Выявление систематических погрешностей
 Скачать 0.59 Mb.
|
|
РОСЖЕЛДОР Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» (ФГБОУ ВПО РГУПС) Г.В. Рядченко, М.А. Буракова, В.А. Бондаренко ВЫЯВЛЕНИЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ Учебно-методическое пособие к практическим занятиям Ростов-на-Дону 2015 2 УДК 389(07) + 06 Рецензент – кандидат технических наук, доцент А.В. Костюков Рядченко, Г.В. Выявление систематических погрешностей: учебно-методическое пособие к практическим занятиям / Г.В. Рядченко, М.А. Буракова, В.А. Бондаренко; ФГБОУ ВПО РГУПС. – Ростов н/Д, 2015. – 16 с. – Библиогр.: с. 15. Учебно-методическое пособие предназначено для проведения практиче- ских работ по дисциплине «Метрология, стандартизация, сертификация». При- ведена методика решения задач по выявлению систематических погрешностей при проведении измерений, а также варианты индивидуальных заданий для вы- полнения самостоятельных работ. Предназначено для студентов 3-го курса всех форм обучения по направ- лениям подготовки 23.05.03 – «Подвижной состав железных дорог», 13.03.02 – «Электроэнергетика и электротехника», 08.03.01 – «Строительство», изучаю- щих дисциплины «Метрология, стандартизация и сертификация» и «Основы метрологии, стандартизации, сертификации и контроля качества». Одобрено к изданию кафедрой «Основы проектирования машин». Рядченко Г.В., Буракова М.А., Бондаренко В.А., 2015 ФГБОУ ВПО РГУПС, 2015 3 ОГЛАВЛЕНИЕ Цель работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1 Общие положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 2 Основы дисперсионного анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Пример решения задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 4 Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ЦЕЛЬ РАБОТЫ Закрепление теоретических и привитие практических знаний в области расчѐта систематических погрешностей измерения методом дисперсионного анализа. 1 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Погрешность результата измерения – это отклонение результата изме- рения от истинного (действительного) значения измеряемой величины. Истинное значение величины неизвестно, его применяют только в теоре- тических исследованиях [1]. На практике используют действительное значение величины х д . Тогда погрешность измерения Δх изм определяется по формуле: Δх изм = х изм – х д , (1) где х изм – измеренное значение величины. По способу выражения погрешности измерений можно разделить на аб- солютные и относительные. Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины и определяется по формуле (1). Относительная погрешность выражается отношением абсолютной по- грешности измерения к действительному или измеренному значению измеряе- мой величины. Относительную погрешность в долях или процентах находят из отношений: δ = x x ; δ = x x 1 0 0 % , (2) где Δх – абсолютная погрешность измерений; х – действительное или измеренное значение величины. По характеру проявления погрешности делятся на систематические и случайные. Систематическая погрешность измерения – это составляющая погреш- ности результата измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменя- ющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины. В зависимости от характера изменения систематические погрешности подраз- деляют на постоянные, прогрессивные, периодические и погрешности, изменя- ющиеся по сложному закону. Систематические погрешности должны быть определены и исключены из результатов измерений введением поправки – ве- личины, равной по абсолютному значению систематической погрешности и противоположной ей по знаку. Случайная погрешность измерения – это составляющая погрешности ре- зультата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях, проведенных с одинаковой тщательностью, одной и тоже физической величины. Характеристиками систематических погрешностей являются: значение (для постоянной погрешности), функция определения (для переменной по- грешности). 5 Случайные погрешности можно описать: – вероятностными характеристиками; – распределением (плотностью распределения) вероятностей; – числовыми (точечными) характеристиками; – интервальной характеристикой. 2 ОСНОВЫ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА Для проверки наличия систематических погрешностей используется дис- персионный анализ. Основная его идея заключается в разложении суммарной дисперсии на две величины: дисперсию, обусловленную техникой измерения, и дисперсию, вызванную действием изучаемого фактора. Рассмотрим простейшую схему дисперсионного анализа, применяемую при проверке гипотезы о влиянии фактора A на результаты экспериментов. Пусть даны результаты измерений, разделенные на k серий: 1 2 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 2 2 3 2 1 2 3 , , , ..., , , , ..., , , , ..., k n n k k k k n x x x x x x x x x x x x Таким образом, всего произведено 1 k i i N n опытов, результаты которых мы обозначим x с двумя индексами, обозначающими: первый – номер группы, а второй – номер опыта в соответствующей группе. Мы предполагаем, что по наблюдениям каждой группы представляют выборку из нормальной совокуп- ности; дисперсия этих совокупностей 2 предполагается одинаковой, не зави- сящей от номера группы. Это предположение будет играть очень существен- ную роль, и потребует проверки приемом, описанным, например в [2]. Обозна- чая через i a центр i-й совокупности, можно положить: ' i i i x a x , (3) где i x – случайные отклонения в каждом индивидуальном опыте. Изменение «существенных» компонент i a в разложении (3) будет отра- жать влияние факторов: каждому варианту i A отвечают соответствующие зна- чения i a . Для того, чтобы обнаружить влияние этих факторов, мы «построим» нулевую гипотезу: 1 2 c o n s t k a a a a , как раз основанную на отрицании этого влияния. Пусть i x – среднее арифметическое i-й выборки 1 i n i i i x x n . Для каждого i ( i = 1, 2 , …, k ) можно написать соотношение: 6 2 2 2 1 1 ) ) ( ) ( ( i i n n i i i i i i i x a x x n x a (4) Суммируя соотношения, подобные (2) при всех i , получим: 2 2 2 1 1 1 1 1 ) ) ( ) ( ( i i n n k k k i i i i i i i i i i x a x x n x a (5) Первая из сумм правой части (5) по теории сложения для 2 – распреде- ления будет распределена, как 2 2 с N k ( 1 k i i N n ) степенями свободы, то- гда как вторая распределяется по тому же закону с k степенями свободы – оба члена представляют независимые друг от друга величины. Каждое из слагае- мых, поделенное на соответствующее число степеней свободы, может рассмат- риваться как оценка параметра 2 Полагая 2 2 1 1 ) ( i n k i i i r s x x N k , (6) мы будем иметь несмещенную оценку 2 , основанную лишь на колебаниях внутри каждой из выборок и не зависящую от величины центров 1 2 , , ..., k a a a от- дельных совокупностей. Полагая 2 2 1 ( ) 1 k i i i a n x x s k , (7) мы будем иметь оценку 2 , распределенную по закону 2 и основанную на ко- лебаниях средних в выборках около общего среднего. Она не зависит от 2 r s , ос- нованной на колебаниях индивидуальных значений внутри каждой серии около отвечающих им средних. Тогда при нашем предположении отношение 2 2 a r s F s (8) имеет F – распределение с 1 k и N k степенями свободы. Если гипотеза не- верна, то величина 2 a s будет больше 2 и отношение 2 2 a r s s будет стремиться зна- чительно превзойти единицу. Это обстоятельство позволяет установить нали- чие систематических погрешностей в результатах измерений [3]. Рассмотренная нами простейшая схема дисперсионного анализа пред- ставлена в табл. 1. 7 Таблица 1 – Простейшая схема дисперсионного анализа Вариация Соответствующая сумма квадратов Число степеней свободы Оценка дисперсии Между выборками 2 1 ( ) k i i i n x x 1 k 2 a s Внутри выборок 2 1 1 ) ( i n k i i i x x 1 k i i n k N k 2 r s Общая 2 1 1 ) ( i n k i i x x 1 N Схему вычисления запишем в виде таблицы (см. табл. 2). Таблица 2 – Вычислительная схема дисперсионного анализа № вы борок Наблюдения Чи сло на блю де ни й Суммы Суммы квадратов Квадраты сумм, от- несѐнные к числу наблюде- ний в группе Суммы квадратов отклонений Число сте- пеней сво- боды 1 1 1 1 1 2 1 , , ..., n x x x 1 n 1 1 1 n x 1 2 1 1 n x 1 2 1 1 1 n x n 1 2 1 1 1 ) ( n x x 1 1 n 2 2 2 1 2 2 2 , , ..., n x x x 2 n 2 2 1 n x 2 2 2 1 n x 2 2 2 1 2 n x n 2 2 2 2 1 ) ( n x x 2 1 n …. …. …. …. …. …. …. …. k 1 2 , , ..., k k k k n x x x k n 1 k n k x 2 1 k n k x 2 1 k n k k x n 2 1 ) ( k n k k x x 1 k n Общий итог N 1 1 i n k i i x 2 1 1 i n k i i x 2 1 1 i n i k i i n x 2 1 1 ) ( i n k i i i x x N k 8 Вычисление сумм, характеризующих вариации между выборками и внут- ри их, происходит по формулам, в которых использованы итоговые данные таблицы: 2 2 1 1 ( ) ( ) i n k r i i i N k x x s , (9) 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1) ( ) ( i i n n k i i k k i a i i i i i x x s k n x x n N (10) Для проверки можно использовать соотношение: 2 2 2 1 1 ) ( ) ( 1) ( i n k i r a i x x s N k s k (11) Если нулевая гипотеза подтвердилась, оценим дисперсию 2 с помощью несмещенной оценки 2 0 s по совокупности всех наблюдений: 2 2 1 1 0 ) 1 1 ( i n k i i x x Q s N N (12) Для оценки a при этом мы используем x и можем построить довери- тельный интервал, пользуясь распределением Стьюдента для: 0 x a t s N (13) с ( 1) N степенями свободы. Если же зависимость от факторов обнаружена (нулевая гипотеза не под- твердилась), то возможно оценить «существенные» компоненты i a с помощью i x , воспользовавшись опять отношением Стьюдента i i i r i x a t s n (14) с ( ) N k степенями свободы при любом i. Таким образом, для каждого a i мы можем построить доверительный ин- тервал. В некоторых случаях представляет интерес оценить разность i j a a меж- ду центрами двух групп; c этой целью обычно используют критерий Стьюдента ( ) ( ) 1 1 i j i j r i j x x a a t s n n (15) с ( ) N k степенями свободы. 9 3 ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ Пусть известны данные об отклонениях показаний в микрометрах по об- щепринятому критерию c k H чистоты поверхности четырех различных моделей профилометров от показаний образцового профилометра при поверке поверх- ности 7-го класса чистоты. В табл. 3 приведены данные, полученные в резуль- тате четырех повторных проверок одной и той же поверхности с помощью каждого из четырех приборов. Таблица 3 – Результаты четырех повторных проверок поверхности № повторных измерений Номера и модели приборов 1 КВ 2 ПИ5 3 ПИ5/6 4 ПИ6 1 –0,21 +0,16 +0,10 +0,12 2 –0,06 +0,08 –0,07 –0,04 3 –0,17 +0,03 +0,15 –0,02 4 –0,14 +0,11 –0,05 +0,11 Дисперсии во всех четырех сериях предполагаются одинаковыми. Требу- ется проверить гипотезу об однородности ряда средних 1 2 3 4 a a a a , ины- ми словами, требуется проверить предположение об отсутствии существенных систематических погрешностей у приборов. Данную задачу решим по изложен- ной выше методике. Для удобства и наглядности вычислений расположим наши данные в табл. 4 и табл. 5. Таблица 4 – Транспонированная таблица результатов измерений № при- боров по порядку Наблюденные значения в сотых долях микрометра 1 i x 2 i x 3 i x 4 i x 1 i n i x 2 1 i n i x 1 –21 –6 –17 –14 –58 962 2 16 8 3 11 38 450 3 10 –7 15 –5 13 399 4 12 –4 –2 11 17 285 1 k i 17 –9 –1 3 10 2096 10 Таблица 5 – Сводные результаты дисперсионного анализа № прибо- ров по порядку i n 1 i n i x 2 1 i n i x 2 1 i n i x 2 1 i n i i x n 2 1 ) ( i n i i x x i f i x 1 4 –58 962 3364 841 121 3 –14,5 2 4 38 450 1444 361 89 3 9,5 3 4 13 399 169 42,25 356,75 3 3,25 4 4 17 285 289 72,25 212,75 3 4,25 1 1 i n k i 16 10 2096 5266 1316,5 779,5 12 2,5 Вычисляем по формулам (9) и (10) суммы, характеризующие вариации, используя итоговые данные табл. 5. 2 2 1 1 ( ) ( ) 7 7 9 , 5 i n k r i i i s N k x x , 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 0 ( 1) ( ) 1 3 1 6 , 5 1 3 1 0 , 2 5 1 6 i i n n k i i k k i a i i i i i s k n x x n N x x С целью проверки вычислений определяем еще, следуя (11), сумму 2 2 1 1 1 0 ) 2 0 9 6 2 0 8 9 , 7 5 1 6 ( i n k i i x x и убеждаемся, что 2089,75 = 779,5 + 1310,25, откуда следует, что вычисления сделаны верно. Определяем теперь критерий F согласно (8): 2 2 1 3 1 0 , 2 5 1 2 6 , 7 . 7 7 9 , 5 3 a r s F s При числах степеней свободы 1 3 k и ( ) 1 6 4 1 2 N k соответствен- но для 2 a s и 2 r s по табл. 7 находим 0 , 0 5 3 , 4 9 F и 0 , 0 1 5 , 9 5 F , мы же получили из наблюдений 6 , 7 F Таким образом, q F F и с высокой степенью достоверности гипотезу об однородности ряда средних, т. е. предположение об отсутствии систематиче- ских погрешностей у приборов, следует отвергнуть на основании проведенных наблюдений. 11 Построим теперь доверительные интервалы для систематических по- грешностей i a приборов. Задаваясь уровнем значимости 0 , 0 5 1 0 0 q , мы по таб- лице 8 находим для ( ) 1 6 4 1 2 N k степеней свободы пятипроцентный пре- дел 5 ,1 2 2 , 1 7 9 t , откуда, пользуясь (9) и (14), находим: 2 7 7 9 , 5 6 4 , 9 6 1 2 r s , 6 4 , 9 6 8 , 0 6 r s и 1 8 , 0 6 8 , 0 6 1 4 , 5 2 , 1 7 9 1 4 , 5 2 , 1 7 9 4 4 a , 1 2 3, 3 5 , 7 a и аналогично 2 0 , 7 1 8 , 3 a , 3 5 , 5 5 1 2 , 0 5 a , 4 4 , 5 5 1 3, 0 5 a Мы видим, что прибор КВ имеет отрицательную систематическую погрешность, которая оценивается 95 %-ными доверительными границами от –0,23 до –0,06; наименьшую систематическую погрешность имеет прибор ПИ5/6; она лежит в пределах от –0,06 до –0,12 мкм. Если принять прибор ПИ5/6 за образцовый, то систематическая состав- ляющая отклонений прибора ПИ6 от его показаний может быть оценена на ос- нове (15) следующим доверительным интервалом: 4 3 1 1 1 1 1 2 , 1 7 9 8 , 0 6 1 2 , 1 7 9 8 , 0 6 4 4 4 4 a a или 4 3 0 , 1 1 м к м 0 ,1 3 м к м a a Таким образом, между систематическими составляющими этих приборов в действительности отсутствует какое-либо различие. 12 4 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1 Что называется погрешностью результата измерения? 2 Какое значение принимают за истинное при измерениях: а) однократ- ном; б) многократном? 3 Дайте определение погрешности: а) абсолютной; б) относительной; в) систематической; г) случайной. 4 Какими могут быть систематические погрешности по характеру изме- нения во времени? 5 Какими характеристиками можно описать случайные погрешности? 5 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ Варианты 1–9 Решить задачу, рассмотренную в примере, используя данные табл. 6. Варианты 10–24 При сличении показаний грузопоршневых барометров различных типов с показаниями эталонного ртутного барометра были получены следующие дан- ные об отклонениях в кгс (см. табл. 6). Полагая, что дисперсии в каждой из се- рии измерений однородны, требуется проверить предположение об отсутствии существенных систематических погрешностей у приборов и оценить эти по- грешности с доверительной вероятностью 0 , 9 5 P Таблица 6 – Наблюденные значения в сотых долях единицы измеряемой величины Номер повтор- ных из- мерений Номер варианта 1 2 3 Номера приборов I II III I II III IV I II III IV V 1 –6 4 4 3 4 –1 2 5 2 –1 2 4 2 –7 –1 2 5 1 1 –2 –3 4 6 3 –3 3 –4 2 –1 2 –2 2 3 6 –2 4 2 4 4 1 5 6 –1 2 1 4 7 5 3 4 5 Номер повтор- ных из- мерений Номер варианта 4 5 6 Номера приборов I II III I II III IV I II III IV V 1 –6 3 –4 2 –1 3 3 2 3 3 2 1 2 –4 –1 2 4 2 2 –1 –3 1 2 –1 –3 3 2 5 1 2 –1 –1 2 1 3 2 –3 3 4 2 3 –2 3 3 –2 3 2 –1 –2 2 2 5 –3 –2 2 –2 –2 1 –1 3 2 1 3 –3 13 Продолжение табл. 6 Номер повтор- ных из- мерений Номер варианта 7 8 9 Номера приборов I II III I II III IV I II III IV V 1 7 –1 4 4 6 5 –1 2 5 –1 4 3 2 –2 6 –1 –1 7 6 2 6 4 2 6 –2 3 4 4 4 2 6 –1 1 –1 –2 3 –1 1 4 –3 4 5 5 4 4 2 4 –1 1 3 –2 5 5 –2 –2 6 –4 6 1 3 1 2 5 3 6 2 5 6 –2 2 3 –1 4 3 1 2 1 Номер повтор- ных из- мерений Номер варианта 10 11 12 Номера приборов I II III I II III IV I II III IV V 1 –14 10 6 16 –8 10 7 18 12 10 13 12 2 –10 12 8 14 6 6 –2 14 –2 8 6 –4 3 3 4 –2 10 9 –4 –4 –3 –1 –4 –4 8 4 –12 8 –3 12 –5 4 6 11 7 6 7 10 Номер повтор- ных из- мерений Номер варианта 13 14 15 Номера приборов I II III I II III IV I II III IV V 1 12 10 10 6 9 –1 7 16 12 9 13 12 2 –2 14 12 8 6 8 –2 –4 10 7 6 11 3 10 –3 10 7 5 –3 4 12 –3 –1 –4 –5 4 8 6 6 –1 7 9 5 –4 11 6 8 10 5 8 8 4 –5 4 7 4 10 8 7 10 –1 Номер повтор- ных из- мерений Номер варианта 16 17 18 Номера приборов I II III I II III IV I II III IV V 1 7 12 10 9 10 8 6 16 12 13 9 7 2 8 10 –2 7 9 6 4 11 10 8 7 12 3 10 –5 –3 6 7 8 2 –6 –7 4 3 6 4 –3 –7 4 –1 –3 –1 –5 –4 2 –5 –1 7 5 6 6 5 5 3 4 3 8 4 4 6 –1 Номер повтор- ных из- мерений Номер варианта 19 20 21 Номера приборов I II III I II III IV I II III IV V 1 20 7 16 17 14 10 12 21 18 7 11 19 2 11 12 10 –4 –1 1 10 17 10 12 9 12 3 –6 10 –2 11 9 6 5 –2 1 –5 –4 14 4 14 –1 5 6 12 7 8 14 16 10 7 6 14 Окончание табл. 6 Номер повтор- ных из- мерений Номер варианта 22 23 24 Номера приборов I II III I II III IV I II III IV V 1 17 –5 14 2 –4 6 –2 14 12 10 5 12 2 10 7 –4 7 6 12 5 11 –8 16 –1 14 3 –3 2 6 11 9 16 4 –6 14 –3 4 17 4 12 8 11 5 7 8 10 17 7 12 7 –2 5 14 4 10 8 11 10 3 12 10 –1 6 11 Таблица 7 – Процентные точки F-распределения ( 1, , 0 .9 5 k N k F ) 1 k N k 9 12 15 16 20 25 2 4,2565 3,8853 3,6823 3,6337 3,4928 3,3852 3 3,8625 3,4903 3,2874 3,2389 3,0984 2,9912 4 3,6331 3,2592 3,0556 3,0069 2,8661 2,7587 Таблица 8 – Процентные точки t-распределения Стьюдента ( 0 , 9 5 P ) N k 9 12 15 16 20 25 t 2,262 2,179 2,131 2,120 2,086 2,060 15 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1 Дунин-Барковский, И.В. Теория вероятностей и математическая стати- стика в технике (общая часть) / И.В. Дунин-Барковский, Н.В. Смирнов. – М. : Гостехиздат, 1955. – 556 с. 2 Румшинский, Л.З. Математическая обработка результатов эксперимен- та / Л.З. Румшинский. – М. : Главная ред. физ.-мат. литературы изд-ва «Наука», 1971. – 192 с. 3 Долинский, Е.Ф. Обработка результатов измерений / Е.Ф. Долинский. – М. : Изд-во стандартов, 1973. – 191 с. 16 Учебное издание Рядченко Гавриил Викторович Буракова Марина Андреевна Бондаренко Вероника Александровна ВЫЯВЛЕНИЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ Печатается в авторской редакции Технический редактор Т.И. Исаева Подписано в печать 13.07.15. Формат 60×84/16. Бумага газетная. Ризография. Усл. печ. л. 0,93. Тираж экз. Изд. № 5078. Заказ . Редакционно-издательский центр ФГБОУ ВПО РГУПС. Адрес университета: 344038, г. Ростов н/Д, пл. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2. |