Контрольные задания
 Скачать 412.58 Kb.
|
|
для которого вероятность поломки 0,7, при условии, что он сломался? 6. Вероятность попадания в мишень равна 0,4 при каждом выстреле. Стрельба ведется одиночными выстрелами до первого попадания, пока не будет израсходован боезапас. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа произведенных выстрелов, если боезапас составляет 5 единиц. Построить график функции распределения. 7. Случайная величина ξ — координата точки, совершающей колебательные движения по закону x = a sin( ω t), и наблюдаемой в 204 случайный момент времени T , равномерно распределенный на периоде колебаний [0; 2 π / ω ]. Найти математическое ожидание и стандартное отклонение cлучайной величины ξ . Найти вероятность того, что ξ > a/2. 8. Составить таблицу совместного распределения числа выпавших четных и нечетных чисел при одном подбрасывании игральной кости. Найти коэффициент корреляции между ними. 9. Оценить, сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы сумма выпавших очков превысила 300 с вероятностью не менее 0,92. 9 Для выборки (X 1 , X 2 , . . . , X n ) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра θ > 4 по первому моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) = ( θ − 2)x − θ +1 при x > 1; 0 при x ≤ 1. 11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному) отклонению, и график оценки плотности распределения. 0,87 1,26 1,58 2,11 0,01 1,35 2,05 0,76 1,65 1,61 0,12 2,03 1,07 1,10 3,06 0,38 0,64 1,63 0,54 2,65 0,82 1,21 0,73 1,99 2,44 0,93 0,47 0,88 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001. 1,46 0,68 0,59 1,97 1,03 0,62 0,89 1,93 0,88 1,66 1,34 1,99 0,59 0,00 0,46 1,48 1,35 1,74 Вариант 22 1. Прибор состоит из двух блоков первого типа и трех блоков второго типа. События: A k , k = 1, 2, — исправен k-й блок первого типа, B j , j = 1, 2, 3, — исправен j-й блок второго типа. Прибор исправен, если исправны хотя бы один блок первого типа и не менее двух блоков второго типа. Выразить событие C, означающее исправность прибора, через A k и B j 205 2. Бросают 4 игральные кости. Какова вероятность того, что хотя бы на двух из них выпадет одинаковое число очков? 3. Стержень единичной длины AB разломан в двух наудачу выбранных точках X и Y . С какой вероятностью расстояние между этими точками не превзойдет длины отрезка BY ? 4. Электрическая цепь состоит из элементов A k , соединенных по следующей схеме: - A 4 A 3 A 1 - A 2 Вероятность выхода из строя каждого элемента A k равна 0,02. Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь будет пропускать ток. 5. Одинаковые детали поступают на сборку с трех автоматов. Первый автомат дает 25 %, второй 30 %, третий 45 % всех деталей, необходимых для сборки. Брак в продукции первого автомата составляет 2,5 %, второго — 2 %, третьего — 3 %. Найти вероятность поступления на сборку небракованной детали. Найти вероятность того, что оказавшаяся небракованной деталь изготовлена на первом автомате. 6. По мишени одновременно стреляют три стрелка, вероятности попаданий которых равны соответственно 0,4, 0,7 и 0,9. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа попаданий в мишень. Построить график функции распределения. 7. Максимальный нуль стандартного броуновского движения на [0; 1] имеет координату ξ с функцией распределения F (x) = Aarcsin √ x при x ∈ [0; 1]; 1 при x > 1. Найти константу A. Построить графики функции распределения и плотности распределения случайной величины ξ 8. Подбрасываются три симметричных монеты. Составить таблицу совместного распределения количеств выпавших гербов на первой монете и на трех монетах. Найти коэффициент корреляции между ними. 9. Время ожидания поезда метро за одну поездку имеет равномерное распределение на отрезке от 0 до 5 минут. Оценить число поездок, в течение которых суммарное время ожидания окажется меньше 1 часа с вероятностью 0,96. 10. Для выборки (X 1 , X 2 , . . . , X n ) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по второму моменту 206 и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) = 2x θ 3 e −x 2 / θ 3 при x > 0; 0 при x ≤ 0. 11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному) отклонению, и график оценки плотности распределения. 2,50 0,80 0,32 3,31 1,12 3,29 3,87 2,65 2,01 2,65 1,19 -0,85 4,07 1,23 3,38 5,17 1,51 2,20 5,41 1,22 1,89 2,02 3,17 -1,02 2,73 1,10 3,87 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001. 0,42 1,25 0,87 0,54 0,48 1,20 1,79 0,62 0,75 0,55 0,46 1,02 1,71 1,91 0,83 0,99 1,46 1,09 0,94 Вариант 23 1. Судно имеет одно рулевое устройство, четыре котла и две турбины. Событие A означает исправность рулевого устройства, B k , k = 1, 2, 3, 4, — исправность k-го котла, а C j , j = 1, 2, — исправность j-й турбины. Событие D — судно управляемое, что будет в том и только в том случае, когда исправны рулевое устройство, хотя бы один котел и хотя бы одна турбина. Выразить D через A, B k и C j 2. В студенческой группе 10 юношей и 15 девушек. На университетский праздничный бал группа получила 5 пригласительных билетов, которые разыгрываются по жребию. Какова вероятность того, что на бал попадет хотя бы одна девушка? 3. На отрезке единичной длины наудачу поставлены две точки, в результате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части. Определить вероятность того, что длина всех трех получившихся частей не превосходит 2/3. 207 4. На трех телеканалах часть времени занята рекламой: на первом — 60 % времени, на втором — 40 %, на местном — 30 %. Найти вероятность того, что в случайный момент времени нет рекламы хотя бы на одном из каналов. 5. Станок обрабатывает 2 вида деталей A и B, причем время работы распределяется между ними в соотношении 2:3. При обработке детали вида A он работает с максимальной для него нагрузкой в течение 60 % времени, при обработке детали вида B — 90 % времени. В случайный момент времени станок работал с максимальной нагрузкой. Определить вероятность того, что в это время он обрабатывал деталь вида A; вида B. 6. Вероятность попадания баскетбольного мяча в кольцо при бросании начинающим спортсменом равна 1/9. Мяч бросают до первого попадания, но дают не более 6 попыток. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа промахов. Построить график функции распределения. 7. Сила, действующая на электрон в электрическом поле, вычисляется по формуле F = k/r 2 , где r — расстояние от анода — случайная величина, распределенная равномерно на [R; 2R]. Найти математическое ожидание и стандартное отклонение силы F . Найти вероятность того, что эта сила превысит k/(2R 2 ). 8. В группе из 20 студентов только двое изучали в школе французский язык, и именно они получили оценку «4» на экзамене. Из остальных студентов 10 человек получили оценку «3», 5 человек — оценку «3», и 3 студента получили «двойки». Составить таблицу совместного распределения оценки на экзамене и индикатора изучения француского языка для выбранного наудачу студента. Найти коэффициент корреляции между ними. 9. Число опечаток на странице книги имеет распределение Пуассона с параметром 0,5. Найти, сколько должно быть страниц в книге, чтобы число опечаток в ней не превысило 200 с вероятностью 0,75. 10. Для выборки (X 1 , X 2 , . . . , X n ) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по третьему моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) = 3x 2 θ 3 e −x 3 / θ 3 при x > 0; 0 при x ≤ 0. 11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя 208 вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному) отклонению, и график оценки плотности распределения. 7,16 3,33 7,35 3,05 2,54 1,91 1,77 2,92 5,95 2,31 0,27 5,12 6,60 -1,58 5,42 5,67 6,28 -0,09 2,74 2,45 1,11 6,97 -1,59 -1,41 2,69 4,99 7,24 1,75 4,76 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001. 0,94 1,42 0,61 2,00 0,59 0,58 1,18 1,58 1,01 0,57 0,05 0,25 0,17 1,30 0,52 0,91 0,84 1,66 1,24 Вариант 24 1. Машинно-котельная установка состоит из двух котлов и одной машины. Событие A — исправна машина, событие B k , k = 1, 2, — исправен k-й котел. Событие C означает работоспособность машинно-котельной установки, что будет в том и только в том случае, если исправна машина и хотя бы один котел. Выразить события C и C через A и B k 2. В компании из десяти человек решили сделать друг другу подарки, для чего каждый принес подарок. Все подарки сложили вместе, перемешали и случайно распределили среди участников. Найти вероятность того, что три конкретных человека получат свой собственный подарок. 3. На линейке длиной 20 см случайно сделаны две насечки. Какова вероятность того, что растояние от первой насечки до начала линейки превосходит расстояние от второй насечки до начала линейки более, чем на 15 см? 4. Радиосигнал передается последовательно через 3 ретранслятора. На каждом ретрансляторе может возникнуть помеха независимо от остальных ретрансляторов с вероятностями 0,02, 0,03 и 0,04 соответственно. Найти вероятность получения радиосигнала без помехи. 5. Вероятность того, что изделие удовлетворяет стандарту, равна 0,95. На заводе принята система из четырех независимых испытаний, каждое 209 из которых изделие, удовлетворяющее стандарту, проходит с вероятностью 0,9, а неудовлетворяющее — с вероятностью 0,4. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие выдержит испытания? Какова вероятность того, что изделие, выдержавшее испытания, удовлетворяет стандарту? 6. Вероятность изготовления нестандартного изделия при налаженном технологическом процессе постоянна и равна 1/9. Для проверки изделий отдел технического контроля берет из партии изделия одно за другим, но не более 5 изделий. При обнаружении нестандартного изделия вся партия задерживается. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа изделий, проверяемых в каждой партии. Построить график функции распределения. 7. Высота H, которой достигает брошенный вверх мяч, определяется по формуле H = v 2 /(2g), где v — скорость, с которой брошен мяч, g — ускорение свободного падения, которое примем равным 10 м/с 2 . Предполагается, что v — случайная величина, распределенная равномерно на отрезке от 10 до 20 м/с. Найти плотность распределения и математическое ожидание высоты, достигнутой мячом. Найти вероятность того, что высота превысит 15 м. 8. В научном отделе 3 лаборатории. В первой лаборатории 6 сотрудников и 2 исследовательских проекта, во второй 8 сотрудников и 1 проект, в третьей — 4 сотрудника и 2 проекта. Найти совместное распределение числа сотрудников и числа проектов в выбранной наудачу лаборатории. Найти коэффициент корреляции между ними. 9. Погрешность измерений длины каждого из участков маршрута распределена по нормальному закону с нулевым средним и стандартным отклонением 5 метров. Найти, на сколько участков можно разбить маршрут, чтобы суммарная погрешность не превосходила по модулю 100 метров с вероятностью 0,95. 10. Для выборки (X 1 , X 2 , . . . , X n ) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по первому моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) = ( 1 2 θ 3 √ x e − √ x/ θ 3 при x > 0; 0 при x ≤ 0. 11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение 210 для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному) отклонению, и график оценки плотности распределения. -1,07 -0,72 -4,46 -3,24 2,42 -1,70 -1,24 -0,07 6,20 2,67 1,80 0,26 9,61 2,51 1,44 -3,65 5,50 4,17 -2,06 7,48 2,60 7,61 2,54 9,77 9,67 7,36 7,86 11,22 3,38 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001. 1,06 1,44 0,70 1,33 0,74 0,61 1,03 1,25 0,85 0,81 1,04 0,76 0,80 1,55 1,61 0,82 1,70 1,63 Вариант 25 1. Брошены четыре монеты. Пусть событие A состоит в том, что по крайней мере на двух монетах выпал герб, а событие B — в том, что хотя бы на двух монетах выпала решка. Описать события AB, AB, AB. 2. В шахматном матче участвуют 4 пары шахматистов. Вероятность ничьей в каждой партии равна 1/4. Найти вероятность того, что в матче будет хотя бы одна ничья. 3. На отрезке единичной длины наудачу поставлены две точки, в результате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части. Определить вероятность того, что длина каждой из первых двух частей не превосходит 3/5, длина же последней части больше 1/2. 4. Электрическая цепь состоит из элементов A k , соединенных по следующей схеме: - A 4 A 3 A 1 - A 2 Вероятность выхода из строя элемента A k равна 0,1. Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь не будет пропускать ток. 5. На сборку поступают детали с четырех автоматов. Первый и второй автоматы дают по 40 %, а третий и четвертый по 10 % всех деталей, 211 необходимых для сборки. Брак в продукции первого и второго автомата составляет 1 %, а третьего и четвертого — 4 %. Деталь, изготовленная автоматом, оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом автомате? 6. Вероятность отказа сервера при каждом из независимых подключений с помощью модема равна 0,2. Попытки подключения производятся до установления связи. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа произведенных попыток подключения, если число попыток ограничено шестью. Построить график функции распределения. 7. Закон Эрланга с плотностью распределения f (x) = Ax 2 e − α x при x ≥ 0; 0 при x < 0 описывает время ожидания прихода трех вызовов в пуассоновском потоке. Найти коэффициент A, математическое ожидание и дисперсию. (Рекомендуется использовать таблицы определенных интегралов). 8. На 8 карточках написаны цифры от 1 до 9. Найти совместное распределение числа, написанного на выбранной наудачу карточке, и индикатора того, что это число больше трех. Найти коэффициент корреляции между ними. 9. Количество воды, расходуемое жителями одной квартиры в сутки,8 имеет показательное распределение со средним значением 100 литров. Найти, для какого количества квартир достаточно 100 000 литров воды с вероятностью 0,94. 10. Для выборки (X 1 , X 2 , . . . , X n ) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по первому моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) = 1 θ 3 e −x/ θ 3 при x > 0; 0 при x ≤ 0. 11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному) отклонению, и график оценки плотности распределения. 212 4,38 -1,10 13,11 10,84 9,45 8,56 7,87 7,34 -4,06 3,48 4,70 7,13 -1,08 4,53 13,56 2,66 7,29 9,41 11,86 9,54 10,86 2,50 -2,84 11,21 8,93 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001. 0,23 0,49 1,12 1,98 0,25 1,52 0,52 0,03 1,10 1,59 0,27 1,30 1,79 1,93 0,23 1,84 1,04 Вариант 26 1. На отрезке [0, 1] наудачу ставятся две точки. Построить подходящее пространство элементарных исходов Ω и описать событие A, означающее, что вторая точка ближе к правому концу отрезка [0, 1], чем к левому, и событие B, означающее, что расстояние между двумя точками меньше половины длины отрезка, а также событие AB. 2. Трое женщин и трое мужчин садятся случайным образом за круглый стол. Найти вероятность того, что мужчины и женщины за столом будут чередоваться. 3. Случайная точка A наудачу выбирается в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. найти вероятность того, что расстояние от А до ближайшей стороны прямоугольника не превосходит 1/3. 4. Вероятность установления соединения с сервером при каждой попытке равна 0,9. Найти вероятность того, что соединение будет установлено не раньше четвертой попытки. 5. Студент выучил к зачету только 10 вопросов из 30. Для получения зачета достаточно ответить на два из четырех разных вопросов. Какова вероятность того, что зачет будет получен? Какова вероятность того, что студент ответил не менее чем на три вопроса, если известно, что он получил зачет? 6. Пользователь компьютера забыл пароль и перебирает наудачу 5 возможных. После четырех неудачных попыток компьютер блокируется. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа попыток. Построить график функции распределения. 7. Случайная величина ξ имеет стандартное логарифмически нормальное распределение, если ξ = e η , где η имеет стандартное 213 нормальное распределение. Найти плотность распределения и математическое ожидание случайной величины ξ . Найти вероятность того, что ξ > 1. 8. В двух из четырех комнат температура 25 градусов, а влажность 80 процентов. В третьей комнате температура 20 градусов, а влажность 90 процентов. В четвертой комнате температура 25 градусов, а влажность 90 процентов. Найти совместное распределение температуры и влажности в выбранной наудачу комнате. Найти коэффициент корреляции между температурой и влажностью. 9. Участник лотереи бросает несколько шаров, каждый из которых может попасть в лузы с номерами от 1 до 6. Участник получает ценный приз, если сумма очков меньше 12. Найти, при каком числе шаров вероятность получения ценного приза будет меньше 0,01. 10. Для выборки (X 1 , X 2 , . . . , X n ) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по третьему моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) = 3 √ x 2 θ 3 e −x √ x/ θ 3 при x > 0; 0 при x ≤ 0. 11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному) отклонению, и график оценки плотности распределения. 5,61 6,70 2,88 9,09 -2,06 6,25 6,46 4,25 16,16 7,07 1,35 13,58 7,96 14,64 -2,14 10,81 2,50 2,24 -1,04 5,31 11,93 16,20 7,49 -5,21 5,90 5,63 7,26 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001. 0,64 0,79 0,64 1,06 0,42 0,69 1,65 0,45 0,43 1,48 0,44 0,97 1,49 0,46 1,29 0,37 0,45 Вариант 27 214 1. Из множества супружеских пар выбирается одна пара. Событие A = {Мужу больше 25 лет}, событие B = {Муж старше жены}, событие C = {Жене больше 25 лет}. Выяснить смысл событий: ABC, A\AB, ABC. 2. На отрезке AB наудачу выбираются две точки M и N . Какова вероятность того, что точка M окажется по крайней мере вдвое ближе к точке A, чем к точке N ? 3. Собрались вместе три незнакомых человека. Найти вероятность, что хотя бы у двух из них совпадают дни рождения. 4. Электрическая цепь состоит из элементов A k , соединенных по следующей схеме: - A 4 A 3 A 1 - A 2 Вероятность выхода из строя элемента A 1 равна 0,1, остальных элементов A k — по 0,04. Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь будет пропускать ток. 5. Прибор состоит из четырех независимо работающих блоков, вероятности отказа которых за смену равны соответственно 0,01, 0,02, 0,03 и 0,04. Вероятность выхода из строя прибора при отказе одного из блоков равна 0,8; при отказе более чем одного блока — 1. Определить вероятность выхода прибора из строя за смену. Найти вероятность того, что отказал один блок, если известно, что прибор вышел из строя. 6. При игре с автоматом в случае выигрыша игрок получает 10 рублей. Для участия в игре игрок бросает в автомат 5 рублей. Найти вероятность выигрыша, если математическое ожидание выигрыша равно минус 2 рублям. (В случае проигрыша сумма выигрыша считается отрицательным числом, равным сумме проигрыша, взятой со знаком «минус».) Найти ряд распределения и дисперсию суммы выигрыша. Построить график функции распределения. 7. Плотность распределения вероятностей случайной величины ξ имеет вид f (x) = Ae −|x−a| (распределение Лапласа). Найти коэффициент A, вычислить математическое ожидание и стандартное отклонение. Найти вероятность того, что случайная величина ξ примет значение, большее 2a. 8. В трех из четырех аудиторий по 20 студентов и уровень шума 60 децибелл, а в четвертой аудитории нет студентов и уровень шума 20 децибелл. Найти совместное распределение числа студентов и уровня шума 215 в выбранной наудачу аудитории. Найти коэффициент корреляции между числом студентов и уровнем шума. 9. Количество 10-копеечных монет, необходимое для выдачи каждой сдачи в кассе, принимает значения от 0 до 4 с равными вероятностями. В кассе в начале рабочего дня находится 2500 10-копеечных монет. Найти, для какого количества покупателей получение сдачи гарантировано с вероятностью 0,8. 10. Для выборки (X 1 , X 2 , . . . , X n ) из распределения с9 плотностью распределения f (x) найти оценки параметра 2 < θ < 3 по первому моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) = 1 θ −2 x −( θ −1)/( θ −2) при x > 1; 0 при x ≤ 1. 11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному) отклонению, и график оценки плотности распределения. 1,92 12,70 10,80 -10,19 4,32 12,02 13,68 3,75 -0,90 2,94 15,07 2,08 16,22 13,42 1,55 -6,05 15,70 12,35 13,94 -0,56 24,10 7,45 3,60 -0,24 16,84 6,13 -5,28 3,00 10,04 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001. 0,82 1,13 1,78 0,65 0,55 1,02 0,88 0,76 0,57 1,71 0,62 1,69 0,15 0,23 1,99 1,53 1,91 1,57 Вариант 28 1. Брошены три игральные кости. Пусть событие A состоит в том, что выпавшая сумма очков нечетна, событие B — в том, что хотя бы на одной из костей выпала единица, событие C — в том, что хотя бы на одной кости выпала двойка. Описать события: ABC, ABC, ABC. 216 2. Номер лотерейного билета состоит из 8 цифр. Какова вероятность того, что первые четыре цифры четные, а последние четыре — нечетные? 3. Случайная точка A наудачу выбирается в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. найти вероятность того, что расстояние от А до каждой диагонали прямоугольника не превосходит 1/3. 4. Интервал движения между автобусами маршрута А — 5 минут, маршрута Б — 6 минут, маршрута В — 10 минут. Пассажир приходит на остановку в случайный момент времени. Какова вероятность того, что хотя бы один автобус придет в течение 2 минут после прихода пассажира? 5. В девяти урнах содержится по 4 белых и 2 черных шара, а в одной урне 9 белых и 1 черный шар. Какова вероятность, что из урны, взятой наудачу, будет извлечен черный шар? Найти вероятность, что шар извлечен из урны с 9 белыми и 1 черным шаром, если он оказался черным. 6. Прибор состоит из четырех малонадежных элементов. Отказы элементов за некоторый период времени независимы, а их вероятности равны соответственно 0,1; 0,1; 0,2; 0,2. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа отказавших элементов. Построить график функции распределения. 7. Точка M движется по оси Ox по закону x = ae t . В случайный момент времени, равномерно распределенный на отрезке [0; T ], наблюдается положение ξ точки M . Найти плотность распределения, математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины ξ 8. Четыре поезда метро, уходящие с интервалом в 4 минуты, увезли по 200 пассажиров. Четыре поезда, уходящие с интервалом в 6 минут, увезли по 300 пассажиров. Два поезда, уходящие с интервалом в 8 минут, увезли по 100 пассажиров. Найти совместное распределение числа пассажиров и интервала движения для выбранного наудачу поезда. Найти коэффициент корреляции. 9. Количество бракованных изделий в коробке имеет распределение Пуассона с параметром 4. Найти максимальное число коробок такое, чтобы вероятность найти в них более 200 бракованных изделий была меньше 0,04. 10. Для выборки (X 1 , X 2 , . . . , X n ) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра θ > 4 по второму моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) = ( θ − 2)x − θ +1 при x > 1; 0 при x ≤ 1. 217 11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному) отклонению, и график оценки плотности распределения. 14,29 7,48 2,82 22,84 7,49 8,98 13,84 14,17 7,07 9,69 -8,35 12,77 14,93 5,81 8,62 11,22 3,85 2,86 9,52 15,93 9,43 19,48 19,19 12,20 19,40 12,09 8,47 6,79 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001. 1,19 0,91 0,30 1,34 0,61 1,12 1,00 0,53 1,58 0,62 0,41 0,89 1,20 1,51 0,78 1,44 0,46 0,69 1,33 |