VI. ряды теоретические вопросы Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда

• Название: VI. ряды теоретические вопросы Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда
• Дата: 22.11.2021
• Размер: 1.63 Mb.
• Имя файла: VI.doc
• Тип: Документы; #278548
• страница: 1 из 3

VI. РЯДЫ

Теоретические вопросы

1. 
   Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
   
2. 
   Теоремы сравнения.
   
3. 
   Признаки Даламбера и Коши.
   
4. 
   Интегральный признак сходимости ряда.
   
5. 
   Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.
   
6. 
   Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Свойства абсолютно сходящегося ряда.
   
7. 
   Понятие равномерной сходимости.
   
8. 
   Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.
   
9. 
   Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании функционального ряда.
   
10. 
    Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
    
11. 
    Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы ряда.
    
12. 
    Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
    
13. 
    Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.
    
14. 
    Разложение по степеням бинома .
    
15. 
    Условие разложимости функции в ряд Тейлора.
    
16. 
    Разложение по степеням функций , , , .
    

Теоретические упражнения.

1. 
   Ряды и сходятся. Доказать, что ряд сходится, если .
   

У к а з а н и е. Рассмотреть неравенства .

2. 
   Ряд сходится. Доказать, что ряд тоже сходится. Показать, что обратное утверждение неверно.
   
3. 
   Ряды и сходятся. Доказать, что ряд тоже сходится.
   

У к а з а н и е. Доказать и использовать неравенство .

4. 
   Ряды и сходятся. Доказать, что ряд тоже сходится.
   
5. 
   Пусть ряд сходиться и . Можно ли утверждать, что сходиться ряд ?
   

Рассмотреть пример и .

6. 
   Пусть ряд сходиться равномерно на отрезке . Доказать, что ряд так же сходиться равномерно на этом отрезке.
   
7. 
   Может ли функциональный ряд на отрезке:
   

а) сходиться равномерно и не сходиться абсолютно,

б) сходиться абсолютно и не сходиться равномерно?

Рассмотреть примеры:

a) , отрезок произвольный;

б) , отрезок .

8. 
   Показать, что функция всюду непрерывна.
   
9. 
   Доказать, что ряд сходится равномерно в интервале . Можно ли его дифференцировать в этом интервале?
   
10. 
    Доказать, что если ряд сходиться в точке , то он сходиться абсолютно .
    

Расчетные задания.

Задача 1. Найти сумму ряда.

1.1. . 1.2. .

1.3. . 1.4. .

1.5. . 1.6. .

1.7. . 1.8. .

1.9. . 1.10. .

1.11. . 1.12 .

1.13 . 1.14 .

1.15. . 1.16 .

1.17. . 1.18. .

1.19. . 1.20. .

1.21. . 1.22. .

1.23. . 1.24. .

1.25 . 1.26. .

1.27. . 1.28. .

1.29. . 1.30. .

1.31. .
Задача 2. Найти сумму ряда.

2.1. 2.2

2.3. 2.4. .

2.5. . 2.6. .

2.7. 2.8.

2.9. . 2.10. .

2.11. . 2.12. .

2.13. . 2.14. .

2.15. . 2.16. .

2.17. . 2.18. .

2.19. . 2.20. .

2.21. . 2.22. .

2.23. . 2.24. .

2.25. . 2.26. .

2.27. . 2.28. .

2.29. . 2.30. .

2.31. .
Задача 1. Исследовать на сходимость ряд.

3.1. . 3.2. .

3.3. . 3.4. .

3.5. . 3.6. .

3.7. . 3.8. .

3.9. . 3.10. .

3.11. . 3.12. .

3.13. . 3.14. .

3.15. . 3.16. .

3.17. . 3.18. .

3.19. . 3.20. .

3.21. . 3.22. .

3.23. . 3.24. .

3.25. . 3.26. .

3.27. . 3.28. .

3.29. . 3.30. .

3.31. .
Задача 4. Исследовать на сходимость ряд.

4.1. . 4.2. .

4.3. . 4.4. .

4.5. . 4.6. .

4.7. . 4.8. .

4.9. . 4.10. .

4.11. . 4.12. .

4.13. . 4.14 .

4.15. . 4.16. .

4.17. . 4.18. .

4.19. . 4.20. .

4.21. . 4.22. .

4.23. . 4.24. .

4.25. . 4.26. .

4.27. . 4.28. .

4.29. . 4.30. .

4.31. .