Экономико-матмодели. Выделить и формально описать наиболее существенные связи экономических объектов

• Название: Выделить и формально описать наиболее существенные связи экономических объектов
• Дата: 12.01.2023
• Размер: 461.57 Kb.
• Имя файла: Экономико-матмодели.docx
• Тип: Документы; #883586
• страница: 1 из 4

ОСНОВНЫЕ АСПЕКТЫ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Использование математики в экономических приложениях, сформировавшее область экономико-математического моделирования, позволяет указать следующие основные аспекты:

• 
  выделить и формально описать наиболее существенные связи экономических объектов;
  

• 
  из полученных модельных соотношений путем обработки базы данных исходной информации получать дедуктивным методом выводы, адекватные исследуемому объекту в пределах функциональной надежности модели;
  

• 
  получить новые знания об объекте и зависимостях входящих в него формализованных параметрах;
  

• 
  компактно формулировать основные положения и выводы экономической теории;
  

• 
  разрабатывать стратегии управления экономическими объектами и поведения фирмы в условиях рынка.
  

Укажем логическую цепочку достаточно общих принципов построения математических моделей.

1. 
   Формулировка предмета и цели исследования реального объекта. Таким объектом выступает некоторая совокупность каких-либо качеств исследуемого явления или процесса.
   
2. 
   Выделение в экономическом объекте наиболее важных структурных и функциональных элементов и их характеристик.
   
3. 
   Формализация определяющих элементов экономического объекта и их взаимосвязей.
   
4. 
   Определение вида исходной информации (входные параметры модели) и выходной информации (расчетные параметры модели).
   
5. 
   Постановка задачи – создание основы математической модели – получение замкнутой и внутренне непротиворечивой совокупности математических соотношений, предназначенных для описания исследуемого экономического объекта через расчетные переменные. В информационном аспекте модель является оператором отражения информационного поля реального объекта в конечную совокупность расчетных информационных признаков. Выбор этого оператора зависит от автора модели.
   
6. 
   Определение функциональной надежности модели – установление области ее адекватности исследуемому объекту.
   

Формула определяет модель переработки (отражения) множества Х в множество Y.

Y = F(X) (1.)
Удлинение L металлического стержня при его нагреве на температуру Т подсчитывается по формуле
L = Т, (2.)

7. 
   Подбор оптимального метода решения математической задачи, составляющей основу модели (в том числе и выбор вычислительной схемы решения задачи).
   

8. 
   Выполнение прогнозного этапа моделирования – “проигрывание” на модели различных сценариев (сочетаний исходных параметров модели) как проведение многовариантных расчетов с целью создания базы расчетной информации, как количественного образа исследуемого объекта.
   

Погрешность математического моделирования, как меру отклонения модели от реального объекта, можно упрощенно представить в виде суммы:
 = _m + _c = _i, (3.)
где _m – погрешность собственно модели, _c – погрешность вычислительной схемы, _i – погрешность в исходной информации.

основные требования, которым должны удовлетворять математичсекие модели.
А) Модель не должна быть чрезмерно сложной, так как это приводит к неоправданно большим затратам ресурсов при ее реализации. Следует соотносить сложность и детальность модели с уровнем достоверности исходной информации.
Б) Не следует строить модель всеобъемлющего прогноза реального объекта. Это приводит к чрезвычайно громоздким, необозримым и плохо анализируемым математическим моделям, которые к тому же могут оказаться еще и плохо обусловленными (неустойчивыми). Если возникает необходимость в прогнозе ряда разнородных качеств реального процесса, то целесообразно построить совокупность или иерархию соподчиненных относительно простых математических моделей.
В) Сложность модели должна соответствовать степени разработанности математического аппарата, а не превосходить ее: в противном случае математическая модель будет неразрешимой.

Классификация экономико-математических моделей
Макроэкономические модели описывают экономику как единое целое со связями между агрегированными материальными и финансовыми показателями (ВВП, потребление, инвестиции, занятость, денежная масса, государственный долг, инфляция и др.).

Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики либо их поведение в отдельности в рыночной среде.

Теоретические модели являются аппаратом изучения общих свойств экономики и ее составляющих на основе дедукции выводов из формальных предпосылок.

Прикладные модели представляют собой аппарат оценок параметров конкретных экономических объектов, выработки рекомендаций для принятия экономических решений и разработки стратегий поведения фирм на рынке.

Равновесные модели описывают такие состояния экономики, когда результирующая всех воздействий на нее равна нулю. Как правило, равновесные модели являются дескриптивными, описательными.

Оптимизационные модели используются в теории рыночной экономики на микроуровне (оптимизация деятельности потребителя, производителя или фирмы). На макроуровне результат выбора экономическими субъектами рационального поведения может приводить к состоянию относительного равновесия.

Статические модели описывают состояние экономических объектов в определенный момент или осредненно за некоторый период времени. При этом все параметры статических моделей полагаются фиксированными величинами, независящими от времени.

Динамические модели включают зависимость и взаимосвязи переменных модели во времени. Они используют обычно аппарат дифференциальных и разностных уравнений и вариационного исчисления, где независимой переменной является время.

Детерминированные модели предполагают в своей основе только жесткие функциональные связи между переменными модели.

Стохастические модели допускают наличие случайных связей между переменными модели. Эти модели используют аппарат теории вероятностей и математической статистики.

Модели с элементами неопределенностииспользуются для моделирования ситуаций, когда для определяющих факторов невозможно собрать статистические данные, и их значения не определены. В этих моделях используются аппараты теории игр и имитационного моделирования.


АППАРАТ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Производственные функции

Под производственной функцией понимается такая функция, независимая переменная которой имеет смысл объема используемого ресурса (фактора), а зависимая переменная – объема выпускаемой продукции. В формуле
y = f (x) (4)
используемый ресурс х  0, объем выпускаемой продукции y  0. Производственная функция вида (4) называется однофакторной или одноресурсной. Знак функции f рассматривается как характеристика производственной системы, преобразующей ресурс х в выпуск y.
Многофакторная производственная функция характеризуется функцией нескольких переменных

y = f (x ) = f (x₁ , x₂ ,…,x_n ), (5)
Экономический смысл производственной функции
Для производственной функции более корректной является развернутая запись
y = f (x , a ) , (6)
где х = ( х₁ , х₂ , …, х _n ) – вектор ресурсов (независимых пременных), а – вектор параметров ПФ.
Пример 1.

Рассмотрим производственную функцию вида y = ах^b. Здесь х – величина затрачиваемого ресурса, f (x) – объем выпускаемой продукции, а и b – параметры ПФ (положительные числа).

Производственная функция вида (4) и (5) называется статической, если сама функция и ее параметры не зависят от времени t. Производственная функция называется динамической, если выполнено хотя бы одно из следующих условий:

1. 
   время t входит в функцию f в качестве независимой переменной
   

(временной ресурс)

2) параметры производственной функции зависят от времени t.

В частности, в динамической ПФ можно учесть научно-технический прогресс путем введения в функциональную зависимость (4) множителя e^pt, где параметр

р  0 характеризует темп прироста выпуска вследствие НТП:
y (t) = e^pt f ( x₁ (t), x₂ (t), …, x_n (t) ). (7)


Основные виды производственных функций
Два основных, наиболее употребимых вида производственной функции.

1) Линейная ПФ. Она имеет вид:
y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ , a_i 0 ( i = 0, 1, 2 ) (8)

• 
  двухфакторная линейная производственная функция.
  

Многофакторная ПФ имеет вид:
y = a₀ + a₁x₁ + … + a_nx_n. (9)
Линейная производственная функция принадлежит к классу аддитивных функций.

2. Мультипликативная функция. Двухфакторная функция имеет вид:
y = a₀x₁^a1 x₂^a2. (10)
Переход от мультипликативной функции к аддитивной производится с помощью логарифмирования:
1ny = 1na₀+ a₁1nx₁ + a₂1nx₂. (11)
Обозначая 1ny = w, 1na₀ = b, 1nx₁ = u, 1nx₂ = v, получаем аддитивную ПФ
w = b + a₁u + a₂v. (12)

Функция Кобба-Дугласа имеет вид:
Y = a₀ К^a1 L^a2. (13)


Функция Кобба-Дугласа широко используется в микро- и макроэкономических приложениях благодаря своей структурной простоте. Согласно статистической обработке экономических данных, проводившейся различными авторами, наблюдаются следующие закономерности:
₁  1, ₂  1, ₁ ₂,, _{1 +} ₂  1. (14)
Формальные свойства производственных функций


Свойства производственной функции на примере двухфакторной функции f(x₁,,x₂).

1. 
   f(0,x₂) = f(x₁,0) = 0.
   

Свойство 1 означает, что при отсутствии хотя бы одного ресурса нет выпуска продукции.
2. При х₁ х₁ f(х₁ ,x₂)  f(х₁ , ,x₂) ;

аналогично: при х₂ х₂ f(x₁, ,x₂ )  f(x₁, ,x₂ ).
Свойство 2 означает, что с увеличением объема использования любого ресурса объем выпуска растет.

3. При х 0  f /  x_i 0, i = 1, 2.
Это свойство является следствием свойства 2: первые частные производные производственной функции положительны – это означает, что с ростом потредления одного из ресурсов при неизменном объеме другого ресурса объем выпуска возрастает. Здесь и далее условная запись х 0 означает, что обе компоненты вектора х = (х₁ , х₂ ) строго положительны.
4. х 0 ² f /  x²_i 0, i = 1, 2.
Свойство 4 (вторая производная производственной функции по любой координате неположительна) означает, что с ростом объема затрат одного из ресурсов при неизменном объеме использования другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не увеличивается (это свойство известно как закон убывающей эффективности).

5. При х 0 ² f / (  x_i x₂ )  0.
Это свойство означает, что с ростом затрат одного из ресурсов предельная эффективность другого ресурса возрастает.
6. f ( tx₁ , tx₂ ) = t ^p f ( x₁ , x₂ ).
Свойство 6 означает, что производственная функция является однородной функцией степени р. Иными словами, при переходе от вектора затрат ресурсов х к вектору tх объем выпуска изменяется в t ^p раз. При р  1 имеем рост выпуска в t ^p раз с ростом масштаба производства в t раз; при р  1 имеем снижение выпуска в t ^p раз с ростом масштаба производства в t раз. При р = 1 имеем постоянную эффективность производства независимо от роста его масштаба.


Средние и предельные значения производственной функции

Рассмотрим многофакторную производственную функцию (5)
y = f (x ) = f (x₁ , x₂ ,…,x_n ).
1. Средней производительностью i-го ресурса, или средним выпуском по i-му ресурсу, называется величина
A_i = f (x ) / x_i , i = 1, 2, … , n. (15)
2. Предельной (маржинальной) производительностьюi-го ресурса, или предельным выпуском по i-му ресурсу, называется первая частная производная
M_i =  f /  x_i , i = 1, 2, … , n. (16)
в приращениях функции и аргумента частную производную можно приближенно представить в виде
M_i _i f (x ) x_i , i = 1, 2, … , n.
3. Отношение предельной производительности i-го ресурса к его средней производительности
E_i = M_i / A_i = ( x_i / f (x )) (  f /  x_i ) , , i = 1, 2, … , n. (17)
Называется эластичностью выпуска по i-му ресурсу (частной эластичночтью выпуска). В экономической теории для эластичности часто используется разностный аналог формулы (17):
E_i = (  f / f 100% ) / (  x_i / x_i 100% ).
Из этой формулы следует, что эластичность выпуска по i-му ресурсу равна относительному изменению объема выпуска при изменении затрат этого ресурса на один процент.