Ответы 3 семестр (теория). Вопросы (к зачету за 3й сем) по курсу " высшая математика "
 Скачать 58.4 Kb.
|
|
ВОПРОСЫ (к зачету за 3-й сем) ПО КУРСУ “ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ” Лектор С.Н. Чириков. Группы Д3-013,130
Числовой ряд – бесконечная сумма членов бесконечной числовой последовательности {Un}называется числовым рядом: u1 +u2+u3+ … +un+ … =  Частичные суммы ряда - Sn, они образуют последовательность {Sn} -последовательностьчастичных сумм (бесконечного) ряда un –общий член ряда. S1=u1 S2=u1+u2 Sn=u1+u2+…+un+… Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм  (сумма ряда)=Если предел не существует или бесконечен, то последовательность называется расходящейся. Геометрический ряд – это сумма всех членов геометрической последовательности с первым членом a и знаменателем q  a0+a0q+a0q2+…+a0qn-1+…Sn=  , при q≠1
Пусть  и  , тогда начиная с нечетного номера N>ip  Необходимый признак ходимости ряда. Если ряд сходиться, то  .Следствие: Если  , то ряд расходится.Замечание: Этот признак необходимый, но не достаточный.
1-ый признак сравнения. Пусть даны и  и для любого n Un≤Vn, если ряд сходится, то и ряд сходится, если расходится, то и расходится. (данная теорема справедлива, если неравенство выполнимо не для всех n, а начиная с некоторого)2-ой признак сравнения. Если для рядов и существует предел  , то оба ряда либо одновременно сходятся, либо расходятся. - неизвестный ряд. - ряд сравнения, чаще всего используются:
Признак Д'Аламбера. Если для ряда существует конечный предел отношений  Признак Коши. Если для ряда существует конечный предел отношений 
Если f(x) при х ≥1 непрерывна, положительна, монотонно убывает и для всех хεnεN, f(n)=Un, то ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом  . Теорема справедлива в том случае, если f(x) непрерывна, неотрицательна и монотонно возрастает при х≥а (а>1), то ряд будет сходиться или расходиться одновременно с  .
 - произвольные знаки. - абсолютно сходится, если сходится ряд составленный из модулей его членов  – условно сходится , если - сходится, а ряд из модулей - расходится.Ряд вида  , где все Un≥0 называется знакочередующимся.Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине U1>U2>U3>…>Un… и , то знакочередующийся ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена S≤U1
Функциональной последовательностью называется бесконечное, занумерованное множество функций  Функция F(x) называется пределом функциональной последовательности  на Х, если равенство F(x)= выполняется в каждой точке Х или, если для любых хεХ и всех Ε>0 существует N(E;x) при n>N |fn(x)-F(x)|Ряд вида  ( ), где fn(x) – члены функциональной последовательности, называется функциональным рядом.При каждом фиксированном значении х=х0 этот функциональный ряд представляет собой обычный числовой ряд. Если этот числовой ряд сходиться, то значение х0 – называют точкой сходимости функционального ряда. Совокупность всех точек сходимости называют областью сходимости ряда. Энной частичной суммой функционального ряда называется функция вида: Sn(x)=f1(x)+f2(x)+..+ fn(x). Суммой функционального ряда называется функция S(x)=  , при условии, что этот придел существует в каждой точке Х (области сходимости функционального ряда). А сам ряд называется сходящимся на Х. Область сходимости функционального ряда может быть найдена с помощью признака Д'Аламбера или Коши.
Равномерно сходящаяся функциональная последовательность. Последовательность функций сходится равномерно {yn(x)}=F(x) на всех х, если для всех ε>0 существует такое N(ε) для всех n>N, всех xεX, что |fn(x)-F(x)|<ε, для всех точек данного множества. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве Х к функции S(x);  , если для всех ε>0 существует такое N(ε) для всех n>N, всех xεX,что | .Признак Вейерштрасса. Если  – сходится и каждый член функционального ряда не превосходит членов численного ряда |fn(x)|≤an, все n≥n0≥1, то все хεХ,  сходится равномерно на Х.
Ряд С0+С1Х+С2Х2+…+СnXn+…  (1) или С0+С1(Х-Х0)+С2(Х-0)2+…+Сn(X-Х0)n+…  (2), где Сi ε R, - называется степенным.Теорема Абеля. Если ряд 1 сходиться в х0≠0, то он абсолютно сходится при всех |x|<|x0|. Если ряд расходится в х1≠0, то он расходится при всех |x|>|x1|. Из теоремы следует, что существует число R>0 такое, что при |x|
Тип 1.  (Д’Аламбера) R=  Признак Коши:  R=  - функция Коши-Адамара.Интервал (-R;R) Тип 2.  , R – такие же. |x-x0| - R=0 - R=∞ R – любое.
В частности для всех хε(-R;R) функция S(x) интегрирована на [0;x], т.е.  Причем полученный ряд имеет тот же R, что и исходный.
y(x) – представим в виде . Т.е. y(x)=, тогдаy’(x)=  y’’(x)=  y’’’(x)=  … yk(x)=  Если х=х0, тогда: у(х0)=С0 С0=у(х0) у’(х0)=1*С1 С1=у’(х0)/1! у’’(х0)=1*2*С2 С2=у’’(х0)/2! …………… ………… уk(х0)=1*2*3*…*k*Сk Сk=уk(х0)/k! Если у(х) имеет в окрестности точки х0 производные любого порядка, то  - называется рядом Тейлора функции у(х).При х=0  - этот ряд называется рядом Маклорена.Любой функции можно сопоставить ряд Тейлора, она может как сходиться, так и расходиться, но не обязательно с у(х). у(х)  .Функция разлагающаяся в ряд Тейлора, сходящийся в некоторой окрестности этой функции называется аналитической в этой окрестности.
f’(x)=f’’(x)=f’’’(x)=ex f(0)=e0=1 f’(0)=f’’(0)=f’’’(0)=e0=1 ex=1+  R= 
f’(x)=cosx f’’(x)=-sinx f’’’(x)=-cosx f’’’’(x)=sinx … f(0)=0; f’(0)=1; f’’(0)=0; f’’’(0)=-1; f’’’’(0)=0… sinx=  R=  сходится при всех хεR
f’(x)=-sinx f’’(x)=-cosx f’’’(x)=sinx … cosx=1  R= сходится при всех хεR
   …  f(0)=1 f’(0)=α f’’(0)=α(α-1) f’’’(0)=α(α-1) (α-2) … fk(0)=α(α-1)…(α-k+1) …  Rсх. = 1, т.е. ряд сходится при х=±1, сходимость зависит от α. Если α=m, то начиная с n=m+1 все f(x)=0. 1-x+x2-x3+x4-…+(-1)nxn+… при |x|<1 ряд равен:     R=1 сходится при х=±1
Случайным событием называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти. Испытание – это выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат. Событие – это возможный исход, результат испытания. События А и В называются равносильными, если одновременно А влечет В и В влечет А. (АсВ; ВсА). События называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление любого другого. События называются достоверными, если в результате испытания оно обязательно должно произойти. События называются невозможным, если в результате испытания оно вообще не может произойти. События называются равновозможными, если в результате испытания по условиям симметрии ни одно из этих событий не является объективно более возможным. События называются единственно возможными, если в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одна из них. События образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания. (Обязательно должно произойти одно и только одно из событий) Противоположными событиями называются два несовместных события, одно из которых должно обязательно произойти. (А и  ).
Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности наступления события. Элементарными исходами (случаями) называются исходы некоторого испытания, образующие полную группу и являющиеся равновозможными. Таким образом испытание сводится к схеме случаев. Случай называется благоприятствующим, если его появление влечет за собой появление события А. Классическое определение: Вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев.  Свойства вероятности события:
Статистическое определение: Статистической вероятностью события А называется частота появления этого события в n произведенных испытаниях.  Статистическая вероятность является опытной, экспериментальной характеристикой. Она применима только к событиям, обладающим следующими свойствами:
Правило суммы. Если элемент А1 может быть выбран n1, элемент А2 – другими n2 способами, А3 – отличными от первых двух n3 способами и т.д., Аk – nk способами отличных от первых (k-1), то выбор одного из элементов: или А1, или А2, …, или Аk может быть осуществлен n1+n2+…+nk способами. Правило произведения. Если элемент А1 может быть выбран n1, после каждого такого выбора элемент А2 – другими n2 способами и т.д., после каждого (k-1) выбора элемент Аk может быть выбран nk способами, то выбор одного всех элементов А1, А2, …, Аk в указанном порядке может быть осуществлен n1n2…nk способами. Пусть дано множество из n различных элементов, из него могут быть образованы множества из m элементов. (0≤m≤n). Размещениями из n элементов по m называются комбинации, составленные из n элементов по m отличающиеся либо составом, либо порядком расположения.  Сочетаниями называются комбинации, составленные из n элементов по m, отличающиеся только составом элементов.  Перестановками называются комбинации, составленные из n элементов, отличающиеся только порядком расположения этих элементов. Pn=n!
Если к комплексу условий, при котором изучалась вероятность Р(В), добавить новее условие А, то полученная вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается РА(В) или Р(В/А). Теорема умножения вероятностей: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло. Р(АВ)=Р(А)РА(В)=Р(В)РВ(А). Событие В называется независимым от события А, если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет. РА(В)=P(В). Зависимость и независимость событий всегда взаимны. Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности наступления другого.
А) Теорема. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В+..+К)=Р(А)+Р(В)+…Р(К) Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице: Р(А)+Р(В)+…Р(К)=1. Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Р(А)+Р( )=1Б) (Для совместных событий) Теоремы. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). В случае трех и более совместных событий переходим к противоположному событию L: L=  , т.е. вероятность суммы нескольких совместных событий равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событий.
Теорема. Если событие F может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) А1,А2,…Аn, образующих полную группу, то вероятность события F равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события F:  Если событие F, которое может появиться только с одной из гипотез А1,А2,…Аn, произошло и необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез Р(А1), Р(А2), … Р(Аn), известных до испытания, т.е. надо найти апостериорные условные вероятности гипотез РF(А1), РF(А2), … РF(Аn). Их можно найти с помощью формулы Байеса: 
Последовательность независимых испытаний называется схемой Бернули: если вероятность наступления события А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Если независимые повторные испытания проводятся при одном и том же комплексе условий, то вероятность наступления события А в каждом испытании одна и также. Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность Рm,n того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях, равна:  , где q=1-p.Число всех комбинаций равно  . Вероятность каждой такой комбинации по теореме умножения для независимых событий равна  . В связи с тем, что комбинации между собой несовместны, получим  .Число m0 наступления события А в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого события Рm,n по крайней мере не меньше вероятностей других событий Рm,n при любом m.  np-q≤m0≤np+q
Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании стремится к нулю (р→0) при неограниченном увеличении числа n испытаний (n→∞), причем произведение np стремится к постоянному числу λ (np→λ), то вероятность Pm,n того, что событие А появится m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству:  .При условии что р→0, n→∞, а λ= np≤10 из предельного равенства вытекает приближенная формула Пуассона:  .
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Рm,n того, что событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна:  Свойства:
 Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b, при достаточно большом числе n приближенно равна:  Свойства:
Случайная величина это переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений. Случайной величиной Х называется функция, заданная на множестве элементарных исходов:  Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечное, или бесконечное, но счетное. Под непрерывной случайной величиной будем понимать величину, бесконечное множество значений которой есть некоторый интервал числовой оси. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Для дискретной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически или графически. Таблица вида:
Х: или  называется рядом распределения дискретной случайной величины. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина.
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая для каждого ч вероятность того, что случайная величина Ч примет значение, меньшее х. F(x)=P(X Свойства:
Плотностью вероятности  непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения:  .Свойства:
Математическим ожиданием, или средним значением, М(Х) дискретной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности.  Если дискретная случайная величина Х принимает бесконечное, но счетное множество значений ч, то математическим ожиданием называется сумма ряда:  Свойства:
Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания: D(X)=M[X-M(X)]2 или D(X)=M(X-a)2. Если случайная величина Х – дискретная с конечным числом значений, то  .Если случайная величина Х – дискретная с бесконечным, но счетным множеством значений, то  .Средним квадратичным отклонением  случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из дисперсии:  .Свойства дисперсии:
|
тоже сходится и его сумма 
S.
и его сумма равна S1±S2
- геометрический ряд: 
нечетная, т.е. 
.
.
.