Главная страница
Навигация по странице:

  • Задача 3.4.1.

  • Решение: . Задача 3.4.3.

  • Задача 3.4.4.

  • Задача 3.4.5.

  • Задача 3.4.6.

  • Задача 3.4.7.

  • 4) Сочетания (без повторений). Определение


    Скачать 119.5 Kb.
    Название4) Сочетания (без повторений). Определение
    Дата08.02.2023
    Размер119.5 Kb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаpril6 2.doc
    ТипЗадача
    #926338

    4) Сочетания (без повторений).

    Определение. Сочетаниями называются соединения, содержащие по nэлементов из числа mданных элементов и различающихся друг от друга по крайней мере одним элементом.

    Сочетания являются частным случаем размещений. Сочетания – это размещения, которые различаются друг от друга по крайней мере одним элементом. Перестановка элементов в одном из сочетаний то же самое сочетание.

    Число сочетаний из mэлементов по nобозначается символом .

    Для того чтобы найти способ вычисления числа сочетаний из mэлементов по nэлементов, запишем все размещения из четырех элементов по 3 так, чтобы в первой строке стояли все различные сочетания, а каждый столбец представлял одно и то же сочетание:

    АБВ, АБД, АВД, БВД – это различные сочетания, их количество .

    Таких строк столько, сколько можно перестановок из трех элементов, т.е.

    Итак, ; .

    Можно предложить учащимся следующие задание: записать все размещения из трех элементов по 2 так, чтобы в первой строке стояли различные сочетания, а каждый столбец представлял одно и то же сочетание. Выполнив это, они придут к формуле:

    , т.е. .

    Анализируя два числовых равенства:

    и ,

    Учащихся можем подвести к формуле:

    .

    Задача 3.4.1. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть организовано тренером разных стартовых пятерок?

    Решение: .

    Задача 3.4.2. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 членов можно образовать из 14 преподавателей?

    Решение: .

    Задача 3.4.3. В чемпионате страны по футболу (высшая лига) участвует 18 команд, причем каждые две команды встречаются между собой дважды. Сколько матчей играется в течение сезона?

    Решение: В первом круге состоятся матча. Столько же матчей будет сыграно и во втором круге – всего 306 встреч.

    Задача 3.4.4. В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно выделить двух человек на дежурство, если: один из них должен быть старшим; старшего быть не должно?

    Решение: ; .

    Задача 3.4.5. Для полета на Марс необходимо укомплектовать следующий экипаж космического корабля: командир, его первый помощник, второй помощник, два бортинженера (обязанности которых одинаковы) и один врач. Командная тройка может быть отобрана из числа 25 готовящихся к полету летчиков, два бортинженера – из числа 20 специалистов, в совершенстве знающих устройство космического корабля, и врач – из числа 8 медиков. Сколькими способами можно укомплектовать команду космического корабля?

    Решение: Командная тройка может быть укомплектована способами, так как каждый из ее членов строго несет свои функции, пара бортинженеров - способами, врач - способами.

    Весь экипаж может быть укомплектован: способами.

    Задача 3.4.6. Во взводе три сержанта и 30 солдат. Сколькими способами можно выделить одного сержанта и трех солдат для патрулирования?

    Решение: Чтобы закрепить навыки вычисления числа сочетаний, можно решить следующие задачи.

    Доказать:

    ; ; ; ; ; .

    Вычислить: ; ; ; ; ; ; .

    Отсюда получаем равенство: , , , , ,

    на основании которых можно было бы говорить об одном из свойств числа сочетаний. Однако сейчас этого делать не будем, а используем полученные сведения в дальнейшем.

    Перед тем как рассматривать свойства числа сочетаний, закодируем сочетания из четырех элементов (А, Б, В, Г) по три следующим образом:

    1 означает, что буква взята для данного сочетания;

    0 означает, что буква не взята для данного сочетания.

    Так, слово 1100 соответствует сочетанию АБВ, 1101 – сочетанию АБГ, 1011 – сочетанию АВГ, 0111 – сочетанию БВГ.

    Чтобы найти все сочетания из четырех элементов по три, надо найти все слова из четырех букв (цифр), в которых три раза стоит 1 и один раз 0.

    Задача 3.4.7. Из четырех элементов (А, Б, В, Г) составим все сочетания по два и закодируем по тому же принципу, который изложен выше.

    Имеем:

    АБ, АВ, АГ, БВ, БГ, ВГ

    1100, 1010, 1001, 0110, 0101, 0011

    Итак, число сочетаний из четырех элементов по два совпадают с числом слов из четырех букв (цифр), в которых два раза стоит 1 и два раза 0.


    написать администратору сайта