Экономико-матмодели. Выделить и формально описать наиболее существенные связи экономических объектов

• Название: Выделить и формально описать наиболее существенные связи экономических объектов
• Дата: 12.01.2023
• Размер: 461.57 Kb.
• Имя файла: Экономико-матмодели.docx
• Тип: Документы; #883586
• страница: 3 из 4

O I/p₁ X₁

Задача потребительского выбора
(35)
Формальный вид задачи потребительского выбора – ищется точка максимума (35) функции полезности на бюджетном множестве
(36)

Рассмотрим задачу потребительского выбора для случая набора для двух товаров: найти набор такой что
(37)
Поиск оптимального набора можно интерпретировать графически как последовательный переход на линии безразличия более высокого уровня полезности (рис.4)- вправо-вверх - до тех пор, пока эти линии имеют общие точки с бюджетным множеством.
(38)
(39)

.
Последнее уравнение в (39) называется уравнением связи.


Рис. 4


Х₂









х^₂




O x^₂ X₁

Решение задачи потребительского выбора

Функция Лагранжа
(40)
где  - неопределенный множитель Ланранжа. Экономический смысл этого множителя: если цены и доход  меняются в одно и то же число раз , то функция полезности, а значит, и решение задачи потребительского выбора не изменится. Далее ищется точка максимума функции L: все три частные производные этой функции приравниваются к нулю, т.е. получаем систему трех уравнений:
L / х₁ = u^₁ - p₁ = 0,

L / х₂ = u^₂ - p₂ = 0,

L /  =p₁x₁ - p₂x₂ – i = 0.

И




сключив из этих уравнений неизвестную , получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными x₁ и x₂ :
(41)

Решение (x₁*,x₂*) системы уравнений (41) является решением задачи потребительского выбора.

В многомерном случае (39) также используется метод Лагранжа имеет вид:




(42)

Далее, согласно условиям максимума , составляется система из (n+1) уравнений относительно (n+1) неизвестных и :
(43)




Исключая из этих уравнений неизвестную , получаем систему n уравнений относительно n неизвестных – координат точки условного максимума :

Решение этой системы уравнений – точка условного экстремума - является решением общей задачи потребительского выбора.

Функции спроса

Решение задачи потребительского выбора называется точкой спроса. Эта точка спроса зависит от цен и дохода I. Иными словами, точка спроса является функцией цен и дохода, т.е. функцией спроса. В свою очередь, функция спроса представляет собой вектор-функцию п + 1 аргумента (в общем случае п цен р₁, р₂,…, р_п, и дохода I), состоящую из п компонент:
х^ = х^ (р₁, р₂,…, р_п, , I),
Таким образом, функция спроса – это набор п функций, каждая из которых зависит от п + 1 аргумента:
х^₁ = х^₁ (р₁, р₂,…, р_п, , I),
х^₂ = х^₂ (р₁, р₂,…, р_п, , I),
……………………………(45)
х^_п = х^_п (р₁, р₂,…, р_п, , I.
Функции (45) называются функциямиспроса соответствующих товаров.

Пример 2.

Для набора из двух товаров на рынке, известных ценах на них р₁ и р₂ и доходе I найти функции спроса, если функция полезности имеет вид u ( x₁ , x₂ ) = x₁^0,5 x₂^0,5 .

Решение.

Дифференцируя данную функцию полезности, получаем
u^₁ = 0,5 x₂^0,5 / x₁^0,5, u^₂ = 0,5 x₁^0,5 / x₂^0,5.
Далее, подстановка в формулы (41) приводит к системе уравнений:
x₂ / x₁ = p₁ / p₂ ,

p₁ x₁ + p₂ x₂ = I .
Из первого уравнения следует, что затраты денежных средств на оба вида товаров должны быть одинаковыми, т.е. p₁ x₁ = p₂ x₂ . Следовательно, из второго уравнения получаем, что функции спроса имеют вид:
x^*₁ = I / 2p₁ , x^*₂ = I / 2p₂ .
Иными словами, в данном случае расход на каждый товар составляет половину дохода потребителя, а количество приобретенного товара равно затраченной на него сумме, поделенной на цену товара.

Модель Р. Стоуна
Модель потребительского спроса с функцией полезности мультипликативного вида (неоклассическая)



x_i > a_i , a_i > 0, i = 1, 2,,…,n (46)

Для приобретения минимального набораа необходимо, чтобы доход был больше стоимости этого набора, т.е.



(47)

Добавив к целевой функции (46) бюджетные ограничения, получим задачу потребительского выбора (36), называемую моделью Р. Стоуна. Приравняв нулю частные производные функции Лагранжа L по всем переменным, получим систему п + 1 уравнений:




Из соотношений первого вида получаем выражения для неизвестных х_i :



(48)

у
множим каждое из уравнений (48) на λp_i и просуммируем их по i ; получаем:


Отсюда отношение u (x ) / λ с учетом условия связи имеет вид:



Подставляя это выражение в (26.27), получаем в окончательном виде формулы для функции спроса:




(49)

Полученные функции спроса легко интерпретировать по последовательности действий:

1. 
   В начале приобретается набор а необходимых количеств товаров.
   

2. 
   Затем рассчитывается оставшаяся сумма денег.
   

3. 
   Это сумма денег распределяется пропорционально весам “ценности” _i товаров.
   

4. 
   Поделив распределенные на приобретение каждого товара суммы денег на соответствующие цены этих товаров, получаем приобретаемое сверх минимума а_i количество i-го товара.
   

Частный случай модели Стоуна.




(50)

В этом случае из (26.28) получаем:


(51)


Уравнение Слуцкого.
Функции спроса (45). При неизменной величине функции полезности в точке локального рыночного равновесия
u(x₁^*,x₂^*,…,x_n^*) = const (52)
(на гиперповерхности уровня этой функции) приращение функции x_i^* , обусловленное изменением только величины цены p_j , равно:








Поделив обе части на и переходя к пределу при получаем:


(53)

П оскольку I= p₁x₁^* + p₂x₂^* + …+ p_nx_n^* , то при изменении цены p_j на величину приращение дохода I составит:
(54)

Как следствие из (52) получаем, что
(55)

Так как дифференциал от функции (52) равен нулю, имеем соотношение:



(56)
В точке локального рыночного равновесия, в силу (26.23), имеем соотношения пропорциональности первых производных функции полезности и соответствующих цен:




После подстановки этих соотношений в (44) и сокращения обеих частей на сомножитель , получаем:




(57)


После деления соотношения (57) на  p _j и предельного перехода при  p _j  0 получаем, что


Подстановка этих уравнений в (55) приводит к формулам:



т.е. в точке рыночного равновесия относительное изменение дохода, вызванное изменением цены на товар, равно количеству этого товара. Подставляя это формулы в формулы (26.32), окончательно получаем:

(58)


Поскольку первое слагаемое в правой части представляет собой действие эффекта изменения цены при неизменном доходе на компнсационную добавку величины продукта, то это слагаемое называется компенсационным. Само же уравнение Слуцкого получается при переносе второго слагаемого в другую часть и используется в следующей форме:


(59)

Экономический смысл уравнения Слуцкого (59).
Левая часть уравнения (59) представляет собой “отклик” точки спроса при неизменном доходе на изменение цены j-го товара. Второе слагаемое в правой части описывает действие эффекта дохода: это произведение, в котором одним из сомножителей является “отклик” точки спроса на изменение дохода I, а другим – величина спроса на j-й товар. Первое слагаемое в правой части (59) интерпретируется следующим образом: при изменении цены j-го товара на  p _j при неизменных остальных ценах и доходе изменяются точка спроса и максимальная полезность; изменим доход так, чтобы значение максимальной полезности осталось неизменным – это и является компенсацией.

К уравнению Слуцкого присоединяется ряд соотношений, которые получаются в процессе его вывода. Перечислим их, поскольку они носят четкий экономический характер. Часть их мы приводим ниже без вывода. Итак, в точке локального рыночного равновесия (45) справедливы следующие соотношения.

1. 
   Уравнение (57):
   

p
₁ x^*₁ + p ₂ x^*₂ + … + p _n x^*_n = 0 .
Это уравнение связывает прежние цены с приращениями товаров, что придает сложный характер изменению спроса: спрос на одни блага растет, на другие он падает.

2. 
   Из уравнения (54) с учетом (57) получаем:
   

(60)


Это соотношение означает, что при увеличении цен компенсация дохода должна быть положительной, а при уменьшении цен - отрицательной, что достаточно очевидно.
.

(61)

3

Это означает, что при повышении цены спрос на товар падает даже при компенсации дохода.



4. (62)

Это уравнение показывает, что часть слагаемых суммируется со знаком плюс, а часть-со знаком минус. Товар называется “ценным”, если при повышении дохода спрос на него растет, в противном случае товар является малоценным. Из (62) следует, что не все слагаемые отрицательны, т.е. существуют ценные товары. Например, высококачественные продукты и предметы роскоши являются ценными, маргарин-малоценным. При повышении дохода употребление высококачественного масла возрастает.



5. (63)