Внимание! Данное задание необходимо выполнить и отправить на проверку преподавателю.
Задание. Для функции y = (2x + 3)e5x :
1. Найти область определения, точки разрыва .
2. Исследовать функцию на четность, периодичность .
3. Исследовать поведение функции на концах области определения. Указать асимптоты.
4. Найти промежутки монотонности. Точки экстремума .
5. Найти промежутки выпуклости. Точки перегиба.
6. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = (2x + 3)e5x и прямыми x = 0, x = 2, y = 0.
Результаты исследования оформить в виде таблицы.
Область определения:
|
Dy=-∞;+∞, точек разрыва нет
|
Четность, периодичность:
|
y-x=2(-x)+3e5(-x)=-2x+3e-5x≠yx ≠-yx
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной. Функция является функцией общего вида.
|
Поведение на концах
области определения:
|
limx→-∞2x+3e5x=0
limx→+∞2x+3e5x=limx→+∞2x+31e5x=+∞0=+∞;
Функция определена всюду, следовательно, вертикальных асимптот нет
|
Асимптоты:
|
y=kx+b
limx→-∞fxx=limx→-∞2x+3e5xx=0;
y=0- горизонтальная (наклонная) асимптота
|
Промежутки монотонности:
|
Вычислим y'=2x+3e5x'=2x+3'e5x+2x+3e5x'= =2e5x+52x+3e5x=e5x2+10x+15=10x+17e5x y'=0=>10x+17e5x=0=>10x+17=0=>x=-1,7 y-1,7=2∙-1,7+3e5∙-1,7≈0
x -∞;-1,7 -1,7 -1,7;+∞ y'x - 0 + y(x) ↘ 0 ↗
|
Точки экстремума:
|
При переходе через критическую точку x=-1,7 производная меняет знак c минуса на плюс. Следовательно, в точке K-1,7;0 функция имеет минимум.
|
Промежутки выпуклости:
|
y''x=10x+17e5x'=10x+17'e5x+10x+17e5x'= =10e5x+510x+17e5x=5e5x2+10x+17=510x+19e5x y''=0=>510x+19e5x=0=>10x+19=0=>x=-1,9 y''-1,9=510∙-1,9+19e5∙-1,9≈0 x -∞;-1,9 -1,9 -1,9;+∞ y'' - 0 + y выпуклая 0 вогнутая
|
Точки перегиба:
|
P-1,9;0- точка перегиба, т.к
Это уравнение имеет решение при 2x+1=0,x=-1/2. Поэтому у графика перегиб в точке ((-1/2); (-8/9)).
|
Площадь криволинейной трапеции.
|
f(-x)=(-2x-1)/(-x-1)^2 =(-(2x+1))/(x+1)^2 ≠f(x)≠-f(x).
| |
Скачать 15.37 Kb.