Контрольные задания
 Скачать 412.58 Kb.
|
|
— 4 %. Деталь, изготовленная автоматом, оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом автомате? 6. Вероятность отказа сервера при каждом из независимых подключений с помощью модема равна 0,2. Попытки подключения производятся до установления связи. Найти ряд распределения, 193 математическое ожидание и дисперсию числа произведенных попыток подключения, если число попыток ограничено пятью. Построить график функции распределения. 7. Закон Эрланга с плотностью распределения f (x) = Ax 2 e − α x при x ≥ 0; 0 при x < 0 описывает распределение времени прибытия двух вызовов в пуассоновском потоке. Найти коэффициент A, математическое ожидание и дисперсию. (Рекомендуется использовать таблицы определенных интегралов). Построить график плотности распределения. На 5 карточках написаны цифры от 1 до 5. Найти совместное распределение числа, написанного на выбранной наудачу карточке, и индикатора того, что это число нечетное. Найти коэффициент корреляции между ними. 9. Количество воды, расходуемое жителями одной квартиры в сутки, имеет показательное распределение со средним значением 200 литров. Найти, с какой вероятностью для удовлетворения потребностей жильцов 500 квартир будет достаточно 12 000 литров воды. 10. Для выборки (X 1 , X 2 , . . . , X n ) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по первому моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) = 1 θ 2 e −x/ θ 2 при x > 0; 0 при x ≤ 0. 11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному) отклонению, и график оценки плотности распределения. 5,38 -1,10 13,11 10,84 9,45 8,56 7,87 7,34 -4,06 3,48 4,70 7,13 -1,08 4,53 13,56 2,66 7,29 9,41 11,86 9,54 10,86 2,50 -2,84 11,21 8,93 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001. 194 1,23 0,49 1,12 1,98 0,25 1,52 0,52 0,03 1,10 1,59 0,27 1,30 1,79 1,93 0,23 1,84 1,04 Вариант 16 1. Случайная точка A наудачу выбирается в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. Описать событие, означающее, что расстояние от A до каждой стороны прямоугольника не превосходит 1/2. 2. На полке в случайном порядке расставлены 8 книг, в том числе двухтомник Мандельштама. Найти вероятность того, что один из томов Мандельштама окажется у правого края полки, а другой — у левого. 3. На отрезке единичной длины наудачу поставлены две точки, в результате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части. Определить вероятность того, что сумма длин последних двух частей не превосходит длины первой части. 4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. По мишени стреляют одиночными выстрелами до первого попадания, после чего стрельбу прекращают. Найти вероятность того, что будет сделано более трех выстрелов. 5. Студент выучил к экзамену только 30 вопросов из 40. Для сдачи экзамена достаточно ответить на два из четырех разных вопросов. Какова вероятность того, что экзамен будет сдан? Какова вероятность того, что студент ответил на все четыре вопроса, если известно, что он сдал экзамен? 6. Пользователь компьютера забыл пароль и перебирает наудачу 6 возможных. После трех неудачных попыток компьютер блокируется. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа попыток. Построить график функции распределения. 7. Время достижения стандартным броуновским движением уровня a имеет плотность распределения f (t) = At −3/2 e −a 2 /(2t) при t ≥ 0; 0 при t < 0. Найти нормирующую константу A. Доказать, что математическое ожидание времени достижения не существует. (Сделать замену a/ √ t = y. Можно использовать таблицы определенных интегралов). 195 8. В течение трех дней недели температура была 30 градусов, а влажность 60 процентов. В течение других трех дней температура 20 градусов, а влажность 90 процентов, а в последний день 10 градусов и 100 процентов. Найти совместное распределение температуры и влажности в выбранный наудачу день. Найти коэффициент корреляции между температурой и влажностью. 9. Участник лотереи бросает 5 шаров, каждый из которых может попасть в лузы с номерами от 1 до 6. Участник получает ценный приз, если сумма очков больше 23. Оценить вероятность получения ценного приза. 10. Для выборки (X 1 , X 2 , . . . , X n ) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по третьему моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) = 3 √ x 2 θ 2 e −x √ x/ θ 2 при x > 0; 0 при x ≤ 0. 11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному) отклонению, и график оценки плотности распределения. 4,61 6,70 2,88 9,09 -2,06 6,25 6,46 4,25 16,16 7,07 1,35 13,58 7,96 14,64 -2,14 10,81 2,50 2,24 -1,04 5,31 11,93 16,20 7,49 -5,21 5,90 5,63 7,26 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001. 1,64 0,79 0,64 1,06 0,42 0,69 1,65 0,45 0,43 1,48 0,44 0,97 1,49 0,46 1,29 0,37 0,45 Вариант 17 1. Случайная точка A наудачу выбирается в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. Описать событие, означающее, что расстояние от A до ближайшей стороны прямоугольника не превосходит 1/2. 196 2. Из колоды карт в 36 листов вынимаются три карты. Найти вероятность того, что среди них окажутся хотя бы две красные карты. 3. На отрезке AB наудачу выбираются две точки M и N . Какова вероятность того, что точка M окажется по крайней мере втрое ближе к точке N , чем к точке A? 4. Электрическая цепь состоит из элементов A k , соединенных по следующей схеме: - A 1 A 2 A 3 - Вероятность выхода из строя элемента A 1 равна 0,1, остальных элементов A k — по 0,04. Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь будет пропускать ток. 5. Прибор состоит из трех независимо работающих блоков, вероятности отказа которых за смену равны соответственно 0,01, 0,05 и 0,08. Вероятность выхода из строя прибора при отказе одного из блоков равна 0,5; при отказе двух блоков — 0,8, при отказе всех трех блоков — 1. Определить вероятность выхода прибора из строя за смену. Найти вероятность того, что отказали все три блока, если известно, что прибор вышел из строя. 6. При игре с автоматом игрок получает 50 рублей с вероятностью 0,1, 10 рублей с вероятностью 0,3. Найти сумму x рублей, которую игрок бросает в автомат и теряет в случае проигрыша, если математическое ожидание выигрыша равно минус 2 рублям. (В случае проигрыша сумма выигрыша считается отрицательным числом, равным сумме проигрыша, взятой со знаком «минус».) Найти ряд распределения и дисперсию суммы выигрыша. Построить график функции распределения. 7. Плотность распределения вероятностей случайной величины ξ имеет вид f (x) = A 1 + x θ 2 при |x| ≤ θ ; 0 при |x| > θ (усеченное распределение Коши). Найти коэффициент A, вычислить математическое ожидание и стандартное отклонение. Найти вероятность того, что случайная величина ξ примет значение, большее θ / √ 3. 197 8. В двух из четырех аудиторий по 20 студентов и уровень шума 60 децибелл, в третьей 10 студентов и уровень шума 50 децибелл, а в четвертой аудитории нет студентов и уровень шума 20 децибелл. Найти совместное распределение числа студентов и уровня шума в выбранной наудачу аудитории. Найти коэффициент корреляции между числом студентов и уровнем шума. 9. Количество 10-копеечных монет, необходимое для выдачи каждой сдачи в кассе, принимает значения от 0 до 4 с равными вероятностями. Найти, с какой вероятностью на 100 выдач сдачи будет достаточно 220 10-копеечных монет . 10. Для выборки (X 1 , X 2 , . . . , X n ) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра 1 < θ < 2 по первому моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) = 1 θ −1 x − θ /( θ −1) при x > 1; 0 при x ≤ 1. 11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному) отклонению, и график оценки плотности распределения. 2,92 12,70 10,80 -10,19 4,32 12,02 13,68 3,75 -0,90 2,94 15,07 2,08 16,22 13,42 1,55 -6,05 15,70 12,35 13,94 -0,56 24,10 7,45 3,60 -0,24 16,84 6,13 -5,28 3,00 10,04 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001. 1,82 1,13 1,78 0,65 0,55 1,02 0,88 0,76 0,57 1,71 0,62 1,69 0,15 0,23 1,99 1,53 1,91 1,57 Вариант 18 1. Брошены три игральные кости. Описать событие, означающее, что хотя бы на одной кости появилась единица, и не более чем на двух выпали 198 двойки. 2. Номер лотерейного билета состоит из 6 цифр. Какова вероятность того, что хотя бы две цифры взятого наудачу билета совпадают? 3. Стержень единичной длины AB разломан в двух наудачу выбранных точках X и Y . С какой вероятностью расстояние между этими точками не превзойдет максимального из двух отрезков AX или AY ? 4. По мишени по одному разу стреляют 4 стрелка. Вероятность попадания для первого равна 0,5, для второго — 0,6, для третьего — 0,7, для четвертого — 0,9. Найти вероятность ровно двух попаданий. 5. В семи урнах содержится по 3 белых и 2 черных шара, а в трех урнах по 7 белых и 3 черных шара. Какова вероятность, что из урны, взятой наудачу, будет извлечен белый шар? Найти вероятность, что шар извлечен из урны с 7 белыми и 3 черными шарами, если он оказался белым. 6. Прибор состоит из трех малонадежных элементов. Отказы элементов за некоторый период времени независимы, а их вероятности равны соответственно 0,2; 0,3; 0,4. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа отказавших элементов. Построить график функции распределения. 7. Точка M движется по оси Ox по закону x = vt − at 2 . В случайный момент времени, равномерно распределенный на отрезке [0; T ], наблюдается координата ξ точки M . Найти математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины ξ . При v = 10 м/с, a = 10 м/с 2 , T = 3 c найти вероятность того, что ξ > 0. 8. Четыре автобуса, уходящие с интервалом в 5 минут, увезли по 20 пассажиров. Два автобуса, уходящие с интервалом в 10 минут, увезли по 30 пассажиров. Два автобуса, уходящие с интервалом в 15 минут, увезли по 35 пассажиров. Найти совместное распределение числа пассажиров и интервала движения для выбранного наудачу автобуса. Найти коэффициент корреляции. 9. Количество бракованных изделий в коробке имеет распределение Пуассона с параметром 2. Найти вероятность того, что в 16 коробках более 40 бракованных изделий. 10. Для выборки (X 1 , X 2 , . . . , X n ) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра θ > 2 по второму моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) = θ x −( θ +1) при x > 1; 0 при x ≤ 1. 199 11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному) отклонению, и график оценки плотности распределения. 13,29 7,48 2,82 22,84 7,49 8,98 13,84 14,17 7,07 9,69 -8,35 12,77 14,93 5,81 8,62 11,22 3,85 2,86 9,52 15,93 9,43 19,48 19,19 12,20 19,40 12,09 8,47 6,79 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001. 0,19 0,91 0,30 1,34 0,61 1,12 1,00 0,53 1,58 0,62 0,41 0,89 1,20 1,51 0,78 1,44 0,46 0,69 1,33 Вариант 19 1. Некто написал n адресатам письма, в каждый конверт вложил по одному письму, и затем наудачу написал на каждом конверте один из n адресов. Пусть событие A i состоит в том, что i-е письмо попало в свой конверт. Описать событие, заключающееся в том, что ровно одно письмо попало в свой конверт. 2. В бригаде 4 рабочих. Какова вероятность того, что по крайней мере трое из них родились в один и тот же день недели? Считать, что вероятности родиться в каждый из дней одинаковы. 3. Стержень единичной длины AB разломан в двух наудачу выбранных точках X и Y . С какой вероятностью расстояние между этими точками не превзойдет длины отрезка AX? 4. Электрическая цепь состоит из элементов A k , соединенных по следующей схеме: - A 1 A 2 A 3 - A 4 Вероятность выхода из строя элемента A 2 равна 0,01, остальных элементов A k — по 0,1. Предполагается, что элементы выходят из строя 200 независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь будет пропускать ток. 5. Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Известно, что среди передаваемых сигналов «точка» и «тире» встречаются в отношении 7:3. Из-за помех искажается в среднем 25 % сигналов «точка» и 20 % сигналов «тире», причем «точка» искажается в «тире», а «тире» в «точку». Найти вероятность искажения сигнала. Определить вероятность того, что передавали «точку», если известно, что приняли «тире». 6. Два игрока играют в шахматы на деньги. Известно, что в среднем из 5 партий одну выигрывает первый игрок, две заканчиваются вничью, и две выигрывает второй игрок. В случае проигрыша первый игрок платит второму 50 рублей. Сколько он должен получать в случае выигрыша, чтобы математическое ожидание его выигрыша равнялось нулю? Найти ряд распределения и дисперсию суммы выигрыша (отрицательная сумма выигрыша — это сумма проигрыша, взятая со знаком «минус»). Построить график функции распределения. 7. Случайная величина ξ имеет плотность распределения f (x) = ( A σ √ 2 π e −(x−a) 2 /(2 σ 2 ) при |x − a| ≤ 2 σ ; 0 mbox |x − a| > 2 σ Найти нормирующую константу A, вычислить математическое ожидание. Построить график плотности распределения при a = σ = 1. 8. В подъезде 5 однокомнатных квартир площадью по 40 кв. м., 10 двухкомнатных квартир по 60 кв. м., 10 трехкомнатных квартир по 70 кв. м. и 5 четырехкомнатных по 90 кв. м. Для выбранной наудачу квартиры найти совместное распределение числа комнат и площади. Найти коэффициент корреляции между ними. 9. Суммарное время работы машины складывается из 1000 интервалов времени, каждый из которых измеряется со стандартным отклонением в 10 минут. Найти вероятность того, что фактическое время работы отличается от измеренного больше, чем на 10 часов. 10. Для выборки (X 1 , X 2 , . . . , X n ) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по первому моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) = x θ 4 e −x/ θ 2 при x > 0; 0 при x ≤ 0. 201 11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному) отклонению, и график оценки плотности распределения. 23,95 -2,61 11,87 1,37 5,92 -5,10 5,38 14,71 7,55 3,91 1,23 8,50 -5,58 -1,97 17,93 9,42 11,99 9,39 4,78 5,43 9,40 8,68 2,20 7,15 14,78 14,77 -15,16 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001. 2,94 1,96 0,64 0,76 0,01 0,82 0,23 0,82 1,96 1,28 1,49 1,07 1,92 0,17 1,68 1,01 0,48 Вариант 20 1. Некто написал n адресатам письма, в каждый конверт вложил по одному письму и затем наудачу написал на каждом конверте один из n адресов. Пусть событие A i состоит в том, что i-е письмо попало в свой конверт. Описать событие, заключающееся в том, что ровно два письма попали в свои конверты. 2. Некто написал трем адресатам письма, в каждый конверт вложил по одному письму, и затем наудачу написал на каждом конверте один из трех адресов. Найти вероятность, что хотя бы одно письмо попало по назначению. 3. На линейке наудачу поставлены 2 точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними окажется больше четверти длины линейки? 4. Три стрелка поочередно стреляют по одной и той же мишени. У каждого стрелка 2 патрона. При первом попадании стрельба прекращается. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка 0,3, для второго — 0,4, для третьего — 0,6. Найти вероятность того, что все стрелки израсходуют весь свой боезапас. 5. Первое орудие 3-орудийной батареи пристреляно так, что вероятность попадания для него равна 3/11. Для второго и третьего орудия 202 она равна 1/5. Батарея дала залп по цели. Найти вероятность того, что цель поражена. Найти вероятность того, что первое орудие попало в цель, если известно, что цель была поражена. Для поражения цели достаточно одного попадания. 6. Вероятность приема отдельного сигнала равна 0,05. Радиосигнал передается 5 раз. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа принятых сигналов. Построить график функции распределения. Найти вероятность того, что принятых сигналов будет не меньше 2, но не больше 3. 7. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника является случайной величиной, равномерно распределенной на отрезке [0;1]. Найти плотность распределения, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию площади треугольника. Найти вероятность того, что площадь превосходит 1/8. Начертить графики плотности распределения и функции распределения. 8. В отделе работает один сотрудник с двумя высшими образованиями возрастом 30 лет, два сотрудника с высшим образованием возрастом по 50 лет и два сотрудника без высшего образования возрастом по 20 лет. Для выбранного наудачу сотрудника найти совместное распределение возраста и количества высших образований. Вычислить коэффициент корреляции между ними. 9. Время ожидания автобуса пассажиром имеет показательное распределение со средним значением 8 минут. Найти количество поездок, за которое суммарное время, затраченное на ожидание автобуса, не превысит 5 часов с вероятностью 0,9. 10. Для выборки (X 1 , X 2 , . . . , X n ) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по первому моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) = x 2 2 θ 6 e −x/ θ 2 при x > 0; 0 при x ≤ 0. 11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному) отклонению, и график оценки плотности распределения. 203 10,63 19,48 3,89 4,45 15,11 15,90 24,94 1,72 3,25 -3,77 12,17 10,08 14,36 9,39 1,27 7,89 8,68 1,59 10,57 3,21 -6,11 15,61 10,82 1,68 5,63 6,79 20,27 -2,15 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001. 1,64 1,43 0,40 1,23 1,40 0,76 1,09 1,65 1,32 1,24 1,39 0,81 0,39 0,76 1,14 1,24 1,69 1,58 Вариант 21 1. Бросаются две игральные кости. Пусть событие A состоит в том, что выпавшая сумма очков нечетна, а событие B — в том, что хотя бы на одной из костей выпала тройка. Описать события AB и AB. 2. В ящике 5 красных и 4 синих пуговиц. Какова вероятность того, что среди четырех наудачу вынутых пуговиц будут и красные, и синие? 3. Молодой человек договорился встретиться с девушкой между 9 и 10 часами и обещал ждать её до 10 часов. Девушка обещала ждать его 20 минут, если придет раньше. Найти вероятность того, что они встретятся. Предполагается, что моменты их прихода равновероятны в течение часа. 4. При передаче сообщений в среднем 20 % писем не доходят до получателя. Найти вероятность того, что из 6 писем более половины на будет получено адресатами. 5. В пункте проката имеется 6 одинаковых на вид велосипедов. Вероятность поломки для двух из них по 0,1, для трех по 0,2 и для одного 0,7. Какова вероятность того, что велосипед сломается, если его выбирают наудачу? Какова вероятность того, что был выбран велосипед, |