Шпоры по векторам. Векторами. (Скаляры числа). С этого момента вектор будет обозначаться ( ab ). ab, a векторы. (рисунок вектор, начало, конец). Длинна вектора называется модулем вектора
 Скачать 148 Kb.
|
|
Величины, которые полностью определяются заданием направления численного значения называются векторами. (Скаляры - числа). С этого момента вектор будет обозначаться ( AB` ). AB`, a` - векторы. (рисунок – вектор, начало, конец). Длинна вектора называется модулем вектора. AB = |AB`| = |a`|. Вектор, у которого совпадает начало и конец, называется нулевым вектором. 0`, | 0`| = 0; Вектор, модуль которого равен 1, называется единичным вектором |e`|= 1. 2 вектора, лежащие на одной прямой или на параллельной прямой называются колинеарными. 2 вектора называются равными, если они: 1) колинеарны, 2) они имеют одно направление, 3) |a`|=|b`|; a`=λb` (рисунки и примеры) Алгебраические операции с векторами. 1  ) Сложение векторов. c` = a` + b` (рисунок – сложение по правилу параллепипеда).2) Суммой a` и b` называется 3ий вектор c`, соединяющий начало одного и конец другого вектора. (рисунок - сложение по правилу треугольника, 2 вектора выходят из одной точки). 3) Разность 2х векторов. Разностью 2х векторов a` и b` называется 3ий вектор c`, который в сумме с вычитаемым b` дает a`. c`=a` +b`; d`= a`-b` (рисунок – вычитание и сложение). Чтобы |a` + b`| = |a` - b`| необходимо: a ┴ b. Умножение вектора на число. Дано: a`, λ; b` = λ a`; λ (a` + b`) = λa` ± λb`; a`(λ1 + λ2) = λ1 a` + λ2 a`; Угол между векторами. Это наименьший угол, на который нужно повернуть один из векторов против часовой стрелки до их полного совпадения. Проекция вектора на ось. Составляющие вектора на оси. П  усть дана произвольная ось l . Состовляющие AB` на оси l. Составляющие векторы: A’B’` = x2 – x1; A’B’ = проекция l AB` - проекция AB на ось l.φ=π/2; x2 > x1; x2 – x1 > 0; π/2< φ< π; x1 – x1 < 0; При сложении нескольких векторов, их проекции также складываются (рисунок и формулы к нему – нарисуешь сам). Линейная зависимость векторов. Базис. a1`, a2`,…, an`; Вектора называются линейно-независимыми, если равенство λ1 a1` + λ2 a2` +…+λn an` = 0 выполняется только в тревиальном случае – λ1 a1`+λ2 a2`+…+λn an` = 0, λ1, λ2, λ3…λn=0; и называются линейно-зависимыми, если хотя бы одно из чисел λ <>0; λ1<>0; μ1=λ2/λ1; μ2=λ3/λ2… ; a1`= μ1 a2`+μ2 a3` +…+μ(n - 1) an`; Вектор a1` представлен линейной комбинацией векторов. Д  окажем следующую ТЕОРЕМУ: Всякие 3 вектора на плоскости линейно зависимые. Дано: a`, b`, c`, причем 2 из них колинеарны. Док-ть: a`=λ1 b`+λ2 c`-?; Док-во: 1) пусть a` и b` колинеарны: a`=λ1 b` + 0 c`; λ1<>0; λ2=0; c`=λ1 a`+λ2 b`=|b`=αa`|=λ1 a`+λ2 α a` = β a` + 0 b`; 2) Дано: a`, b`, c`; c`=λ1 a`+λ2 b`; Док-во: c`=OM`; OM` = OM1`+OM2`; OM1`=λ1 a`; OM2`=λ2 b`; c`=λ1 a` + λ2 b`Следствие: 1. Максимальное число линейно-независимых векторов на плоскости равно двум. 2. Для того, чтобы 2 вектора на плоскости были линейно-независимы <=>, чтобы они были неколлинеарными. Линейная зависимость векторов в трехмерном пространстве. Вектора, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях называются компланарными. ТЕОРЕМА: любые 4 вектора в 3х-мерном пространстве являются линейно-зависимыми. Дано: a`, b`, c`, d`; из них 3 компланарны; a` = λ1 b` +λ2 c` +0` d` (см. рисунок). O  M`= a`; a` ^ b`; d` ^ b`; b` ^ c`; ON – проекцияON`= OM2+ON3; NM`=OM1`; OM`=ON`+NM`; OM`=OM1`+OM2`+OM3` OM1`=λ1 d`; OM2`=λ2 b`; OM3 = λ3 c`; Это означает, что векторы линейно-зависимые. Следствие: 1. Максимальное число линейно-независимых векторов в трехмерном пространстве равно 3м. 2. Для того, чтобы 3 вектора в трехмерном пространстве были линейно-независимые <=>, чтобы они были не компланарны. Базис в пространстве. Любые 2 линейно-независимых вектора на плоскости образуют базис. Любой тертий вектор можно выразить через базис: b`, c`; a`=λ1 b`+λ2 c`; λ1, λ2 – афинные координаты вектора a` в базисе b` и c`. ТЕОРЕМА: Разложение по базису является единственным. Дано: базис b`, c`. Допустим, что разложение вектора по базису возможно в двух вариантах: a`=λ1 b`+λ2 c` {λ1, λ2}; a`=β1 b`+β2 c` {β1, β2}; 0`= (λ1 – β1) b`+ (λ2 – β2) c`; x1 – β1 = 0; x2 – β2 = 0; x1 = β1; λ2 = β2. ТЕОРЕМА: Любые 3 линейно-независимые вектора образуют базис и разложение по базису в трехмерном пространстве является единственным. a` = λ1 b`+ λ2 c`+ λ3 d` {λ1, λ2, λ3}…. n-мерное пространство. Размерность пространства. Любые n линейно-независимых векторов в n-мерном пространстве образуют базис. Размерность пространства определяется числом линейно-независимых векторов в пространстве. 2 R2; 3 R3; nRn; a` (λ1..λn). Фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений. AX=0; r < n; n,r – независимые решения (произвольные). Для однородной системы уравнений справедливо следующее утверждение – любая линейная комбинация решений однородной системы также будет решением этой системы. b`={b1, b2, bn}; AX= 0; λb`={λb1, λb2…λbn}; c`={c1, c2… cn}; c+λb`={c1+λb1, c2+λb2, …,cn+λbn}; Из множества всех решений можем выбрать систему линейно-независимых решений (базис) через которую будут выражаться все остальные решения системы. Эта система линейно-независима и называется фундаментальной системой решения однородных систем уравнений. Рассмотрим однородную систему с рангом r < n; n, r – независимые (в скобках – нижние индексы): a11 x1+a11 x2+a1r xr = a (1r+1) x (n+1)… a1n xn; …; ar1 x1+ar2 x2…+anr xr = a(nr+1) x(n+1) …+a (r n) x (n). ----- n - r --------------------^---------------------------------------- x(r+1) (1 0 0 0… 0) x (r+2) (0 1 0 0 … 0) … xn (0 0 0 0… 1) Фундаментальная система будет иметь следующий вид: {x (1)` = (x1(1), x2(1)…xn(1),1, 0, 0…0); x(2)`= (x1(2)…0); x( r )` = (x1( r )..1) Прямоугольная декартовая система координат. Это система координат, которая состовлется осями, имеющими 1 общее начало. (i`, j`, k`) – базис. О  ртогональная система координат. ОРТ - |i`|=|j`|=|k`| Рассмотрим OM`: OM1`, OM2`, OM3`;OM`=OM1`+OM2`+OM3`; OM1`-проекция на ось oy - состовляющий вектор OM на оси oy; OM2` - сост. вектор на оси ox; OM3` - состовляющий вектор OM` на оси oz. М(x, y, z), M1(0, y, 0), M2(x, 0, 0), M3(0, 0, z); OM`=xi`+yj`+zk`; O (0, 0, 0), M(x, y, z); Вектор, соединяющий начало координат и любую точку в пространстве называется радиус-вектором. r`=OM`=xi`+yj`+zk`; ПРИМЕРЫ. AB`; A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2); AB`{x1-x1;y2-y1;z2-z1}; AB`={ax, ay, az}; AB`=ax i`+ay j`+az k`; |AB`|= √ax(ст2)+ay(ст2)+az(ст2); (a`^ox)=α; (a`^oy)=β; (a`^oz)=γ; Направляющие косинусы: ax =x2-x1; cosβ=ay/ |a`|; cosα=ax/ |a`|; cosγ=az/ |a`|; coaα(ст2)+cosβ(ст2)+cosγ (ст2)=ax(ст2)+ay(ст2)+az(ст2)/ ax(ст2)+ay(ст2)+az(ст2)=1; α+β=π/2; Условия колинеарности двух векторов – ( ax / bx=ay / by=az / bz ) Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением 2х векторов называется число, равное произведению модулей векторов, умноженное на cos угла между ними. a`*b`=|a`|*|b`|*cosα; a`={ax, ay, az}; b`={bx, by, bz}; a`*b`=(ax bx + ay by +az bz) Свойства скалярного произведения. (1) a`*b`=b`*a` - переместительный закон (2) λ (a`*b`)=(λa`)b`=a`(λb`) (3) (a`+b`)c`=a`c`+b`c`; OM=|a`| cosα; a`b`=|a`| |b`| cosα; a`a`=a`(ст2)=|a`| |a`| cos0= a (ст2); a=√a`(ст2)=ax i`+ay j`+az k` Векторное произведение. Векторным произведением a` и b` называется 3ий вектор c`, который удовлетворяет следующим условиям: 1) |c`|=|a`| |b`| sinα (2) c` a`, c`b`. Свойства векторного произведения: 1) a` x b`= -b` x a`; 2) λ (a` x b`)=(λa`) x b`=a` x (λb`); 3) Распределительный закон (a`+b`) x c`=a` x c` + b` x c`; Векторное произведение через координаты перемножаемых векторов. a` x b`=|i j k; ax, ay, az; bx, by, bz| = i |ay az; by bz| - j |ax az; bx bz| + k|ax ay; bx, by|; Площадь треугольника: S=1/2 |a` x b`| Смешанное произведение векторов. – называется произведение вида (a` x b`) c`; Оно равно = |ax ay az; bx by bz; cx cy cz|; Свойства симметрии пространства. 1) При перестановки знак меняется: (a` x b`) c`= - (b` x a`) c`; 2) a`b`c`=b`c`a`=c`a`b` Геометрическое место смещенного произведения. – V=(a` x b`) c` Условие компланарности 3х векторов: (a` x b`) c` = 0; Собственные числа и собственные векторы матрицы. A=(a11,…,ann); A-λE=(a11 –λ, a12…; a21, a22 – λ…;…ann – λ) – характеристическая матрица для матрицы A. Δ(A-λE)=det(A-λE) – характеристический многочлен. Δ= (- 1) (ст.n) λ (ст.n)+( - 1) (ст.n-1) P1 λ (ст.n-1) + ( - 1) (ст.n-2) P2 λ (ст.n-2)…+Pn; Корни многочлена λ1, λ2, λ3 – собственные числа матрицы A. P1= a11 + a22+…ann = Sp A (след. матрица А); Pn=detA(Δ); Зная собственные числа можно найти собственные векторы матрицы А. Собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числу λ, называется всякий не нулевой вектор, удовлетворяющий следующему уравнению: AX=λX’ (x - вектор); (A - λE)X= 0; (λX= λ EX) det(A-λE)= 0 (характеристическое уравнение), λ1, λ2, λn - ? |