 8 книг, в том числе двухтомник Мандельштама. Найти вероятность того, что один из томов Мандельштама окажется у правого края полки, а другой – у левого.
3. На отрезке единичной длины наудачу поставлены две точки, в результате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части. Определить вероятность того, что сумма длин последних двух частей не превосходит длины первой части.
4. Студент выучил к экзамену только 30 вопросов из 40. Для сдачи экзамена достаточно ответить на два из четырех разных вопросов. Какова вероятность того, что экзамен будет сдан? Какова вероятность того, что студент ответил на все четыре вопроса, если известно, что он сдал экзамен?
5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. По мишени стреляют одиночными выстрелами до первого попадания, после чего стрельбу прекращают. Найти вероятность того, что будет сделано более трех выстрелов.
6. Вероятность успеха в схеме Бернулли в 3 раза меньше вероятности неудачи. Для каждого целого k найти вероятность того, что в 4 испытаниях будет k успехов.
7. Пользователь компьютера забыл пароль и перебирает наудачу 6 возможных. После трех неудачных попыток компьютер блокируется. 1) Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа попыток X. Построить график функции распределения X . 2) Найти таблицу распределения случайной величины Y = (X–1/2)
2

, математическое ожидание и стандартное отклонение X.
8. Случайная величина X задана функцией плотности
5
( )
f x
c x

при
1 1
x
  
и
( )
0
f x

при


1;1
x
 
. Найти: 1) коэффициент с, функцию распределения, 2) D[X], Р(X ≤ 0,5); Р(0<X <2); 3) плотность распределения случайной величины
1
X
Z
e


9. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
2
( )
9
x
F x

при
0
x
c
 
и
( )
1
F x

при
x
c

Найти:
,
c
M[Х], квантиль уровня 0,36.
10. Найти константу, к которой сходится с вероятностью единица последовательность


1
/
n
X
X
n
 

,
если
1
,
,
n
X
X

независимы и имеют плотность распределения
 
/
2
,
0,
0,
0.
x
x
e
x
f x
x






 



Найти для каких значений параметра

эта сходимость имеет место.
11. Участник лотереи бросает 60 шаров, каждый из которых может попасть в лузы с номерами от 1 до 6.
Оценить вероятность того, что не менее 2-х шаров попадет в лузу с номером «3».

10
Вариант 10
1. Случайная точка A наудачу выбирается в прямоугольнике со сторонами 4 и 2. Описать событие,
означающее, что расстояние от A до ближайшей стороны прямоугольника не превосходит 1.
2. Из колоды карт в 36 листов вынимаются три карты. Найти вероятность того, что среди них окажутся хотя бы две красные карты.
3. На отрезке AB наудачу выбираются две точки M и N. Какова вероятность того, что точка M окажется по крайней мере втрое ближе к точке N, чем к точке A?
4. Прибор состоит из трех независимо работающих блоков, вероятности отказа которых за смену равны соответственно 0,01, 0,05 и 0,08. Вероятность выхода из строя прибора при отказе одного из блоков равна
0,5; при отказе двух блоков – 0,8, при отказе всех трех блоков – 1. Определить вероятность выхода прибора из строя за смену. Найти вероятность того, что отказали все три блока, если известно, что прибор вышел из строя.
5. Электрическая цепь состоит из элементов
k
A
, соединенных по следующей схеме:
Вероятность выхода из строя элемента
1
A
равна 0,1, остальных элементов
k
A
– по 0,04. Предполагается,
что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь будет пропускать ток.
6. Вероятность успеха в схеме Бернулли в 1,5 раза больше вероятности неудачи. Для каждого целого k
найти вероятность того, что в 4 испытаниях будет k успехов.
7. Игрок сначала бросает в автомат 10 рублей, затем либо ничего не получает, либо получает 100 рублей (с вероятностью 0,01), либо 20 рублей (с вероятностью 0,03). В случае проигрыша величина выигрыша считается отрицательным числом, равным величине проигрыша, взятой со знаком «минус». 1) Найти ряд распределения величины выигрыша X. Построить график функции распределения X. 2) Найти таблицу распределения случайной величины Y = (X–20)
2

, математическое ожидание и стандартное отклонение X.
8. Случайная величина X задана функцией плотности
( )
2
x
f x
c
 
при
1 1
x
  
и
( )
0
f x

при


1;1
x
 
. Найти: 1) коэффициент с, функцию распределения, 2) D[X], Р(X ≤ 0,5); Р(0<X <2); 3) плотность распределения случайной величины
2 1.
Z
X


9. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
2
( )
4
x
F x

при
0
x
c
 
и
( )
1
F x

при
x
c

Найти:
,
c
M[Х], квантиль уровня 0,64.
10. Найти константу, к которой сходится с вероятностью единица


1
/
n
X
X
n
 

, если
1
,
,
n
X
X

независимы и имеют плотность распределения
 
2
/
3
,
0.
2
x
x
f x
e
x





Найти для каких значений параметра

эта сходимость имеет место.
11. Количество десятикопеечных монет, необходимое для выдачи каждой сдачи в кассе, принимает значения от 0 до 4 с равными вероятностями. Совершено 100 выдач сдачи. Оценить вероятность того, что не менее 4-х раз будет выдано по 3 десятикопеечных монеты.

11
Вариант 11
1. Прибор состоит из двух блоков первого типа и трех блоков второго типа. События:
k
A
, k = 1, 2, –
исправен k-й блок первого типа,
j
B
, j = 1, 2, 3, – исправен j-й блок второго типа. Прибор исправен, если исправны хотя бы один блок первого типа и не менее двух блоков второго типа. Выразить событие C,
означающее исправность прибора, через
k
A
и
j
B
2. Бросают 4 игральные кости. Какова вероятность того, что хотя бы на двух из них выпадет одинаковое число очков?
3. Стержень единичной длины AB разломан в двух наудачу выбранных точках X и Y . С какой вероятностью расстояние между этими точками не превзойдет длины отрезка BY ?
4. Одинаковые детали поступают на сборку с трех автоматов. Первый автомат дает 25 %, второй 30 %,
третий 45 % всех деталей, необходимых для сборки. Брак в продукции первого автомата составляет 2,5 %,
второго – 2 %, третьего – 3 %. Найти вероятность поступления на сборку небракованной детали. Найти вероятность того, что оказавшаяся небракованной деталь изготовлена на первом автомате.
5. Электрическая цепь состоит из элементов
k
A
, соединенных по следующей схеме:
Вероятность выхода из строя каждого элемента
k
A
равна 0,02. Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь будет пропускать ток.
6. Вероятность успеха в схеме Бернулли в 9 раз меньше вероятности неудачи. Для каждого целого k найти вероятность того, что в 3 испытаниях будет k успехов.
7. По мишени одновременно стреляют три стрелка, вероятности попаданий которых равны соответственно
0,4, 0,7 и 0,9. 1) Найти ряд распределения X – числа попаданий в мишень. Построить график функции распределения X. 2) Найти таблицу распределения случайной величины Y = (X–1/2)
2

, математическое ожидание и стандартное отклонение X.