Алгебра тест. Квадратные матрицы называются подобными

• Название: Квадратные матрицы называются подобными
• Анкор: Алгебра тест
• Дата: 05.12.2020
• Размер: 26.28 Kb.
• Имя файла: Algebra_TEST.docx
• Тип: Документы; #157267

Квадратные матрицы называются подобными если существует невырожденная матрица C, такая что A=C^-1 BC	Нормой вектора называется  Число равное корню из скалярного произведения вектора на самого себя
Система векторов называется ортогональной если любые два различных вектора этой системы ортогональны	Ранг произведения матриц  Не превосходит ранга каждого из сомножителей
Вектора называются ортогональными, если (a,b) = 0 (a,b)=0	Подпространство W называется инвариантным  Если его образ относительно оператора A - подмножество W
Линейное отображение называется Эпиморфизмом если любой элемент из V2 есть образ по крайней мере одного элемента из V1	Ранг ступенчатой матрицы равен  Числу ненулевых строк
Образом линейного отображения называется множество векторов, в которые можно перейти при помощи линейного отображения	Суммой подпространств называется множество векторов   Вида w = w1 + w2, где w1 из первого, а w2 из второго подпространства
Оператором называется отображение пространства в само себя	Характеристический многочлен оператора  Не зависит от базиса при построении матрицы оператора
Произведению (суперпозиции) линейных отображений соответствует произведение соответствующих матриц	Ранг матрицы равен Максимальному числу линейно-независимых строк (столбцов)
Пространство называется конечномерным, если обладает базисом из конечного числа векторов	Оператор наз. самосопряженным Если А*=А
Отображением называется любое правило, по которому вектору первого пространства ставится в соответствие единственный вектор второго пространства	Следом матрицы называется сумма элементов на главной диагонали
Пространства изоморфны если их размерности равны	Выражение a1v1 + a2v2 + .... + anvn называется Линейной комбинацией векторов v1, v2, … vn
Всякую квадратную матрицу можно привести к Жордановой форме	Два пространства называются изоморфными если между их элементами можно установить хотя бы одно взаимно-однозначное соответствие
Система векторов называется линейно зависимой если: существует нетривиальная линейная комбинация равная 0.	Линейное отображение наз. Изоморфизмом если оно представляет собой взаимно-однозначное соответствие
Чтобы найти координаты любого вектора в ортонормированном базисе нужно этот вектор скалярно умножить на каждый базисный вектор	Сумма есть подпространство  верно
Ядром линейного отображения называется множество векторов, переходящих в 0	Функционалом называется отображение пространства в множество действительных чисел
Линейное отображение может перевести линейно-независимые векторы в линейно-зависимые Верно	Отображение A называется линейным, если:  A(a1+a2) = A(a1) + A(a2)  A(ka) = kA(a)
Собственные вектора оператора и его сопряженного оператора Совпадают	При помощи элементарных преобразований привести к ступенчатому виду  Можно любую матрицу
Рангом системы векторов называется Максимальное число линейно-независимых векторов этой системы	У подобных матриц   Характеристические многочлены совпадают
Линейное пространство наз. Евклидовым, если оно удовлетворяет аксиомам (альфа a,b)=альфа(a,b)  для любых двух элементов a и b: (a,b)=(b,a) (a,a)>0, a<>0 для любых двух элементов a, b и c: (a+b,c)=(a,c)+(b,c)	Фундаментальной системой решений называется всякий базис пространства решений однородной системы уравнений
многочлен f(x) наз. аннулирующим многочленом для матрицы если f(A) = 0	Число λ наз собственным числом оператора А если А(λ)=λu
Собственные векторы линейного оператора, соответствующие различным собственным числам линейно независимы	Пусть имеется некоторая конечномерная система, тогда ее всегда можно дополнить до базиса
Если в качестве базиса пространства выбрать собственные вектора оператора то матрица оператора в этом базисе будет диагональной	Линейное отображение наз. Мономорфизмом если разным элементам соответствуют разные образы
Обратимым оператором A называется если существует В, такой что АВ=ВА=Е	сопряженным оператором А*называется оператор определяемый равенством (А(x),y)=(x,A*(y))
Если ядро оператора A состоит из нулевого элемента, то  оператор называется невырожденным	Ранг матрицы линейного отображения равен размерности пространства образов
Всякий линейный оператор в Евклидовом пространстве имеет хотя бы одно инвариантное подпространство размерности 1, или 2	Два унитарных пространства изоморфны, если их размерности равны Верно
Противоположный элемент Один	Базис называется ортонормированным если он есть ортогональный и ||еk|| = 1
Базис называется ортогональным если он есть ортогональная система векторов	Базис линейного пространства - это линейно-независимая система образующих
Чтобы система линейных уравнений была совместной необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был равен рангу расширенной матрицы	Ортогональная система векторов, не содержащая нулевого вектора линейно-независима
Система векторов называется системой образующих если любой вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации этих векторов	Любая квадратная матрица с простым спектром собственных значений  может быть приведена к диагональному виду
Расстоянием называется число ||a-b||	Собственные вектора нормального оператора, соответствующие различным собственным значениям ортогональны
Определения автоморфизма, обратимости и невырожденности для оператора не эквивалентны неверно	Любой набор из (n+1) вектора n мерного пространства линейно-зависим
Переход к ортонормированному базису не меняет скалярное произведение	В любом конечномерном пространстве существует ортонормированный базис верно
Два подмножества называются ортогональными если (a,b) = 0, где a из первого множества, а b из второго	Множество называется подпространством, если оно: образует линейное пространство относительно операций “+” и “*” на число из поля К, которые
|A-λE| называется  характеристическим многочленом	Рангом линейного отображения называется размерность пространства образов
Ступенчатой называется матрица у которой: Ведущий элемент (первый ненулевой элемент строки при отсчёте слева направо) каждой ненулевой строки располагается строго правее ведущего элемента в строке, расположенной выше данной. Все ненулевые строки (имеющие по крайней мере один ненулевой элемент) располагаются над всеми чисто нулевыми строками	Линейным векторным пространством над полем K называется множество элементов если  Определена бинарная операция сложения, унарная операция умножения элементов V на элементы поля K, операции сложения и умножения подчинены аксиомам: коммутативности, ассоциативности, существует 0, существует противоположный элемент.
Прямая сумма подпространства и его ортогонального дополнения даст все пространство	Размерностью линейного пространства V над полем К называется количество элементов базиса
Рангом матрицы называется максимальный порядок ненулевого минора	Система линейных уравнений называется однородной если свободные члены равны нулю
Если ранг отображения равен размерности исходного пространства то любая линейно-независимая система векторов переходит в линейно-независимую систему	Два пространства над одним и тем же полем К наз. Изоморфными если между элементами этих пространств можно установить взаимно-однозначное соответствие
Оператор называется кососимметрическим если А*=-А	В каждом подпространстве есть нулевой элемент
Дефектом преобразования называется разница между размерностью исходного пространства и рангом отображения	Пусть вектора v1,v2,…,vn – линейнонезависимые , c=a1v1+…+anvn выражается через них, тогда a1,…,an выражаются однозначно
Если в определении линейного пространства вместо поля К взять кольцо, то полученная структура называется модулем	Пересечением подпространств называется множества векторов принадлежащих как одному, так и другому пространствам
Любая система векторов содержащая 0 линейно зависимая	Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами
Матрицей перехода от первого базиса ко второму называется матрица коэффициентов разложения векторов нового базиса по старому, записанные в столбцы	Базисы конечномерного пространства состоят из одного и того же числа векторов
Неравенство Коши-Буняковского |(a,b)|<=||a||*||b||	Если ранг матрицы из координат равен числу векторов этой системы линейно независима
Автоморфизмом называется взаимно-однозначное отображение пространства на само себя	Сопряженным называется пространство которое есть пространство всех линейных операторов на V
Если подставить матрицу в характеристический многочлен характеристический многочлен станет равным 0	Применение элементарных преобразований не меняет ранга матрицы
Сумма двух подпространств называется прямой Если их пересечение состоит только из 0 вектора	Сумма двух подпространств является прямой если существует единственное разложение w=w1+w2, где w1 из первого, а w2 из второго подпространства
Однородная система линейных уравнений всегда совместна	Однородная система линейных уравнений имеет единственное решение, тогда и только тогда, когда определитель матрицы отличен от нуля
В любом конечномерном пространстве существует ортогональный базис верно	Линейный оператор называется нормальным если он коммутирует со своим сопряженным
Образом линейного отражения называется множество векторов, в которые можно перейти при помощи линейного отображения	Ортонормированную систему векторов можно дополнить до базиса