Конспект Вводный курс математики 1 курс. Вводный курс математики. Высказывания и операции над ними Высказывание

• Название: Высказывания и операции над ними Высказывание
• Анкор: Конспект Вводный курс математики 1 курс
• Дата: 08.04.2022
• Размер: 175 Kb.
• Имя файла: Вводный курс математики.doc
• Тип: Документы; #453575

Высказывания и операции над ними

Высказывание – повествовательное предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно.

Истинное значение – значение истины или лжи высказывания

Конъюнкция А и В	Истина – оба истина	И	А Λ В
Дизъюнкция А и В	Ложь – оба ложь	ИЛИ	A V B
Отрицание A	Истина – A ложь	НЕ	Ā
Импликация А и В	Ложь – А истина, В ложь	ЕСЛИ ТО
Эквиваленция А и В	Истина – А и В одинаковые значения	ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА

- формула; - не формула

В формуле, если не указан порядок выполнения действий с помощью скобок, то выполняют операции в следующей последовательности: Ā, Λ, V,

Тождественно-истинная формула – при любом наборе значений переменной формула принимает значение ИСТИНА

Тождественно-ложная формула (противоречие) – при любом наборе значений переменной формула принимает значение ЛОЖЬ

Выполнимая формула – формула ни тождественно-истинная, ни тождественно-ложная

Равносильные формулы – если они принимают одинаковые значения при любом наборе значений переменных ( )

1. Коммутативность: А Λ В В Λ А	1. Коммутативность: A V B B V A
2. Ассоциативность: (А Λ В) Λ С А Λ (В Λ С)	2. Ассоциативность: (A V B) V C A V (B V C)
3. Дистрибутивность:	3. Дистрибутивность:
4. Закон де Моргана:	4. Закон де Моргана:
5. Закон поглощения:	5. Закон поглощения:
6.	6.
7.	7.
8. Закон двойного отрицания:
9.
10.

Предикаты

Одноместный предикат – предложение, содержащее одну предметную переменную и обращающееся в высказывание, если вместо переменной подставить конкретное значение из данного множества

Двухместный предикат – предложение, содержащее две предметные переменные и обращающееся в высказывание, если вместо переменных подставить конкретные значения из данного множества

Бывают n-местные предикаты.

Область истины предиката – множество всех значений х, которые обращают предикат в истинное высказывание.
Кванторы

Квантор общности	«Любой элемент»
Квантор существования	«Существует элемент»

Если к одноместному предикату приписать квантор – получим высказывание.

Если к двухместному предикату приписать квантор – получим одноместный предикат.
Множества и операции над ними

Множество – неопределяемое понятие, состоит из элементов. Бывают конечные и бесконечные. Множества можно задать либо с помощью характеристического свойства (свойства, которым обладают все элементы множества), либо с помощью перечисления всех его элементов.

Пустое множество (Ø) – не содержит ни одного элемента

Универсальное множество U относительно множества А₁, А₂, …, А_n, если все они содержатся в U

Множество А содержится в множестве В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В (А В)

Множества А и В равны, если они состоят из одних и тех же элементов (А=В)

Объединение А и В	Элементы в А ИЛИ В
Пересечение А и В	Элементы в А И В
Разность А и В	Элементы в А и нет в В	\В	А\В=	А\В
Дополнение А	Разность U\А

1. Коммутативность:	1. Коммутативность:
2. Ассоциативность:	2. Ассоциативность:
3. Дистрибутивность:	3. Дистрибутивность:
4. Закон де Моргана:	4. Закон де Моргана:
5. Закон поглощения:	5. Закон поглощения:
6. Ø	6.
7.	7.
8. Закон двойного отрицания:
9. А\В=
10.	10.
11.	11.

Комбинаторика

Размещение из n-элементов по k	Всякое упорядоченное подмножество, содержащее k-элементов n-элементного множества			Два различных размещения отличаются ЛИБО ПОРЯДКОМ СЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ, ЛИБО ХОТЯ БЫ ОДНИМ ЭЛЕМЕНТОМ
Перестановка из n-элементов	Число различных перестановок из n-элемента			Две различные перестановки отличаются ТОЛЬКО ПОРЯДКОМ СЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ
Сочетание из n-элементов по k	Любое k-элементное подмножество n-элементного множества			Два различных сочетания отличаются ХОТЯ БЫ ОДНИМ ЭЛЕМЕНТОМ

Бином Ньютона. Треугольник Паскаля

Показатель степени	Биномиальные коэффициенты
0						1
1					1		1
2				1		2		1
3			1		3		3		1
4		1		4		6		4		1
5	1		5		10		10		5		1

Пример: (а+в)⁵=а⁵+5а⁴в+10а³в²+10а²в³+5ав⁴+в⁵ (пояснение: в сумме показатель степеней А и В должен равняться показанию степени суммы).

Свойства Биномиальных коэффициентов:

1. Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2ⁿ

2. Биномиальные коэффициенты равноудалены от концов: