Вопросы по вышмату 2 сем. Вопросы к экз. 2 сем. 2022-2. Вопросы к экзамену по математике. Ii семестр

• Название: Вопросы к экзамену по математике. Ii семестр
• Анкор: Вопросы по вышмату 2 сем
• Дата: 24.03.2023
• Размер: 57 Kb.
• Имя файла: Вопросы к экз. 2 сем. 2022-2.doc
• Тип: Вопросы к экзамену; #1011439

Вопросы к экзамену по математике. II семестр.
При ответе на вопрос требуется дать определение всем используемым терминам.
Алгебра.

1. 
   Группы, кольца, поля.
   
2. 
   Определение линейного пространства. Теорема о линейно зависимых и независимых системах векторов.
   
3. 
   Теорема о линейной зависимости системы из k векторов, каждый из которых является линейной комбинацией некоторой системы из m векторов (k > m).
   
4. 
   Базис линейного пространства. Теорема об инвариантности числа элементов базиса. Теорема о количестве элементов линейно независимой системы (Т. 1.3, Т.1.4).
   
5. 
   Координаты вектора. Теоремы о координатах вектора (Т.1.5 и Т.10.1).
   
6. 
   Определение и свойства скалярного произведения. Угол между векторами.
   
7. 
   Пространства и .
   
8. 
   Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов.
   
9. 
   Матрицы: определение; сложение и умножение на число. Размерность и базис пространства матриц одного размера.
   
10. 
    Перемножение матриц. Свойства.
    
11. 
    Обратные и транспонированные матрицы.
    
12. 
    Перемножение матриц, разбитых на блоки.
    
13. 
    Ортогональные матрицы.
    
14. 
    Определитель матрицы: определение, разложение по первому столбцу. Определитель верхней и нижней треугольных матриц. Связь определителей и .
    
15. 
    Перестановки.
    
16. 
    Теорема о выражении определителя через сумму слагаемых, в каждом из которых содержится произведение элементов матрицы (по одному из каждой строки и каждого столбца), снабженных знаком по некоторому правилу.
    
17. 
    Свойства определителей: перестановка строк (столбцов), разложение по произвольному столбцу (строке), сумма произведений элементов i-ой строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов j-ой строки.
    
18. 
    Линейность определителя по элементам строки или столбца. Определитель матрицы, строки (столбцы) которой являются линейно зависимыми. Определитель матрицы, к некоторой строке которой прибавлена другая, умноженная на число.
    
19. 
    Определитель блочной матрицы. Определитель произведения матриц.
    
20. 
    Обратная матрица. Следствия о треугольных матрицах.
    
21. 
    Матрицы элементарных преобразований.
    
22. 
    Метод Гаусса решения систем линейных уравнений в случае, когда системы несовместны или имеют единственное решение.
    
23. 
    Метод Гаусса решения систем линейных уравнений в случае, когда системы имеют бесконечно много решений. Структура общего решения систем.
    
24. 
    Однородные системы линейных уравнений.
    
25. 
    Теорема Крамера.
    
26. 
    Горизонтальный и вертикальный ранги матрицы. Ранг по минорам. Их совпадение для трапециевидной матрицы.
    
27. 
    Неизменность ранга матрицы при умножении ее на невырожденную. Теорема о равенстве рангов для произвольной матрицы.
    
28. 
    Теорема Кронекера - Капелли.
    
29. 
    Собственные числа и векторы матрицы. Совпадение характеристических многочленов у подобных матриц. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным числам.
    
30. 
    Связь между линейной зависимостью системы векторов и соответствующей системы координатных столбцов. Связь координатных столбцов одного вектора в разных базисах.
    
31. 
    Линейное отображение линейных пространств. Матрица отображения в некоторых базисах. Ее использование для вычисления образа вектора. Связь матриц отображения в разных базисах.
    
32. 
    Ядро и образ отображения.
    
33. 
    Собственные числа и собственные векторы оператора. Матрица оператора в базисе из собственных векторов.
    
34. 
    Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным числам оператора. Собственные подпространства, их размерность. Следствия.
    
35. 
    Евклидовы и унитарные пространства. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Линейная независимость ортонормированной системы векторов.
    
36. 
    Теорема о собственных числах и собственных векторах вещественной симметричной матрицы.
    
37. 
    Теорема об ортогональном подобии вещественной симметричной матрицы некоторой диагональной матрице. Следствия.
    
38. 
    Определение билинейной и квадратичной форм. Матрица билинейной формы в некотором базисе, ее использование для вычисления билинейной формы. Связь матриц одной билинейной формы в разных базисах.
    
39. 
    Теорема о существовании ортогонального преобразования базиса, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Практический метод приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования базиса (метод собственных векторов). Построение кривой
    

.

40. 
    Теорема о необходимом и достаточном условии положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы.
    
41. 
    Теорема о существовании треугольного преобразования базиса, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Критерий Сильвестра.
    

Математический анализ.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

42. 
    Последовательность точек в . Теорема о покоординатной сходимости.
    
43. 
    Предел функции р переменных. Непрерывность функции р переменных. Теорема Вейерштрасса.
    
44. 
    Дифференцируемость функции р переменных. Дифференцируемость суммы и произведения дифференцируемых функций.
    
45. 
    Частные производные функции р переменных. Связь между дифференцируемостью функции и существованием частных производных. Пример функции, которая имеет частные производные в точке А, но не дифференцируема в этой точке.
    
46. 
    Дифференцируемость функции в случае существования и непрерывности частных производных.
    
47. 
    Производная сложной функции. Частные производные сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
    
48. 
    Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.
    
49. 
    Дифференциалы высших порядков. Отсутствие инвариантности формы у дифференциалов порядка выше первого.
    
50. 
    Формула Тейлора функции р переменных.
    
51. 
    Теорема о существовании и дифференцируемости неявно заданной функции одной переменной. Вычисление первой и второй производных функции у(х), заданной неявно уравнением
    

52. 
    Теорема о существовании и дифференцируемости неявно заданных функций р переменных, заданных системой функциональных уравнений. Приемы вычисления производных . Вычисление первых и вторых производных функции z(x,y) , заданной неявно уравнением
    

.

Вычисление первых производных функций y(x), z(x), u(x), заданных неявно системой

.

53. 
    Определение точек экстремума функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования точек экстремума.
    
54. 
    Определение точек условного экстремума функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования точек условного экстремума. Пример: найти точки условного экстремума функции при условии , используя метод нахождения точек условного экстремума.
    

При ответе на оценку 3 требуется знать все определения и формулировки из вопросов 1 – 54, а также доказательства теорем из вопросов 25, 29, 33, 40, 46, 49. Использовать конспекты (и шпаргалки) нельзя.