ДПИ. Вопросы для подготовки к экзамену (1 семестр) Введение в математический анализ

• Название: Вопросы для подготовки к экзамену (1 семестр) Введение в математический анализ
• Дата: 24.03.2022
• Размер: 37.5 Kb.
• Имя файла: 1_2018.doc
• Тип: Документы; #413627

Вопросы для подготовки к экзамену (1 семестр)

1. Введение в математический анализ

1. Множества, операции над множествами. Множества N,Z,Q. Отображения множеств.

2. Множество вещественных чисел. Аксиомы множества вещественных чисел. Аксиома полноты множества R.

3.Комплексные числа. Геометрическая интерпретация. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа.

4. Арифметические операции над комплексными числами.

5. Ограниченные множества, точные числовые грани.

6.Счетные множества. Понятие мощности множеств. Несчетность множества действительных чисел.

7. Классификация точек множества. Открытые и замкнутые множества.

8.Предел последовательности. Свойства сходящихся и расходящихся последовательностей.

9.Арифметические операции над сходящимися последовательностями.

10. Сходимость ограниченной монотонной последовательности.

11. Число «е», как предел последовательности рациональных чисел.

12. Функция, аргумент и значение функции, область ее определения, множество значений функции, образ и прообраз. Основные способы задания функций

13. Взаимно однозначное, тождественное, обратное, сложное, параметрически заданное отображение и их свойства.

14. Числовые функции и их свойства (монотонность, четность, периодичность, ограниченность.) Основные элементарные функции и их графики. Класс элементарных функций. Обратные функции.

15. Два определения предела функции в точке. Теорема об эквивалентности этих определений. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности. Бесконечные пределы. Односторонние пределы.

16. Локальные свойства функций, имеющих предел. Предел монотонных ограниченных функций.

17. Бесконечно малые в точке функции, их свойства.Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые и их свойства. Таблица эквивалентных бесконечно малых и ее применение для вычисления пределов .

18. Непрерывность функции в точке. Различные определения непрерывности функций в точке, их эквивалентность.

19.Непрерывность суммы, произведения, частного непрерывных функций, сложной и обратной функций. Непрерывность основных элементарных функций.

20. Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва.

21. Первый замечательный предел.

22. Второй замечательный предел.

23. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теоремы Вейерштрасса .

24. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теоремы Больцано-Коши.

2.Дифференциальное исчисление функций одной действительной переменной

1. Определение производной. Механический и геометрический смысл производной. Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости функции

2. Правила дифференцирования. Основные свойства производных.

3. Производная сложной функции.

4. Производная обратной функции. Производная показательно–степенной функции.

5. Производные основных элементарных функций: и гиперболических функций.

6. Производная функции, заданной параметрически.

7. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Свойства дифференциала.

8. Производные и дифференциалы высших порядков.

9. Производные высших порядков от функции заданной параметрически.

10. Уравнения касательной и нормали к кривой.

11. Теоремы Ферма и Ролля. Их геометрический смысл.

12. Теоремы Лагранжа и Коши. Их геометрический смысл.

13. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей

14. Формулы Тейлора и Маклорена.

15. Формулы Тейлора для функции

16. Необходимые и достаточные условия монотонности функции.

17. Необходимые и достаточные условия экстремума функции.

18. Наименьшее и наибольшее значения функции на замкнутом отрезке.

19. Интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Достаточное условие.

20. Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия.

21. Асимптоты графика функции. Условия существования асимптот..

3. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

1. Функции многих переменных, как отображения из Rn в R1. График функции многих переменных. Примеры функции многих переменных и их геометрическое представление. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность.

2. Частные производные и частные дифференциалы скалярной функции многих переменных и их геометрическая интерпретация.

3. Понятие дифференцируемости функции. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости.

4. Полный дифференциал .

5. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

6. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования.

7. Неявные и сложные функции, их дифференцирование. Инвариантность формы первого дифференциала.

8. Производная по направлению, градиент функции, его свойства, связь с производной по направлению.

9. Формула Тейлора для функций двух и нескольких переменных.

10. Локальный экстремум скалярной функций многих переменных. Необходимое условие локального экстремума непрерывно дифференцируемой функции.

11.Достаточное условие локального экстремума дважды непрерывно дифференцируемой функции двух переменных.

12. Наибольшее и наименьшее значения функций в замкнутой области.