Контрольные задания
 Скачать 412.58 Kb.
|
|
Контрольные задания Вариант 1 1. Из таблицы случайных чисел наугад выбраны два числа. События A и B соответственно означают, что выбрано хотя бы одно простое число и хотя бы одно четное число. Что означают события AB и A ∪ B? 2. Из корзины с пятью красными яблоками и четырьмя зелеными берутся (без возвращения) наудачу три яблока. С какой вероятностью среди этих трех яблок: а) ровно два зеленых, б) хотя бы одно красное? 3. Молодой человек договорился встретиться с девушкой между 9 и 10 часами и обещал ждать её до 10 часов. Девушка обещала ждать его 10 минут, если придет раньше. Найти вероятность того, что они встретятся. Предполагается, что моменты их прихода равновероятны в течение часа. 4. При передаче текста в среднем 5 % букв искажается и принимается неверно. Передано слово из 6 букв. Какова вероятность того, что все буквы слова будут приняты правильно? Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. 5. В тире имеется 6 одинаковых на вид ружей. Вероятность попадания в мишень для двух из них по 0,9, для трех по 0,8 и для одного 0,3. Какова вероятность того, что стрелок попадет в мишень, если он выбирает ружье наудачу? Какова вероятность того, что было выбрано ружье, для которого вероятность попадания 0,3, при условии, что стрелок попал в мишень? 6. Вероятность попадания в мишень равна 0,6 при каждом выстреле. Стрельба ведется одиночными выстрелами до первого попадания, пока не будет израсходован боезапас. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа произведенных выстрелов, если боезапас составляет 3 единицы. Построить график функции распределения. 7. Случайная величина ξ имеет треугольное распределение. Плотность распределения равна f (x) = Ax при 0 ≤ x ≤ θ ; 0 при x 6∈ [0; θ ]. Найти коэффициент A, математическое ожидание и стандартное отклонение. Найти вероятность того, что ξ > θ /2. Начертить графики плотности распределения и функции распределения. 168 8. Составить таблицу совместного распределения числа выпавших единиц и числа выпавших шестерок при одном подбрасывании игральной кости. Найти коэффициент корреляции между ними. 9. Участник лотереи бросает игральную кость 10 раз. Участник получает ценный приз, если сумма очков больше 50. Оценить вероятность получения ценного приза. 10. Для выборки (X 1 , X 2 , . . . , X n ) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра θ > 2 по первому моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) = θ x −( θ +1) при x > 1; 0 при x ≤ 1. 11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному) отклонению, и график оценки плотности распределения. 0,78 1,26 1,58 2,11 0,01 1,35 2,05 0,76 1,65 1,61 0,12 2,03 1,07 1,10 3,06 0,38 0,64 1,63 0,54 2,65 0,82 1,21 0,73 1,99 2,44 0,93 0,47 0,88 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001. 0,46 0,68 0,59 1,97 1,03 0,62 0,89 1,93 0,88 1,66 1,34 1,99 0,59 0,00 0,46 1,48 1,35 1,74 Вариант 2 1. Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие A — выбранное число делится на 5; событие B — данное число оканчивается нулем. Что означают события A \ B и AB? 2. В квадрат с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) наудачу брошена точка. Пусть (X, Y ) — ее координаты. Найти P(max{X + 3Y, Y } ≤ 1/2). 169 3. Бросают 3 игральные кости. Какова вероятность того, что на них выпадет разное число очков? 4. Электрическая цепь состоит из элементов A k , соединенных по следующей схеме: - A 1 A 2 A 3 - Âåðîÿòíîñòü âûõîäà èç ñòðîÿ êàæäîãî ýëåìåíòà Вероятность выхода из строя каждого элемента A k равна 0,02. Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь будет пропускать ток. 5. Одинаковые детали поступают на сборку с трех автоматов. Первый автомат дает 20 %, второй 30 %, третий 50 % всех деталей, необходимых для сборки. Брак в продукции первого автомата составляет 2,5 %, второго — 2 %, третьего — 2,5 %. Найти вероятность поступления на сборку бракованной детали. Найти вероятность того, что оказавшаяся бракованной деталь изготовлена на первом автомате. 6. По мишени одновременно стреляют три стрелка, вероятности попаданий которых равны соответственно 0,55, 0,6 и 0,65. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа попаданий в мишень. Построить график функции распределения. 7. Распределение Парето приближенно описывает распределение доходов физических лиц. Плотность распределения равна f (x) = A x α при x ≥ θ ; 0 при x < θ Здесь α > 2, θ > 0 — параметры распределения, A — нормирующая константа. Найти константу A. Вычислить значение параметра α , при котором математическое ожидание превосходит значение параметра θ в 3 раза. 8. Подбрасываются три симметричных монеты. Составить таблицу совместного распределения количеств выпавших гербов на трех монетах и на первых двух монетах. Найти коэффициент корреляции между ними. 9. Время ожидания поезда метро за одну поездку имеет равномерное распределение на отрезке от 0 до 5 минут. Оценить вероятность того, что суммарное время ожидания за 30 поездок окажется меньше 1,5 часов. 10. Для выборки (X 1 , X 2 , . . . , X n ) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по второму моменту 170 и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) = 2x θ e −x 2 / θ при x > 0; 0 при x ≤ 0. 11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному) отклонению, и график оценки плотности распределения. 2,05 0,80 0,32 3,31 1,12 3,29 3,87 2,65 2,01 2,65 1,19 -0,85 4,07 1,23 3,38 5,17 1,51 2,20 5,41 1,22 1,89 2,02 3,17 -1,02 2,73 1,10 3,87 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001. 0,24 1,25 0,87 0,54 0,48 1,20 1,79 0,62 0,75 0,55 0,46 1,02 1,71 1,91 0,83 0,99 1,46 1,09 0,94 Вариант 3 1. Событие A — хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное, событие B — бракованных изделий среди них не менее двух. Что означают противоположные события A и B? 2. В квадрат с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) наудачу брошена точка. Пусть (X, Y ) — ее координаты. Найти P(max{2X, Y } < 1/3). 3. В студенческой группе 15 юношей и 10 девушек. На университетский праздничный бал группа получила только 2 пригласительных билета, которые разыгрываются по жребию. Какова вероятность того, что на бал попадут юноша и девушка? 4. Рабочий обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,6, для второго — 0,8, для третьего — 0,9, для четвертого — 0,7. Найти вероятность того, что хотя бы один из станков в течение часа не потребует внимания рабочего. 171 5. Станок обрабатывает 2 вида деталей A и B, причем время работы распределяется между ними в соотношении 1:4. При обработке детали вида A он работает с максимальной для него нагрузкой в течение 70 % времени, при обработке детали вида B — 50 % времени. В случайный момент времени станок работал с максимальной нагрузкой. Определить вероятность того, что в это время он обрабатывал деталь вида A; вида B. 6. Вероятность попадания баскетбольного мяча в кольцо при бросании начинающим спортсменом равна 1/4. Мяч бросают до первого попадания, но дают не более 4 попыток. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа промахов. Построить график функции распределения. 7. Скорость пешехода на дистанции в 1 км является случайной величиной, равномерно распределенной на отрезке от 2 км/ч до 4 км/ч. Найти математическое ожидание и стандартное отклонение времени, затраченного на преодоление дистанции. Найти вероятность того, что это время превысит 24 минуты. 8. В группе из 25 студентов только двое изучали в школе модальную логику, и именно они получили оценку «5» на экзамене. Из остальных студентов 10 человек получили оценку «4», 10 человек — оценку «3», и 3 студента получили «двойки». Составить таблицу совместного распределения оценки на экзамене и индикатора изучения модальной логики для выбранного наудачу студента. Найти коэффициент корреляции между ними. 9. Число опечаток на странице книги имеет распределение Пуассона с параметром 2. Найти пределы, в которых с вероятностью 0,9 лежит число опечаток в книге из 400 страниц. 10. Для выборки (X 1 , X 2 , . . . , X n ) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по третьему моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) = 3x 2 θ e −x 3 / θ при x > 0; 0 при x ≤ 0. 11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному) отклонению, и график оценки плотности распределения. 172 7,61 3,33 7,35 3,05 2,54 1,91 1,77 2,92 5,95 2,31 0,27 5,12 6,60 -1,58 5,42 5,67 6,28 -0,09 2,74 2,45 1,11 6,97 -1,59 -1,41 2,69 4,99 7,24 1,75 4,76 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001. 0,49 1,42 0,61 2,00 0,59 0,58 1,18 1,58 1,01 0,57 0,05 0,25 0,17 1,30 0,52 0,91 0,84 1,66 1,24 Вариант 4 1. Монета подбрасывается три раза подряд. Построить пространство элементарных исходов Ω. Описать событие A, состоящее в том, что выпало не менее двух гербов. 2. В компании из трех человек решили сделать друг другу подарки, для чего каждый принес подарок. Все подарки сложили вместе, перемешали и случайно распределили среди участников. Найти вероятность, что хотя бы один подарок вернется к своему владельцу. 3. На линейке длиной 20 см случайно сделаны две насечки. Какова вероятность того, что первая окажется дальше от начала не менее, чем на 5 см, по сравнению со второй? 4. Детали проходят три операции обработки. На каждой из операций может возникнуть брак независимо от остальных операций с вероятностями 0,02, 0,03 и 0,035 соответственно. Найти вероятность получения небракованной детали. 5. Вероятность того, что изделие удовлетворяет стандарту, равна 0,95. На заводе принята система из трех независимых испытаний, каждое из которых изделие, удовлетворяющее стандарту, проходит с вероятностью 0,8, а неудовлетворяющее — с вероятностью 0,3. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие выдержит испытания? Какова вероятность того, что изделие, выдержавшее испытания, удовлетворяет стандарту? 6. Вероятность изготовления нестандартного изделия при налаженном технологическом процессе постоянна и равна 1/5. Для проверки изделий отдел технического контроля берет из партии изделия одно за другим, но не более 3 изделий. При обнаружении нестандартного изделия вся партия 173 задерживается. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа изделий, проверяемых в каждой партии. Построить график функции распределения. 7. Мощность W , выделяемая на сопротивлении R, вычисляется по закону W = RI 2 , где I — сила тока. Предполагается, что сила тока распределена равномерно на отрезке от 1 до 2 ампер. Найти плотность распределения и математическое ожидание мощности, выделяемой на сопротивлении в 1000 Ом. Найти вероятность того, что мощность превысит 2 кВт. 8. В научном отделе 3 лаборатории. В первой лаборатории 4 сотрудника и 2 исследовательских проекта, во второй 6 сотрудников и 1 проект, в третьей — 3 сотрудника и 2 проекта. Найти совместное распределение числа сотрудников и числа проектов в выбранной наудачу лаборатории. Найти коэффициент корреляции между ними. 9. Маршрут разбит на 900 участков. Погрешность измерений длины каждого из них распределена по нормальному закону с нулевым средним и стандартным отклонением 5 метров. Найти, в каких пределах лежит суммарная погрешность с вероятностью 0,95. 10. Для выборки (X 1 , X 2 , . . . , X n ) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по первому моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) = ( 1 2 θ √ x e − √ x/ θ при x > 0; 0 при x ≤ 0. 11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному) отклонению, и график оценки плотности распределения. -1,70 -0,72 -4,46 -3,24 2,42 -1,70 -1,24 -0,07 6,20 2,67 1,80 0,26 9,61 2,51 1,44 -3,65 5,50 4,17 -2,06 7,48 2,60 7,61 2,54 9,77 9,67 7,36 7,86 11,22 3,38 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001. 174 1,60 1,44 0,70 1,33 0,74 0,61 1,03 1,25 0,85 0,81 1,04 0,76 0,80 1,55 1,61 0,82 1,70 1,63 Вариант 5 1. Игральная кость подбрасывается два раза подряд. Описать пространство элементарных исходов Ω. Описать событие A, состоящее в том, что хотя бы один раз выпала единица, событие B, состоящее в том, что сумма очков, выпавших при первом и втором подбрасывании, нечетна. 2. В шахматном турнире участвуют 10 человек, которые разбиваются на пары по жребию. Какова вероятность того, что два самых сильных шахматиста попадут в одну пару? 3. В круг единичного радиуса наудачу брошены пять точек. С какой вероятностью расстояние от границы круга до ближайшей точки окажется не меньше 1/3? 4. Электрическая цепь состоит из элементов A k , соединенных по следующей схеме: äóþùåé ñõåìå: - A 1 A 2 A 3 - Âåðîÿòíîñòü âûõîäà èç ñòðîÿ ýëåìåíòà Вероятность выхода из строя элемента A k равна 0,1. Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь не будет пропускать ток. 5. На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый автомат дает 80 %, а второй 20 % всех деталей, необходимых для сборки. Брак в продукции первого автомата составляет 1 %, а второго — 4 %. Деталь, изготовленная автоматом, оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом автомате? 6. Вероятность отказа сервера при каждом из независимых подключений с помощью модема равна 0,3. Попытки подключения производятся до установления связи. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа произведенных попыток подключения, если число попыток ограничено четырьмя. Построить график функции распределения. 175 7. Закон Рэлея с плотностью распределения f (x) = Axe −x 2 /(2 σ 2 ) при x ≥ 0; 0 при x < 0 в ряде случаев описывает распределение срока службы электронной аппаратуры. Найти коэффициент A, математическое ожидание и дисперсию. (Рекомендуется использовать таблицы определенных интегралов). 8. На 4 карточках написаны цифры от 1 до 4. Найти совместное распределение числа, написанного на выбранной наудачу карточке, и индикатора того, что это число четное. Найти коэффициент корреляции между ними. 9. Количество воды, расходуемое жителями одной квартиры в сутки, имеет показательное распределение со средним значением 100 литров. Найти, какого количества воды достаточно с вероятностью 0,98 для удовлетворения потребностей жильцов 250000 квартир. 10. Для выборки (X 1 , X 2 , . . . , X n ) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по первому моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) = 1 θ e −x/ θ при x > 0; 0 при x ≤ 0. 11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному) отклонению, и график оценки плотности распределения. 4,83 -1,10 13,11 10,84 9,45 8,56 7,87 7,34 -4,06 3,48 4,70 7,13 -1,08 4,53 13,56 2,66 7,29 9,41 11,86 9,54 10,86 2,50 -2,84 11,21 8,93 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001. 0,32 0,49 1,12 1,98 0,25 1,52 0,52 0,03 1,10 1,59 0,27 1,30 1,79 1,93 0,23 1,84 1,04 176 Вариант 6 1. Пусть A, B, C — произвольные события. Найти выражение для события, состоящего в том, что из A, B и C произошло хотя бы два события. 2. Шесть книг на полке расставлены случайным образом. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом (в любом порядке). 3. Два лица A и B имеют одинаковую вероятность прийти к указанному месту в любой момент времени между 12 и 13 часами. Лицо A ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит; лицо B ждет другого в течение 15 минут. Найти вероятность того, что A и B встретятся. 4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. По мишени стреляют одиночными выстрелами до первого попадания, после чего стрельбу прекращают. Найти вероятность того, что будет сделано не более трех выстрелов. 5. Студент выучил к экзамену только 20 вопросов из 30. Для сдачи экзамена достаточно ответить на два из трех разных вопросов. Какова вероятность того, что экзамен будет сдан? Какова вероятность того, что студент ответил на все три вопроса, если известно, что он сдал экзамен? 6. Пользователь компьютера забыл пароль и перебирает наудачу 4 возможных. После трех неудачных попыток компьютер блокируется. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа попыток. Построить график функции распределения. 7. Скорость V молекул газа имеет плотность распределения f (v) = ( v 2 σ 3 q 2 π e −v 2 /(2 σ 2 ) при v ≥ 0; 0 при v < 0 (распределение Максвелла). Определить математическое ожидание V . (Можно использовать таблицы определенных интегралов). 8. В двух из четырех комнат температура 20 градусов, а влажность 80 процентов. В третьей комнате температура 25 градусов, а влажность 90 процентов. В четвертой комнате температура 20 градусов, а влажность 90 процентов. Найти совместное распределение температуры и влажности в выбранной наудачу комнате. Найти коэффициент корреляции между температурой и влажностью. 9. Участник лотереи бросает 6 шаров, каждый из которых может попасть в лузы с номерами от 1 до 6. Участник получает ценный приз, если 177 сумма очков меньше 12. Оценить вероятность получения ценного приза. 10. Для выборки (X 1 , X 2 , . . . , X n ) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по третьему моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) = 3 √ x 2 θ e −x √ x/ θ при x > 0; 0 при x ≤ 0. 11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному) отклонению, и график оценки плотности распределения. 5,16 6,70 2,88 9,09 -2,06 6,25 6,46 4,25 16,16 7,07 1,35 13,58 7,96 14,64 -2,14 10,81 2,50 2,24 -1,04 5,31 11,93 16,20 7,49 -5,21 5,90 5,63 7,26 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001. 0,46 0,79 0,64 1,06 0,42 0,69 1,65 0,45 0,43 1,48 0,44 0,97 1,49 0,46 1,29 0,37 0,45 Вариант 7 1. Рабочий изготовил три детали. Пусть событие A i состоит в том, что i-ая изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, заключающееся в том, что ровно одна деталь имеет дефект. 2. Один школьник, желая подшутить над своими товарищами, собрал в гардеробе все пальто, а потом развесил их в случайном порядке. Какова вероятность, что каждое пальто снова попало на прежнее место, если в гардеробе шесть крючков и на них висело шесть пальто. 3. На отрезке AB наудачу выбираются две точки M и N . Какова вероятность того, что точка M окажется ближе к точке N , чем к точке A? 178 4. Электрическая цепь состоит из элементов A k , соединенных по следующей схеме: äóþùåé ñõåìå: - A 1 A 2 A 3 - Âåðîÿòíîñòü âûõîäà èç ñòðîÿ ýëåìåíòà Вероятность выхода из строя элемента A 1 равна 0,1, остальных элементов A k — по 0,04. Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь будет пропускать ток. 5. Прибор состоит из двух независимо работающих блоков, вероятности отказа которых за смену равны соответственно 0,05 и 0,08. Вероятность выхода из строя прибора при отказе одного из блоков равна 0,8; при отказе обоих блоков — 1. Определить вероятность выхода прибора из строя за смену. Найти вероятность того, что отказали оба блока, если известно, что прибор вышел из строя. 6. При игре с автоматом в случае выигрыша игрок получает 10 рублей. Вероятность выигрыша составляет 0,3. Найти сумму x рублей, которую игрок бросает в автомат и теряет в случае проигрыша, если математическое ожидание выигрыша равно минус 2 рублям. (В случае проигрыша сумма выигрыша считается отрицательным числом, равным сумме проигрыша, взятой со знаком «минус».) Найти ряд распределения и дисперсию суммы выигрыша. Построить график функции распределения. 7. Плотность распределения вероятностей случайной величины ξ имеет вид f (x) = Ae −2|x| (распределение Лапласа). Найти коэффициент A, вычислить математическое ожидание и стандартное отклонение. Найти вероятность того, что случайная величина ξ примет значение, большее 1. 8. В трех из четырех аудиторий по 20 студентов и уровень шума 80 децибелл, а в четвертой аудитории нет студентов и уровень шума 20 децибелл. Найти совместное распределение числа студентов и уровня шума в выбранной наудачу аудитории. Найти коэффициент корреляции между числом студентов и уровнем шума. 9. Количество 10-копеечных монет, необходимое для выдачи каждой сдачи в кассе, принимает значения от 0 до 4 с равными вероятностями. Найти, сколько должно быть 10-копеечных монет в кассе, чтобы с вероятностью 0,9 их хватило на 2500 выдач сдачи. 10. Для выборки (X 1 , X 2 , . . . , X n ) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра 0 < θ < 1 по первому моменту 179 и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) = 1 θ x −( θ +1)/ θ при x > 1; 0 при x ≤ 1. 11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному) отклонению, и график оценки плотности распределения. 1,29 12,70 10,80 -10,19 4,32 12,02 13,68 3,75 -0,90 2,94 15,07 2,08 16,22 13,42 1,55 -6,05 15,70 12,35 13,94 -0,56 24,10 7,45 3,60 -0,24 16,84 6,13 -5,28 3,00 10,04 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001. 0,28 1,13 1,78 0,65 0,55 1,02 0,88 0,76 0,57 1,71 0,62 1,69 0,15 0,23 1,99 1,53 1,91 1,57 Вариант 8 1. Наудачу брошены три монеты. Описать события: A — хотя бы на одной выпала решка, B — хотя бы на двух выпал орел. Описать также событие AB. |