Экономико-матмодели. Выделить и формально описать наиболее существенные связи экономических объектов

• Название: Выделить и формально описать наиболее существенные связи экономических объектов
• Дата: 12.01.2023
• Размер: 461.57 Kb.
• Имя файла: Экономико-матмодели.docx
• Тип: Документы; #883586
• страница: 2 из 4

Сумма всех эластичностей
Е_х = Е₁ + Е₂ + … + Е_п
называетсяэластичностью производства.

Средние и маржинальные показатели, а также эластичность производственной функции являются одними из основных характеристик, используемых в экономике.
Пример 2.

Найдем средние и маржинальные значения, а также эластичности для двухфакторных мультипликативной и аддитивной функции.
Решение.

а) Для мультипликативной ПФ типа Кобба-Дугласа (10) имеем:
A₁ = f (x ) / x₁ = a₀ x₁^{a1 - 1} x₂^a2 , A₂ = f (x ) / x₂ = a₀ x₁^a1 x₂^{a2 - 1}
M₁ =  f /  x₁ = a₁ A₁ , M₂ =  f /  x₂ = a₂ A₂
E₁ = M₁ / A₁ =a₁ , E₂ M₂ / A₂ = a₂ .
Из полученных выражений с учетом соотношений (14) следует, что
M_i A_i , i = 1, 2 ,

б) Для аддитивной функции вида (9) имеем:
A₁ = f (x ) / x₁ = a₀ / x₁ + a₁ + a₂ x₂ / x₁ ,
A₂ = f (x ) / x₂ = a₀ / x₂ + a₂ + a₁ x₁ / x₂
M₁ =  f /  x₁ = a₁ , M₂ =  f /  x₂ = a₂
E₁ = M₁ / A₁ =a₁ / (a₀ / x₁ + a₁ + a₂ x₂ / x₁ ) ,
E₂ M₂ / A₂ = a₂ / (a₀ / x₂ + a₂ + a₁ x₁ / x₂ ) _.


Величина
R_ij = -dx_j / dx_i ( i, j = 1, 2 ) (18)
В
ыражение для R_ij. Поскольку f (x ) = const, то df = 0, т.е. первый дифференциал равен нулю, откуда следует:



П
оделив это уравнение на ( i, j = 1, 2 ) , получаем выражение для предельной нормы замены i-го ресурса j-м ресурсом:





( i  j, i, j = 1, 2 ). (19)
Для двухфакторной производственной функции справедливо равенство
R_ij = ( E₁ x₂ ) / ( E₂ x₁ ) , (20)
Что непосредственно проверяется прямой подстановкой выражений для эластичности (17) в соотношение (19).

Пример 3.

Найдем выражения для предельных норм замены в случаях: а) производственнойфункции Кобба-Дугласа (13) и б) аддитивной двухфакторной ПФ (9).

Решение.

а) Подставляя в формулу (20) выражения эластичности для мультипликативной функции (см. пример 2а), получаем:
R₁₂ = ( ₁L ) / ( ₂K ), R₂₁ = ( ₂ K ) / ( ₁ L ).
Б) Аналогичная подстановка в случае аддитивной ПФ (пример 2б) приводит к еще более простым выражениям:
R₁₂ = a₁ /a₂ , R₂₁ = a₂ / a₁ .

Убывающая эффективность производства
Рассмотрим производственную функцию Кобба-Дугласа. Поделив обе части уравнения (13) на переменную L, получаем с учетом равенства ₁ + ₂ = 1 однофакторную производственную функцию:
y = a₀ k^a1 , (21)
где y = Y / L – производительность труда, k = K / L – фондовооруженность. График функции (21) показан на рис. 1.
Поскольку ₁  1, то вторая производная
d² y / d k² = a₀₁ ( ₁ – 1 ) k^₁ ^{– 1} 0 ,
Пример 4.
Выпуск однопродуктовой фирмы определяется ПФ Кобба-Дугласа Y=3K^1/3L^2/3. Найти распределение фондов К и затрат труда L, при котором выпуск будет максимальным, если на аренду фондов и оплату труда выделено 150 денежных единиц (д.е.), стоимость аренды фондов w_L=5 д.е./чел.

Решение.

пусть К и L - искомые распределение фондов и затраты труда, тогда по условию задачи имеем Kw_K+Lw_L=150. Из этого уравнения связи выразим одно искомое неизвестное через другое, например L через K:L=150/w_L-Kw_K/w_L=30-2K. Далее подставляем полученное выражение в уравнение производственной функции, откуда получаем функцию одной переменной – аргумента KY=3K^1/3(30-2K)^2/3. Теперь находим точку максимума этой функции, приравнивая нулю производную:
Y = (30-2K)^2/3 / K^2/3 – 4K^1/3 / (30-2K)^1/3 = 0.
Отсюда последовательно получаем, что К = 5 е.ф., L = 20 чел.

Рис. 1
Y
y





y






O 1 1 X

МОДЕЛЬ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА


 х = ( х₁, х₂, …, х_п ), (22)

Функции полезности
На множестве потребительских наборов Х определена функция
и ( х ) = и ( х₁ , х₂ , …, х_п ) , (23)
Свойства функции полезности в предположении о ее дифференцируемости.
1. u /x_i = u_i 0, i = 1, 2, …, n. (24)

2. ² u / x²_i = u^_ii < 0, i = 1, 2, …, n, (25)
Предельная полезность любого товара уменьшается с ростом его потребления. Это утверждение называется законом Госсена
3. ² u / ( x_ix_j ) = u^_ij > 0, i  j, ( i, j = 1, 2, …, n ). (26)
Это свойство означает, что предельная полезность каждого продукта увеличивается с ростом количества другого продукта.
Несколько видов функций полезности, удовлетворяющих принятым допущениям.
а) Неоклассическая:
,  > 0, + < 1. (27)
б) Квадратическая:
(28)
в) Логарифмическая функция:
(29)


Линии безразличия

u ( x₁ , x₂ ) = const . (30)


Основные свойства линий безразличия.
1. Линии безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей, не касаются и не пересекаются. Это следует из вида их определения (30).

9. 
   Линии безразличия убывают. Рассмотрим уравнение этой линиив виде
   

x₂ =  ( x₁ ) , (31)
которое можно получить из (30).

d x₂ / d x₁ = - u^₁ / u^₂(32)
3. Линии безразличия выпуклы вниз. Действительно, вторая производная функции (31), согласно правилу дифференцирования частного, вычисляется по формуле:
d ( d x₂ / d x₁ ) / d x₁ = d² x₂ / = - ( u^₁₁ u^₂ - u^₂₁ u^₁ ) / ( u^₂ )².

Характерный вид линий безразличия функции полезности показан на рис. 2.

Из формулы (32) следует важное приближенное равенство
-x₂ /x₁ u₁ / u₂.
Пример 1.
Если предельная полезность первого товара равна 6, а второго товара – 2, то при уменьшении потребления первого товара на единицу нужно увеличить потребление второго товара на 3 единицы при том же уровне удовлетворения потребностей.


Рис. 2

Х₂



С₁₂₃₄





C₄
C₃
C₂

C₁




X₁


Бюджетное множество

Поскольку граница G определяется соотношением px = I, то бюджетное множество В описывается системой следующих неравенств:
, , (33)
или в развернутой форме:
х_i i=1,2,…,n), p₁x₁+p₂x₂+…+p_nx_n I (34)

Для случая набора из двух товаров бюджетное множество представляет собой треугольник в системе координат х₁Ох₂, ограниченный координатными осями и прямой р₁х₁+р₂х₂= I (рис.3).

Рис. 3

X₂

I/p₂













p₁x₁ + p₂x₂ = I