Контрольные задания
 Скачать 412.58 Kb.
|
|
Вариант 29 1. Может ли сумма двух событий A и B совпадать с их произведением? Привести соответствующие примеры. 2. В бригаде 4 рабочих. Какова вероятность того, что по крайней мере двое из них родились в один и тот же месяц? Считать, что вероятности родиться в каждый месяц одинаковы. 3. Случайная точка A наудачу выбирается в прямоугольном треугольнике с катетами 1 и 2. Найти вероятность того, что расстояние от А до ближайшей стороны треугольника не превосходит 1/3. 4. Электрическая цепь состоит из элементов A k , соединенных по следующей схеме: - A 4 A 3 A 1 - A 2 Вероятность выхода из строя элемента A 2 равна 0,01, остальных элементов A k — по 0,1. Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь будет пропускать ток. 218 5. Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Известно, что среди передаваемых сигналов «точка» и «тире» встречаются в отношении 11:10. Из-за помех искажается в среднем 30 % сигналов «точка» и 20 % сигналов «тире», причем «точка» искажается в «тире», а «тире» в «точку». Найти вероятность искажения сигнала. Определить вероятность того, что сигнал не был искажен, если известно, что приняли «точку». 6. Два игрока играют в шахматы на деньги. Известно, что в среднем из 10 партий три выигрывает первый игрок, три заканчиваются вничью, и четыре выигрывает второй игрок. В случае проигрыша первый игрок платит второму 30 рублей. Сколько он должен получать в случае выигрыша, чтобы математическое ожидание его выигрыша равнялось нулю? Найти ряд распределения и дисперсию суммы выигрыша (отрицательная сумма выигрыша — это сумма проигрыша, взятая со знаком «минус»). Построить график функции распределения. 7. Случайная величина ξ имеет плотность распределения f (x) = ( A σ √ 2 π e −(x−a) 2 /(2 σ 2 ) при |x − a| > 2 σ ; 0 при |x − a| ≤ 2 σ Найти нормирующую константу A, вычислить математическое ожидание. Построить график плотности распределения при a = σ = 1. 8. В подъезде 5 однокомнатных квартир площадью по 40 кв. м., 10 двухкомнатных квартир по 60 кв. м. и 5 трехкомнатных квартир по 70 кв. м. Для выбранной наудачу квартиры найти совместное распределение числа комнат и площади. Найти коэффициент корреляции между ними. 9. Суммарное время работы машины складывается из интервалов времени, каждый из которых измеряется со стандартным отклонением в 1 минуту. Найти максимальное число интервалов времени такое, чтобы фактическое время работы отличалось от измеренного не больше, чем на 2 часа, с вероятностью 0,95. 10. Для выборки (X 1 , X 2 , . . . , X n ) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по первому моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) = x θ 6 e −x/ θ 3 при x > 0; 0 при x ≤ 0. 11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя 219 вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному) отклонению, и график оценки плотности распределения. 22,95 -2,61 11,87 1,37 5,92 -5,10 5,38 14,71 7,55 3,91 1,23 8,50 -5,58 -1,97 17,93 9,42 11,99 9,39 4,78 5,43 9,40 8,68 2,20 7,15 14,78 14,77 -15,16 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001. 1,94 1,96 0,64 0,76 0,01 0,82 0,23 0,82 1,96 1,28 1,49 1,07 1,92 0,17 1,68 1,01 0,48 Вариант 30 1. Может ли разность двух событий совпадать с их произведением? Привести примеры. 2. В чулане лежат три разных пары ботинок. Случайно выбираются три ботинка. Чему равна вероятность того, что среди них не будет ни одной пары? 3. На линейке наудачу поставлены 2 точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними окажется меньше трети длины линейки? 4. Электрическая цепь состоит из элементов A k , соединенных по следующей схеме: - A 1 A 3 A 2 A 5 - A 4 Вероятность выхода из строя элемента A 2 равна 0,01, остальных элементов A k — по 0,1. Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь будет пропускать ток. 5. Первое орудие 4-орудийной батареи пристреляно так, что вероятность попадания для него равна 1/2. Для остальных орудий она равна 2/5. Батарея дала залп по цели. Найти вероятность того, что цель 220 поражена. Найти вероятность того, что первое орудие попало в цель, если известно, что цель была поражена. Для поражения цели достаточно одного попадания. 6. Вероятность приема отдельного сигнала равна 0,3. Радиосигнал передается 6 раз. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа принятых сигналов. Построить график функции распределения. Найти вероятность того, что принятых сигналов будет не меньше 2, но не больше 4. 7. Диаметр круга является случайной величиной, равномерно распределенной на отрезке [0; d]. Найти плотность распределения, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию площади круга. Найти вероятность того, что площадь превосходит π d 2 /32. Начертить графики плотности распределения и функции распределения. 8. В отделе работает один сотрудник с двумя высшими образованиями по 13-му разряду, два сотрудника с высшим образованием по 12-му разряду, и шесть сотрудников без высшего образования по 10-му разряду. Для выбранного наудачу сотрудника найти совместное распределение разряда и количества высших образований. Вычислить коэффициент корреляции между ними. 9. Время ожидания автобуса пассажиром имеет показательное распределение со средним значением 9 минут. Найти число поездок, для которого суммарное время ожидания автобуса превысит 3 часа с вероятностью не более 0,2. 10. Для выборки (X 1 , X 2 , . . . , X n ) из распределения с плотностью распределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по первому моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна f (x) = x 2 2 θ 9 e −x/ θ 3 при x > 0; 0 при x ≤ 0. 11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестными параметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение для оценки плотности распределения. Построить на одном графике гистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному) отклонению, и график оценки плотности распределения. 9,63 19,48 3,89 4,45 15,11 15,90 24,94 1,72 3,25 -3,77 12,17 10,08 14,36 9,39 1,27 7,89 8,68 1,59 10,57 3,21 -6,11 15,61 10,82 1,68 5,63 6,79 221 20,27 -2,15 12. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборка имеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том, принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия 0,01; на уровне доверия 0,001. 0,64 1,43 0,40 1,23 1,40 0,76 1,09 1,65 1,32 1,24 1,39 0,81 0,39 0,76 1,14 1,24 1,69 1,58 222 Приложение. Таблицы Т а б л и ц а 1. Нормальное распределение. Значения функции Φ(x) = 1 √ 2 π · x R −∞ e − t2 2 dt и функции Φ(x) = Φ( −x) = 1 − Φ(x). 1 x Φ( −x) Φ(x) 4,75 0,000001 0,999999 4,26 0,00001 0,99999 3,72 0,0001 0,9999 3,09 0,001 0,999 2,58 0,005 0,995 2,33 0,01 0,99 2,05 0,02 0,98 1,96 0,025 0,975 1,88 0,03 0,97 1,75 0,04 0,96 1,64 0,05 0,95 1,28 0,1 0,9 0,84 0,2 0,8 0,52 0,3 0,7 0,25 0,4 0,6 0,00 0,5 0,5 1 Для x > 4, 75 можно использовать аппроксимацию Φ(x) ∼ e −x 2/2 x √ 2 π 223 Т а б л и ц а 2. Равномерно распределенные на [0,1] случайные числа 0,5916 3406 6079 4101 5314 6562 7463 8203 1643 5825 3127 1413 9711 6253 4135 0690 0120 3993 3136 3821 3617 6700 5940 9629 1094 7128 6396 6787 3147 2625 6635 5477 9121 4513 6213 9162 3901 7480 6319 2645 9313 5889 0399 2226 7919 8216 8851 4184 0471 9664 9470 2099 1992 0836 5050 3361 6387 3374 4963 1255 5303 5501 4237 5307 8954 1039 9430 6838 4188 2383 9031 4215 1197 8764 8382 9481 4474 8315 1752 8546 8922 6145 5759 5489 1479 5725 6542 2141 7449 1653 4398 7198 5643 3687 2311 3652 5889 8865 2378 2198 9612 0448 9632 3741 4776 6836 0101 8861 2786 5132 4601 8247 6883 2196 6570 9154 7397 3584 2139 1019 2212 8036 6484 9953 8382 7158 2036 5270 7441 4387 9192 9019 7880 4728 0115 3072 2267 6512 5673 2943 2380 4955 7803 1907 5803 3290 8562 2558 5986 1904 4448 1790 1932 0833 7005 7042 4161 9279 4049 1693 5978 5412 2154 9202 7586 7147 7403 5033 8549 6005 3617 6700 5940 9629 1094 4386 9362 6122 0193 1987 2210 9405 5860 9709 3433 5072 5682 4829 4052 4201 1374 6700 7818 4754 0610 3676 6679 5190 3647 6493 224 Т а б л и ц а 3. Распределение χ 2 (n). Квантили распределения: p = χ 2 p,n Z 0 k n (x)dx = 1 2 n/2 Γ(n/2) · χ 2 p,n Z 0 x n/2−1 e −x/2 dx n - p 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 0,95 0.999 0,9999 1 0,016 0,148 0,455 1,07 2,71 3,84 6,63 10,8 2 0,211 0,713 1,39 2,41 4,61 5,99 9,21 13,8 3 0,584 1,42 2,37 3,67 6,25 7,82 11,3 16,3 4 1,06 2,20 3,36 4,88 7,78 9,49 13,3 18,5 5 1,61 3,00 4,35 6,06 9,24 11,1 15,1 20,5 6 2,20 3,83 5,35 7,23 10,6 12,6 16,8 22,5 7 2,83 4,67 6,35 8,38 12,0 14,1 18,5 24,3 8 3,49 5,53 7,34 9,52 13,4 15,5 20,1 26,1 9 4,17 6,39 8,34 10,7 14,7 16,9 21,7 27,9 10 4,87 7,27 9,34 11,8 16,0 18,3 23,2 29,6 11 5,58 8,15 10,3 12,9 17,3 19,7 24,7 31,3 12 6,30 9,03 11,3 14,0 18,5 21,0 26,2 32,9 13 7,04 9,93 12,3 15,52 13,4 15,5 20,1 26,1 14 7,79 10,08 13,3 16,2 21,1 23,7 29,1 36,1 15 8,55 11,7 14,3 17,3 22,3 25,0 30,6 37,7 16 9,31 12,6 15,3 18,4 23,5 26,3 32,0 39,3 17 10,09 13,5 16,3 19,5 24,8 27,6 33,4 40,8 18 10,9 14,4 17,3 20,6 26,0 28,9 34,8 42,3 19 11,7 15,4 18,3 21,7 27,2 30,1 36,2 43,8 20 12,4 16,3 19,3 22,8 28,4 31,4 37,6 45,3 21 13,2 17,2 20,3 23,9 29,6 32,7 38,9 46,8 22 14,0 18,1 21,3 24,9 30,8 33,9 40,3 48,3 23 14,8 19,0 22,3 26,0 32,0 35,2 41,6 49,7 24 15,7 19,9 23,3 27,1 33,2 36,4 43,0 51,2 25 16,5 20,9 24,3 28,2 34,3 37,7 44,3 52,6 26 17,3 21,8 25,3 29,2 35,6 38,9 45,6 54,1 27 18,1 22,7 26,3 30,3 36,7 40,1 47,0 55,5 28 18,9 23,6 27,3 31,4 37,9 41,3 48,3 56,9 29 19,8 24,6 28,3 32,5 39,1 42,6 49,6 58,3 30 20,6 25,5 29,3 33,5 40,3 43,8 50,9 59,7 225 Т а б л и ц а 4. Распределение Стьюдента S(n) Значения функции t γ ,n 1 + γ 2 = t γ ,n Z −∞ s n (x)dx = Γ( n+1 2 ) Γ( n 2 ) √ π n · t γ ,n Z −∞ (1 + x 2 n ) −(n+1)/2 dx n - γ 0,9 0,95 0,98 0,99 1 6,314 12,706 31,821 63,657 2 2,920 4,303 6,965 9,925 3 2,353 3,182 4,541 5,841 4 2,132 2,776 3,747 4,604 5 2,015 2,571 3,365 4,032 6 1,943 2,447 3,143 3,707 7 1,895 2,365 2,998 3,499 8 1,860 2,306 2,896 3,355 9 1,833 2,262 2,821 3,250 10 1,812 2,228 2,764 3,169 12 1,782 2,179 2,681 3,055 14 1,761 2,145 2,625 2,977 16 1,746 2,120 2,584 2,921 18 1,734 2,101 2,552 2,878 20 1,725 2,086 2,528 2,845 22 1,717 2,074 2,508 2,819 24 1,711 2,064 2,492 2,797 26 1,706 2,056 2,479 2,779 28 1,701 2,048 2,467 2,763 30 1,697 2,042 2,457 2,750 ∞ 1,645 1,960 2,326 2,576 226 |