История Росии. Высшая математика (1). Вопрос номер 10 Найти матрицу Dab2C

• Название: Вопрос номер 10 Найти матрицу Dab2C
• Анкор: История Росии
• Дата: 07.03.2022
• Размер: 158.33 Kb.
• Имя файла: Высшая математика (1).docx
• Тип: Документы; #386015

Вопрос номер 10

Найти матрицу D=AB-2C







Умножим матрицы: D = A x B



Умножим матрицу на число: E = 2C



Вычитание матриц: D = D - E



Ответ: AB-2C =



Вопрос номер 20

Найти обратную матрицу A^-1 и пользуясь правилом умножения матриц, показать, что 1 A·A=E, где E – единичная матрица.
Запишем матрицу в виде:



Главный определитель

∆=0∙((-2)∙1 - 1∙(-4)) - 2∙(1∙1 - 1∙1) + 1∙(1∙(-4) - (-2)∙1) = -2

Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A^-1.

Обратная матрица будет иметь следующий вид:



где A_ij - алгебраические дополнения.

Транспонированная матрица.



Найдем алгебраические дополнения матрицы A^T.



∆_1,1 = ((-2)∙1 - (-4)∙1) = 2



∆_1,2 = -(1∙1 - 1∙1) = 0



∆_1,3 = (1∙(-4) - 1∙(-2)) = -2



∆_2,1 = -(2∙1 - (-4)∙1) = -6



∆_2,2 = (0∙1 - 1∙1) = -1



∆_2,3 = -(0∙(-4) - 1∙2) = 2



∆_3,1 = (2∙1 - (-2)∙1) = 4



∆_3,2 = -(0∙1 - 1∙1) = 1



∆_3,3 = (0∙(-2) - 1∙2) = -2

Обратная матрица.





Проверим правильность нахождения обратной матрицы путем умножения исходной матрицы на обратную. Должны получить единичную матрицу E.



E=A∙A^-1=

0∙(-1)+1∙3+1∙(-2)	0∙0+1∙0.5+1∙(-0.5)	0∙1+1∙(-1)+1∙1
2∙(-1)+(-2)∙3+(-4)∙(-2)	2∙0+(-2)∙0.5+(-4)∙(-0.5)	2∙1+(-2)∙(-1)+(-4)∙1
1∙(-1)+1∙3+1∙(-2)	1∙0+1∙0.5+1∙(-0.5)	1∙1+1∙(-1)+1∙1

Вопрос номер 30

Решить уравнение

Решим систему уравнений:

x + y + 2z = 1

2x - y + 2z = -2

4x + y + 4z = 2

Из 1-ого уравнения выразим x через остальные переменные

x = -y - 2z + 1

2x - y + 2z = -2

4x + y + 4z = 2

В 2, 3 уравнение подставляем x

x = -y - 2z + 1

2(-y - 2z + 1) - y + 2z = -2

4(-y - 2z + 1) + y + 4z = 2

после упрощения получим:

x = -y - 2z + 1

-3y - 2z = -4

-3y - 4z = -2

Поделим 2-ое уравнение на -3

x = -y - 2z + 1

y + - z = 

-3y - 4z = -2

Из 2-ого уравнения выразим y через остальные переменные

x = -y - 2z + 1

y = - z + 

-3y - 4z = -2

В 3 уравнение подставляем y

x = -y - 2z + 1

y = - z +

-3(- z +  ) - 4z = -2

после упрощения получим:

x = -y - 2z + 1

y = - z + 

-2z = 2

Поделим 3-ое уравнение на -2

x = -y - 2z + 1

y = - z +

z = -1

Теперь поставим z и упрощаем задание

x=-y-2(-1)+1

y=- ·(-1)+

z=-1

Теперь поставим y и упрощаем задание

x=-y+3

y=2

z=-1

Упрощаем

x=-2+3

y=2

z=-1

Решение

x=1

y=2

z=-1

Проверка

1+2+2(-1)=1

2(1)-2+2(-1)=-2

4(1)+2+4(-1)=2

Вопрос номер 40

построить треугольник, вершины которого находятся в точках Ax₁,y₁, Bx₂,y₂ , Cx₃,y₃ . Найти:

1) уравнения сторон треугольника ABC;

2) координаты точки М пересечения медиан;

3) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины A;

4) площадь треугольника.

A(-2; 2), B(-8; -5), C(4; 0)

Решение.

1) Найдем уравнение сторон треугольника, получим:

: , , , ;

: , , , ;

: , , , .

2) Найдем координаты точки , середины отрезка , имеем и , имеем .

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Для определения координаты пересечения медиан используем формулу деления отрезка в данном отношении и , тогда и , получим координату пересечения медиан .

3) Высота треугольника – перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Угловой коэффициент высоты определим из условия перпендикулярности прямых . Угловой коэффициент прямой : равен , тогда получим , .

Уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом , найдем по формуле , получим: , , - уравнение высоты .

Длину высоты определим как расстояние от точки до прямой
: , получим .

4) Площадь треугольника определи по формуле . Найдем длину стороны , получим . Тогда площадь треугольника равна .



Вопрос номер 50

Даны координаты точек Ax₁, y₁, z₁, Bx₂, y₂, z₂, Cx₃, y₃, z₃, Dx₄, y₄, z₄ . Найти:

1) найти длину ребра AB;

2) уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C;

3) уравнение высоты опущенной из точки D на плоскость ABC;

4) площадь грани ABC;

5) объем пирамиды ABCD.

Решение.

1) Длина ребра равна .

2) Уравнение плоскости, проходящей через три точки ,  и по формуле: , тогда получим: , .

3) Направляющий вектор прямой, опущенный из вершины , и нормальный вектор плоскости коллинеарные. Нормальный вектор плоскости равен . Тогда существует такое , что имеем .

Уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором равно: , .

4) Площадь грани определим по формуле , где - векторное произведение.

Векторное произведение векторов и , равно:

.

Тогда площадь грани равна: (ед²).

5) Объем пирамиды определим по формуле , где - смешанное произведение.

Смешанное произведение векторов , и равно: .

Тогда объем пирамиды равен (ед³).