Алгебра. Векторная алгебра 1520. Вектором называется направленный отрезок ab с начальной точ кой a и конечной точкой B. Вектор обозначается символом ab
 Скачать 118.85 Kb.
|
|
Векторная алгебра. При изучении различных разделов физики, механики и техниче- ских наук встречаются величины, которые полностью определяются за- данием их численных значений. Такие величины называются скалярны- ми. Скалярными величинами, например, являются длина, площадь, объём, масса, температура тела, ... Помимо скалярных величин в различных задачах встречаются величины, для определения которых, кроме численного значения, необходимо знать также их направления в пространстве. Такие величины называются векторными. Например, сила, действующая на тело, скорость и ускорение тела при его дви- жении в пространстве, ... Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точ- кой A и конечной точкой B. Вектор обозначается символом AB, ⃗ a , a или AB Длиной (или модулем) вектора ( | AB | ) называется число, рав- ное длине отрезка AB, изображающего вектор. Вектор, у которого конец совпадает с началом, называется нуль-вектором 0. Нуль-вектор не имеет определённого направления, модуль его равен 0: |0| = 0. Векторы, лежащие на параллельных пря- мых (или на одной прямой), называются коллинеарными . Коллинеарные векторы могут иметь одно и то же направление или противоположное. В первом случае они называются сонаправленными (↑↑). Если два век- тора направлены в противоположные стороны, то они называются про- тивоположно направленными. Два вектора ⃗ a и ⃗ b называются равными , если они: 1) коллинеарны, 2) сонаправлены (↑↑), 3) имеют равные модули. Два вектора, имеющие равные модули и противоположные направ- ления, называются противоположными . Для каждого вектора ⃗ a суще- ствует противоположный вектор. Для вектора протовоположный век- тор −⃗ a Линейные операции над векторами 1) Сложение векторов Совместим начало вектора ⃗ b с концом вектора ⃗ a . Тогда вектор, идущий из начала вектора ⃗ a в конец вектора ⃗ b называетсясуммой векторов ⃗ a и ⃗ b и обозначается ⃗ a + ⃗ b . Такой способ по- строения суммы двух векторов называют «правилом треугольника». Когда векторы ⃗ a и ⃗ b имеют общее начало, строят параллелограмм на векторах слагаемых, и тогда вектор, выходящий из того же начала и совпадающий по длине и направлению с диагона- лью построенного параллелограмма будет искомым вектором суммы. 2) Вычитание векторов Векторы ⃗ a и ⃗ b приводят к общему началу и тогда вектор, идущий от конца вектора ⃗ b к концу вектора ⃗ a будет искомым. Геометрическую сумму и разность векторов можно изобразить на одном рисунке. Сумма векторов, приведённых к одному началу 0, расположена на диагонали па- раллелограмма, выходящего из общего начала: ⃗ a + ⃗ b = OC , а разность — на второй диагонали, соединяющей концы векторов, со стрелкой в сторону вектора-уменьшаемого: ⃗ a — ⃗ b = OC _ a _ _ a+b _ b _ a _ _ a+b _ b _ a _ _ a+b _ b _ _ a–b C B A O _ a _ _ a–b _ b 3) Умножение вектора на число Пусть даны вектор ⃗ a и число λ. Произведением вектора ⃗ a на число λ называется новый вектор ⃗ b , коллинеарный вектору ⃗ a , имеющий длину | ⃗ b | = |λ|·| ⃗ a | и то же направление, что и вектор ⃗ a , если λ > 0; и противоположное направление, если λ < 0. ⃗ a ·λ = ⃗ b λ > 0: ⃗ a ↑↑ ⃗ b , | ⃗ b | = λ·| ⃗ a | λ < 0: ⃗ a ↑↓ ⃗ b , | ⃗ b | = |λ|·| ⃗ a | Вектор, длина которого равна 1, называется единичным , обозна- чается ⃗ e Если ⃗ a ↑↑( сонаправлен ) , ⃗ e тогда ⃗ a = | ⃗ a |· ⃗ e Пусть заданы точки A(x 1 ; y 1 ; z 1 ), B(x 2 ; y 2 ; z 2 ), тогда коорди- наты вектора AB определяются формулой AB {x 2 — x 1 ; y 2 — y 1 ; z 2 — z 1 }, т. е. чтобы получить координаты вектора, надо от координат его конца отнять координаты начала. В этом случае говорят, что вектор задан в координатной форме. Рассмотрим в пространстве вектор ⃗ a , заданный координатами: ⃗ a { x 2 — x 1 ; y 2 — y 1 ; z 2 — z 2 } Обозначим x 2 — x 1 = a x , y 2 — y 1 = a y , z 2 — z 1 = a z , тогда ⃗ a { a x ;a y ;a z } Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат. Отнесём к каждой из осей единичный вектор, направление которого совпадает с положительным направлением оси. К оси x отнесём еди- ничный вектор i, к оси y отнесём единичный вектор j, к оси z от- несём единичный вектор k. Эти три взаимно перпендикулярных вектора называются ортами. Можно сказать, что векторы i, j, k образуют координатный базис Любой вектор может быть разложен по базису i, j, k, т. е. мо- жет быть представлен в виде ⃗ a = a x i + a y j + a z k или ⃗ a = (x 2 — x 1 )i + (y 2 — y 1 )j + (z 2 — z 1 )k Действия с векторами,заданными в координатной форме. Заданы векторы ⃗ a {a x ; a y ; a z }, ⃗ b {b x ; b y ; b z } 1 ⃗ a + ⃗ b = ⃗ c {a x +b x ; a y +b y ; a z +b z } 2) ⃗ a — ⃗ b = ⃗ c {a x —b x ; a y —b y ; a z —b z } 3) λ· ⃗ a = ⃗ c {λa x ; λa y ; λa z } Скалярное произведение двух векторов Определение Скалярным произведением векторов ⃗ a и ⃗ b называется чис- ло, равное произведению их модулей на косинус угла φ между ними. ⃗ a · ⃗ b = | ⃗ a |·| ⃗ b |·cosφ Свойства скалярного произведения 1) ⃗ a · ⃗ b = ⃗ b · ⃗ a 2) λ ⋅( a⋅b)=( λ ⋅ a)⋅b 3) ( ⃗ a + ⃗ b ) ⃗ c = ⃗ a ⃗ c + ⃗ b ⃗ c 4) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля ⃗ a · ⃗ a = ⃗ a 2 , ⃗ a ²= | ⃗ a |² 5) условие перпендикулярности двух векторов ⃗ a ┴ ⃗ b <=> ⃗ a · ⃗ b = 0 ⃗ a · ⃗ b = a x b x + a y b y + a z b z 6) Условие коллинеарности двух векторов ⃗ a || ⃗ b эквивалентно соотношениям a x b x = a y b y = a z b z 7) Модуль (длина) вектора ( ⃗ a ) = √ a x2 +a y2 +a z2 Если вектор ⃗ a = ⃗ c + ⃗ b , то говорят, что вектор ⃗ a задан в аналитической форме. Вычисление модуля вектора | ⃗ a | Координатная форма ⃗ a {a x ; a y ; a z } Аналитическая форма ⃗ a = ⃗ c + ⃗ b ( ⃗ a ) = √ a x2 +a y2 +a z2 Используем свойство скалярного квадрата | ⃗ a | 2 = a 2 : ( ⃗ a ) = √ ⃗ a 2 = √ ( ⃗ c+⃗b ) 2 = √ ⃗ c 2 + 2⃗c ⃗b+⃗b 2 = = √ (| ⃗ c |) 2 + 2⋅ (| ⃗ c |) ⋅ (| ⃗ b | ) ⋅ cos ( φ b ) + ( | ⃗ b | 2 ) 2 8. Косинус угла между векторами cos φ= ⃗ a⋅⃗b ( ⃗ a ) ⋅ ( ⃗ b ) 9. Проекция вектора на вектор Пр a ⃗ b= ⃗ a⋅⃗b ( ⃗ a ) Пр b ⃗ a= ⃗ a⋅⃗b ( ⃗ b ) 10. Деление отрезка в заданном отношении A(x 1 ; y 1 ) M(x; y) B(x 2 ; y 2 ) ( ⃗ AM ) ( ⃗ MB ) =λ AM = λ· MB . Координаты точки M находят по формулам: { x= x 1 +λx 2 1 +λ y= y 1 +λy 2 1+λ z= z 1 +λz 2 1+λ } Деление отрезка пополам Если точка M середина отрезка AB,то | AM | = | MB |, λ = 1 { x= x 1 +x 2 2 y= y 1 +y 2 2 z= z 1 +z 2 2 } Пример. ⃗ c = 2 ⃗ a + 3 ⃗ b , | ⃗ a | = 4, | ⃗ b | = 5, φ= ( ⃗ a⃗b ) = 60 O . Найти | ⃗ c |. Вектор ⃗ c задан в аналитической форме, поэтому для вычисле- ния модуля вектора используем свойство скалярного квадрата ( ⃗ c ) = √ ⃗ c 2 = √ ( 2⃗a+3⃗b ) 2 = √ 4 | ⃗ a | 2 + 12 ⃗ | a | | ⃗ b | ⋅ cos φ+9 ⃗ | b | 2 Пример. A(1; 2; —3), B(3; 0; —2). Найти | AB |. Найдём координаты вектора ⃗ A B AB {x B — x A ; y B — y A ; z B — z A } = {3 — 1; 0 — 2; —2 + 3} = ={2; —2; 1} Вектор задан в координатной форме ( ⃗ A B ) = √ 2 2 + ( − 2 ) 2 + 1 2 = √ 9=3 Задачи №1 Даны 2 вектора: a=2i+3j-2k; b=2i-6j+3k. а) Найти сумму, разность векторов a и b, модули векторов a и b. б) Найти сумму, разность векторов 2a и 4b. №2 Дано: АВ=3i-2j+k. Определить координаты точки В, если А(-2;1;0). №3 Определить направляющие косинусы для векторов АВ=3i-4j+5k, CD=12i-3j-4k. |