Расчетка по теории вероятностей. Расчетка_1_ТВиМС-2021_Варианты 1-16. Вариант 11. Из чисел от 1 до 100 наугад выбраны два разных числа. События a и b соответственно означают, что выбрано хотя бы одно нечетное число и хотя бы одно четное число. Что означают события ab и AB2

• Название: Вариант 11. Из чисел от 1 до 100 наугад выбраны два разных числа. События a и b соответственно означают, что выбрано хотя бы одно нечетное число и хотя бы одно четное число. Что означают события ab и AB2
• Анкор: Расчетка по теории вероятностей
• Дата: 25.12.2021
• Размер: 399.89 Kb.
• Имя файла: Расчетка_1_ТВиМС-2021_Варианты 1-16.pdf
• Тип: Документы; #317826
• страница: 1 из 3

1
Вариант 1
1. Из чисел от 1 до 100 наугад выбраны два разных числа. События A и B соответственно означают, что выбрано хотя бы одно нечетное число и хотя бы одно четное число. Что означают события AB и A

B?
2. Из корзины с пятью красными яблоками и четырьмя зелеными берутся (без возвращения) наудачу три яблока. С какой вероятностью среди этих трех яблок: а) ровно два зеленых, б) хотя бы одно красное?
3. Молодой человек договорился встретиться с девушкой между 9 и 10 часами и обещал ждать ее до 10
часов. Девушка обещала ждать его 10 минут, если придет раньше. Найти вероятность того, что они встретятся. Предполагается, что моменты их прихода равновероятны в течение часа.
4. В тире имеется 6 одинаковых на вид ружей. Вероятность попадания в мишень для двух из них по 0,9, для трех по 0,8 и для одного 0,3. Какова вероятность того, что стрелок попадет в мишень, если он выбирает ружье наудачу? Какова вероятность того, что было выбрано ружье, для которого вероятность попадания
0,3, при условии, что стрелок попал в мишень?
5. При передаче текста в среднем 10 % букв искажается и принимается неверно. Передано слово из 6 букв.
Какова вероятность того, что все буквы слова будут приняты правильно? Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга.
6. Вероятность успеха в схеме Бернулли в 3 раза больше вероятности неудачи. Для каждого целого k найти вероятность того, что в 4 испытаниях будет k успехов.
7. Вероятность попадания в мишень равна 0,6 при каждом выстреле. Стрельба ведется одиночными выстрелами до первого попадания, пока не будет израсходован боезапас. 1) Найти ряд распределения X –
числа произведенных выстрелов, если боезапас составляет 3 единицы. Построить график функции распределения X.
2)
Найти таблицу распределения случайной величины


2 3 / 2
Y
X



,
математическое ожидание и стандартное отклонение X.
8. Случайная величина X задана функцией плотности
( )
f x
cx

при
1 2
x
 
и
( )
0
f x

при
 
1; 2
x

Найти: 1) коэффициент с, функцию распределения, 2) D[X], Р(X < 1,5), P(1,5 ≤ X ≤ 3); 3) Найти плотность распределения случайной величины
3
Z
X

9. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
( )
0,1
F x
x
 
при
1 2
,
c
x
c
 
( )
2 0, 5
F x
x


при
2 3
,
c
x
c
 
( )
1
F x

при
3
x
c

и
( )
0
F x

при
1
x
c

Найти:
1 2
3
,
, ,
c c c
M[Х],
квантиль уровня 0,5.
10. Найти константу, к которой сходится с вероятностью единица последовательность


1
/
n
X
X
n
 

,
если
1
,
,
n
X
X

независимы и имеют плотность распределения
 
2
/
2 1
,
0,
2 0,
0.
x
e
x
f x
x
x






 



Найти для каких значений параметра

эта сходимость имеет место.
11. Участник лотереи бросает игральную кость 50 раз. Оценить вероятность того, что четное число очков выпадет не менее 28 раз.

2
Вариант 2
1. Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие A – выбранное число делится на 5;
событие B – данное число оканчивается нулем. Что означают события A\B и AB?
2. Бросают 3 игральные кости. Какова вероятность того, что на них выпадет разное число очков?
3. В квадрат с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) наудачу брошена точка. Пусть (X, Y ) – ее координаты.
Найти P(max{X + 3Y, Y} ≤ 1/2).
4. Одинаковые детали поступают на сборку с трех автоматов. Первый автомат дает 20 %, второй 30 %,
третий 50 % всех деталей, необходимых для сборки. Брак в продукции первого автомата составляет 2,5 %,
второго – 2 %, третьего – 2,5 %. Найти вероятность поступления на сборку бракованной детали. Найти вероятность того, что оказавшаяся бракованной деталь изготовлена на первом автомате.
5. Электрическая цепь состоит из элементов
k
A
, соединенных по следующей схеме:
Вероятность выхода из строя каждого элемента
k
A
равна 0,02. Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь будет пропускать ток.
6. Вероятность успеха в схеме Бернулли в 4 раза больше вероятности неудачи. Для каждого целого k найти вероятность того, что в 3-х испытаниях будет k успехов.
7. По мишени одновременно стреляют два стрелка, вероятности попаданий которых равны соответственно
0,6 и 0,8. 1) Найти ряд распределения X
– числа попаданий в мишень. Построить график функции распределения X. 2) Найти таблицу распределения случайной величины Y = (X + 1)
2
, математическое ожидание и стандартное отклонение X.
8. Случайная величина X задана функцией плотности
( )
f x
c

при
1 3
x
 
и
( )
0
f x

при
 
1;3
x

Найти: 1) коэффициент с, функцию распределения, 2) D[X], Р(X < 2), P(–1 ≤ X ≤ 2); 3) плотность распределения случайной величины
2 2
1.
Z
X
 

9. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
( )
0, 5 1
F x
x


при
2
x
c
  
и
( )
1
F x

при
x
c

Найти:
,
c
M[Х], квантиль уровня 0,3.
10. Найти константу, к которой сходится с вероятностью единица последовательность


2 2
1
/
n
X
X
n
 

,
если
1
,
,
n
X
X

независимы и имеют плотность распределения
 
2
/
2
,
0,
0,
0.
x
x
e
x
f x
x






 



Найти для каких значений параметра

эта сходимость имеет место.
11. Время ожидания поезда метро за одну поездку имеет равномерное распределение на отрезке от 0 до 5
минут. Оценить вероятность того, что за 60 поездок будет более 10 случаев, когда время ожидания составит менее минуты.

3
Вариант 3
1. Игральная кость подбрасывается два раза подряд. Описать пространство элементарных исходов

Описать событие A, состоящее в том, что хотя бы один раз выпала единица, событие B, состоящее в том,
что сумма очков, выпавших при первом и втором подбрасывании, нечетна.
2. В шахматном турнире участвуют 10 человек, которые разбиваются на пары по жребию. Какова вероятность того, что два самых сильных шахматиста попадут в одну пару?
3. На отрезок [1, 3] наудачу брошена точка. С какой вероятностью она окажется ближе к точке π, чем к точке e?
4. На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый автомат дает 80 %, а второй 20 % всех деталей,
необходимых для сборки. Брак в продукции первого автомата составляет 1 %, а второго – 4 %. Деталь,
изготовленная автоматом, оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом автомате?
5. Электрическая цепь состоит из элементов
k
A
, соединенных по следующей схеме:
Вероятность выхода из строя элемента
k
A
равна 0,1. Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь не будет пропускать ток.
6. Вероятность успеха в схеме Бернулли в 2 раза меньше вероятности неудачи. Для каждого целого k найти вероятность того, что в 3 испытаниях будет k успехов.
7. Вероятность отказа сервера при каждом из независимых подключений с помощью модема равна 0,3.
Попытки подключения производятся до установления связи. 1) Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию X – числа произведенных попыток подключения, если число попыток ограничено четырьмя. Построить график функции распределения X. 2) Найти таблицу распределения случайной величины Y = (X+1)
1

, математическое ожидание и стандартное отклонение X.
8. Случайная величина X задана функцией плотности
3
( )
f x
cx

при
1 2
x
 
и
( )
0
f x

при
 
1; 2
x

Найти: 1) коэффициент с, функцию распределения, 2) D[X], Р(X < 1,5); Р(1,5<X <3); 3) плотность распределения случайной величины ln
1.
Z
X


9. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
( )
1
F x
x
 
при
1
x
c
 
и
( )
1
F x

при
x
c

Найти:
,
c
M[Х], квантиль уровня 0,1.
10. Найти константу, к которой сходится с вероятностью единица последовательность


3 3
1
/
n
X
X
n
 

,
если
1
,
,
n
X
X

независимы и имеют плотность распределения
 
3 2
/
3
,
0,
0,
0.
x
x
e
x
f x
x






 



Найти для каких значений параметра

эта сходимость имеет место.
11. Вероятность того, что жильцы квартиры закажут доставку пиццы, равна 0,001. Какова вероятность того,
что из 200 квартир пиццу закажут более чем в одной квартире?

4
Вариант 4
1. Пусть A, B, C – произвольные события. Найти выражение для события, состоящего в том, что из A, B и C
произошло хотя бы два события.
2. Шесть книг на полке расставлены случайным образом. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом (в любом порядке).
3. Два лица A и B имеют одинаковую вероятность прийти к указанному месту в любой момент времени между 12 и 13 часами. Лицо A ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит; лицо B ждет другого в течение 20 минут. Найти вероятность того, что A и B встретятся.
4. Студент выучил к экзамену только 20 вопросов из 30. Для сдачи экзамена достаточно ответить на два из трех разных вопросов. Какова вероятность того, что экзамен будет сдан? Какова вероятность того, что студент ответил на все три вопроса, если известно, что он сдал экзамен?
5. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. По мишени стреляют одиночными выстрелами до первого попадания, после чего стрельбу прекращают. Найти вероятность того, что будет сделано не более трех выстрелов.
6. Вероятность успеха в схеме Бернулли равна вероятности неудачи. Для каждого целого k найти вероятность того, что в 5 испытаниях будет k успехов.
7. Пользователь компьютера забыл пароль и перебирает наудачу 4 возможных. После трех неудачных попыток компьютер блокируется. 1) Найти ряд распределения X – числа попыток. Построить график функции распределения X. 2) Найти таблицу распределения случайной величины Y = X
2
, математическое ожидание и стандартное отклонение X.
8. Случайная величина X задана функцией плотности
( )
f x
c x

при
1 1
x
  
и
( )
0
f x

при


1;1
x
 
. Найти: 1) коэффициент с, функцию распределения, 2) D[X],
Р(X < 0,5), P(0,5 ≤ X ≤ 2);
3) плотность распределения случайной величины Z = 1/X.
9. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения
2
( )
4
x
F x


при
2
x
c
 
и
( )
1
F x

при
x
c

Найти:
,
c
M[Х], квантиль уровня 0,4.
10. Найти константу, к которой сходится с вероятностью единица последовательность


1
/
n
X
X
n
 

,
если
1
,
,
n
X
X

независимы и имеют плотность распределения
 
/
1
,
0,
2 0,
0.
x
e
x
f x
x
x






 



Найти для каких значений параметра

эта сходимость имеет место.
11. Участник лотереи бросает 120 шаров, каждый из которых может попасть в лузы с номерами от 1 до 6.
Оценить вероятность того, что не менее 12 раз шар попадет в лузу с номером 1.

5
Вариант 5
1. Рабочий изготовил три детали. Пусть событие
i
A
состоит в том, что i-я изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, заключающееся в том, что не менее двух деталей имеют дефект.
2. Один школьник, желая подшутить над своими товарищами, собрал в гардеробе все пальто, а потом развесил их в случайном порядке. Найти вероятность того, что каждое пальто снова попало на прежнее место, если в гардеробе шесть крючков и на них висело шесть пальто.
3. На отрезке AB наудачу выбираются две точки M и N. Какова вероятность того, что точка M окажется ближе к точке N, чем к точке A?
4. Прибор состоит из двух независимо работающих блоков, вероятности отказа которых за смену равны соответственно 0,05 и 0,08. Вероятность выхода из строя прибора при отказе одного из блоков равна 0,8;
при отказе обоих блоков – 1. Определить вероятность выхода прибора из строя за смену. Найти вероятность того, что отказали оба блока, если известно, что прибор вышел из строя.
5. Электрическая цепь состоит из элементов
k
A
, соединенных по следующей схеме:
Вероятность выхода из строя элемента
1
A
равна 0,1, остальных элементов
k
A
– по 0,2. Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь будет пропускать ток.
6. Вероятность успеха в схеме Бернулли в 9 раз больше вероятности неудачи. Для каждого целого k найти вероятность того, что в 3 испытаниях будет k успехов.
7. При игре с автоматом на барабане выпадают наудачу номера от 000 до 999. Если выпадают две одинаковых цифры, игрок получает 10 рублей, если три одинаковых – 100 рублей. В остальных случаях не получает ничего. 1) Найти ряд распределения X – величины выигрыша. Построить график функции распределения X. 2) Найти таблицу распределения случайной величины Y = 20–2X, математическое ожидание и стандартное отклонение X.
8. Случайная величина X задана функцией плотности
4
( )
f x
cx

при
1 1
x
  
и
( )
0
f x

при


1;1
x
 
Найти: 1) коэффициент с, функцию распределения, 2) D[X], Р(X < 0,5), P(0,1 ≤ X ≤ 2); 3) плотность распределения случайной величины
X
Z
e

9. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения


( )
3 / 6
F x
x


при
3
x
c
  
и
( )
1
F x

при
x
c

Найти:
,
c
M[Х], квантиль уровня 0,5.
10. Найти константу, к которой сходится с вероятностью единица последовательность


1
/
n
X
X
n



,
если
1
,
,
n
X
X

независимы и имеют плотность распределения
 
/
1
,
0.
x
f x
e
x





Найти для каких значений параметра

эта сходимость имеет место.
11. Количество десятикопеечных монет, необходимое для выдачи каждой сдачи в кассе, принимает значения от 0 до 4 с равными вероятностями. Произошло 2500 выдач сдачи. Оценить вероятность того, что более 450 раз выдали по 4 десятикопеечных монеты.

6
Вариант 6
1. Из колоды карт в 52 листа наудачу вынимаются две карты (без возвращения). Описать пространство элементарных исходов, а также событие, состоящее в том, что среди этих карт окажется ровно один туз.
2. В бригаде 3 рабочих. Какова вероятность того, что по крайней мере двое из них родились в один и тот же день недели? Считать, что вероятности родиться в каждый из дней одинаковы.
3. На отрезке единичной длины наудачу поставлены две точки, в результате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части. Определить вероятность того, что длина каждой из трех получившихся частей не превосходит 3/4.
4. Телеграфное сообщение состоит из сигналов “точка” и “тире”. Известно, что среди передаваемых сигналов “точка” и “тире” встречаются в отношении 3:2. Из-за помех искажается в среднем 25 % сигналов
“точка”
и 20 % сигналов “тире”, причем “точка” искажается в “тире”, а “тире” в “точку”. Найти вероятность искажения сигнала. Определить вероятность того, что передавали “тире”, если известно, что приняли “точку”.