Пересдача реферата по матиматике. Высшая математика Реферат Тема Решение балансовых уравнений с помощью обратной матрицы. Олейник Лилия Вячеславовна
 Скачать 114.62 Kb.
|
Автономная некоммерческая образовательная организация высшего образования «Сибирский институт бизнеса и информационных технологий»Зачетная (экзаменационная) работа (1 семестра) Дисциплина: Высшая математика Реферат Тема: Решение балансовых уравнений с помощью обратной матрицы. Выполнила: Олейник Лилия Вячеславовна (Ф.И.О. студента) (направление, группа) Проверил(а):  (Ф.И.О. преподавателя) (дата) Омск 2022 Балансовое уравнение появляется в линейной модели экономики (модели Леонтьева) и может применяться для анализа и планирования деятельности предприятия, отрасли, а также экономики страны в целом. Рассмотрим суть этой модели на простейшем примере. Предприятие производит три вида продукции в количестве  единиц каждого вида. Часть этой продукции расходуется внутри производства, а оставшаяся часть (товарная продукция) реализуется за пределами производства, поэтому можно, исходя из условия, что продукция каждого вида должна обеспечивать внутрипроизводственное потребление и запланированный объем продаж, составить систему уравнений: или  Здесь  – количество продукции вида  , расходуемое на производство продукции вида  , например,  – количество продукции второго вида, расходуемое на производство продукции третьего вида. Если разделить это количество на  , то можно найти, сколько продукции второго вида расходуется при производстве единицы продукции третьего вида. Аналогично, отношение  – показывает, какое количество продукции вида расходуется при производстве единицы продукции вида . Поскольку такой расход зависит от используемой в производстве технологии, то указанное отношение называется технологическим коэффициентом. Обозначим его  и учитывая, что , перепишем вторую систему в виде: Введем в рассмотрение три матрицы: матрицу А, составленную из технологических коэффициентов (технологическую матрицу или матрицу Леонтьева), матрицу X, характеризующую выпуск продукции (производственный вектор) и матрицу Y (вектор товарной продукции или конечного спроса).  Используя введенные обозначения и помня правила действий с матрицами, систему можно записать в матричном виде:  .Составленное матричное уравнение и называется балансовым уравнением, его решение можно найти с помощью обратной матрицы:  .Применить его можно следующим способом. По результатам деятельности предприятия за истекший период составляют балансовое уравнение и находят матрицу  , которая называется матрицей полных производственных затрат. Элемент этой матрицы  равен величине продукции -того вида, необходимой для производства единицы товарной продукции -того вида. Затем, зная величину конечного спроса на продукцию  на новый производственный период, определим новый производственный вектор  по формуле  .Матрицу  можно найти по формуле обратной матрицы через алгебраические дополнения, а можно по приближенной формуле:  Рассмотрим пример решения задачи с использованием модели Леонтьева. Результаты деятельности некоторого предприятия, состоящего из трех цехов, каждый из которых производит свой вид продукции, представлены следующей таблицей.
Вычислим технологические коэффициенты и составим технологическую матрицу А.   .Составим балансовое уравнение  и сделаем его проверку. .Выполним действия в левой части уравнения:  .Т.к. левая часть уравнения равна правой, значит, уравнение составлено верно.  .Вычислим матрицу полных производственных затрат а) по формуле обратной матрицы:  . б) по приближенной формуле  :  Определим новый производственный план, задав   Под прямоугольными понимают такие системы линейных уравнений, в которых число уравнений не равно числу неизвестных. Число уравнений может превышать число неизвестных, а может быть меньше его. Если в системе число уравнений превышает число неизвестных то возможны два случая. Первый: часть уравнений является следствием других уравнений, их можно отбросить, система станет или квадратной или число уравнений в ней будет меньше числа неизвестных. Второй: часть уравнений противоречит другим уравнениям, такая система несовместна, не имеет решения. Решение квадратных систем линейных уравнений подробно рассматривалось, поэтому рассмотрим решение систем, в которых число уравнений меньше числа неизвестных. К составлению подобных систем приводит математическое моделирование многих экономических задач. Решение прямоугольных систем имеет свои особенности. В квадратных системах, т.е. системах, в которых число уравнений равно числу неизвестных, решением является единственный набор числовых значений неизвестных, обращающих все уравнения системы в тождества. В прямоугольных системах решение получается в виде соотношений между одними неизвестными, называемыми базисными, и другими, называемыми свободными. Поскольку свободные переменные могут принимать любые значения, а базисные переменные меняются в зависимости от них, то, по сути, прямоугольные системы имеют бесконечное множество числовых решений. Рассмотрим пример. Найти решение системы линейных уравнений  при различных способах выбора базиса. Выберем в качестве базисных неизвестные  . Оставим их в левой части уравнений, а неизвестную  перенесем в правую часть. Эту систему можно решать как квадратную, например, методом Гаусса. Чтобы исключить  из второго и третьего уравнений системы, прибавим ко второму первое, умноженное на 2, а к третьему - первое, умноженное на 4. Чтобы исключить  из третьего уравнения, прибавим к нему второе, умноженное на (-9). Разделим обе части третьего уравнения на (-17) и найдем  . Из второго уравнения найдем  . Из первого уравнения .Итак, решение системы при первом способе выбора базиса:  Для проверки найденное решение подставим во все уравнения исходной системы.  Раскрывая скобки и приводя подобные, убеждаемся, что все уравнения системы обращаются в тождества. Выберем теперь в качестве базисных переменные   . Перенесем в левую, a  - в правую часть полученного решения. Запишем полученную систему в матричном виде:  Ее решение  , т.к. матрица А отличается от единичной одним столбцом, то обратная для нее находится легко по правилу, сформулированному в параграфе 2.2 раздела I:  Поэтому  Сделав проверку, выпишем вид решения при втором способе выбора базиса:  Чтобы найти вид решения при базисных переменных  перепишем найденное решение так: или  .Решая аналогично предыдущему шагу, находим  Наконец, выбираем в качестве базисных неизвестные  .Преобразуем предыдущее решение:  .Решая выписанное матричное уравнение, найдем  |