ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ И КОДИРОВАНИЯ. Воронежский институт мвд россии кафедра высшей математики
 Скачать 1.43 Mb.
|
|
out Ψ 0 P 12 сводится к действию оператором CNOT на входные кубиты Ψ out = P 12 Ψ in = α|00i + β|11i, и на выходе мы получаем запутанное состояние (забит). Матрица плотности выходного забита дается выражением ρ out = Ψ out Ψ out Редуцированные матрицы плотности выходных кубитов имеют вид ρ out 1,2 = α 2 |0ih0| + β 2 |1ih1|. На выходе квантовой клонирующей машины получено два одинаковых состояния. Необходимо определить, насколько отличаются выходные состояния от состояния входного кубита |ψ 0 i. Сравнивая матрицы плотности исходного ρ 0 = |ψ 0 ihψ 0 | = α 2 |0ih0| + αβ|0ih1| + αβ|1ih0| + β|1ih1| и выходного ρ out = α 2 |0ih0| + β 2 |1ih1| кубитов, нетрудно видеть, что оператор плотности выходного состояния выражается через оператор плотности входа следующим образом: ρ out 1,2 = 1 2 ρ in 0 + 1 2 ρ in 3 Здесь ρ 3 = |ψ 3 ihψ 3 | = α 2 |0ih0| − αβ|0ih1| − αβ|1ih0| + β|1ih1|, |ψ 3 i = σ 3 |ψ 0 i = α|0i − β|1i. Глядя на это выражение можно сделать предположение, что выходное состояние на 50% совпадает с входным и имеет 50% примеси. Однако более детальное рассмотрение приводит к другому выводу. Действительно, скалярное произведение hψ 0 | ψ 3 i = α 2 − β 2 6= 0, 238 Глава 4. Квантовая информация т.е. состояния не ортогональны, а это означает, что волновые функции |ψ 0 i и |ψ 3 i перекрываются и часть информации относительно |ψ 0 i содержится в матрице плотности ρ in 3 . Поэтому для вычисления степени перекрытия волновых состояний вводится понятие точности копирования F = hψ 0 |ρ out 1,2 |ψ 0 i = α 4 + β 4 Из последнего выражения видно, что точность клонирования зависит от исходного состояния оригинала, а значит полученная квантовая клонирующая машина не является универсальной. Она не сможет клонировать любые, наперед неизвестные, состояния с одинаковой точностью. Усредняя точность F по всем состояниям, получим: − F = 1 2π Z 2π 0 F dθ = 1 2π Z 2π 0 (cos 4 θ + sin 4 θ)dθ = 3 4 Пример 4.26. На вход квантовой клонирующей машины подается два кубита |ψ 0 i = α|0i + β|1i |ψ 1 i = R π 6 |0i = 1 2 |0i + √ 3 2 |1i). Найти редуцированные матрицы плотности выходных кубитов и определить среднюю точность клонирования. Решение. На вход квантовой клонирующей машины подается состояние Ψ in = |ψ 0 i|ψ 1 i = α 1 2 |00i + α √ 3 2 |01i + β 1 2 |10i + β √ 3 2 |11i. Действуя на входное состояние |Ψ in i оператором CNOT, получим Ψ out = P 12 Ψ in = α 1 2 |00i + α √ 3 2 |01i + β 1 2 |11i + β √ 3 2 |10i Редуцированные матрицы плотности выходных кубитов имеют вид ρ out 1 = α 2 |0ih0| + √ 3 2 αβ ( |0ih1| + |1ih0|) + β 2 |1ih1| ρ out 2 = 1 4 (α 2 + 3β 2 ) |0ih0| + (α 2 + β 2 ) √ 3 4 ( |0ih1| + |1ih0|) + 1 4 (3α 2 + β 2 ) |1ih1| Найдем точность клонирования F 1 = hψ 0 |ρ out 1 |ψ 0 i = α 4 + β 4 + √ 3αβ F 2 = hψ 0 |ρ out 2 |ψ 0 i = 1 4 α 4 + 1 4 β 4 + 3 2 α 2 β 2 + √ 3 2 αβ Усредняя точность F по всем состояниям, получим: − F 1 = 1 2π R 2π 0 F 1 dθ = 1 2π R 2π 0 1 4 cos 4 θ + 1 4 sin 4 θ + √ 3 2 cos θ · sin θ dθ = 3 4 − F 2 = 1 2π R 2π 0 F 2 dθ = 1 2π R 2π 0 1 4 cos 4 θ + 1 4 sin 4 θ + 3 2 cos 2 θ · sin 2 θ + √ 3 2 cos θ · sin θ dθ = 3 8 4.8. Клонирование квантовой информации 239 Задача 4.14. На вход квантовой клонирующей машины подается два кубита |ψ 0 i и |ψ 1 i Найти редуцированные матрицы плотности выходных кубитов и определить среднюю точность клонирования. 1. |ψ 0 i = α|0i + β|1i, |ψ 1 i = R π 4 |0i; 2. |ψ 0 i = α|0i + β|1i, |ψ 1 i = R π 3 |0i; 3. |ψ 0 i = α|0i + β|1i, |ψ 1 i = R π 2 |0i; 4. |ψ 0 i = α|0i + β|1i, |ψ 1 i = cos φ|0i + sin φ|1i. [1, 14] Литература [1] Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования. М.:Мир, 1971 -480 c. [2] Блум K. Теория матрицы плотности и ее приложения. М.:Мир. -248 c. [3] Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. М.:Наука, 1969. - 368 с. [4] Влэдуц С.Г., Ногин Д.Ю., Цфасман М.А. Алгеброгеометрические коды. Основные понятия. М.:МЦНМО, 2003. - 504 с. [5] Галлагер Р. Теория информации и надежная связь. М.:Советское радио, 1974. -720 с. [6] Гоппа В.Д. Введение в алгебраическую теорию информации. М.:Физматлит, 1995. -112 с. [7] Думачев В.Н. Модели и алгоритмы квантовой информации. Воронеж: ВИ МВД России, 2009. - 232 с. [8] Кострикин А.И. Основные структуры алгебры. М.:Наука, 2000. - 272 с. [9] Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы применение. М.:Техносфера, 2005. - 320 с. [10] Самсонов Б.Б, Плохов Е.М., Филоненков А.И. Компьютерная информатика. РнД:Феникс, 2002. - 512 с. [11] Свешников А.А. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. М.:Наука, 1970. - 448 с. [12] Ash Robert B. Information theory. NY: Interscience, 1965. - 348 p. [13] Blahut Richard E. Algebraic Codes for Data Transmission. NY:Cambridge Univ.Press, 2003. - 498 p. [14] Massey James L. Shift-Register Synthesis and SCH Decoding. IEEE Trans. Information theory. 1969, V.15, N1, P.122-127. Interscience, 1965. - 348 p. [15] Wootters W.K. and Zurek W.H. A Single Quantum Cannot be Cloned, Nature, 1982, V.299, pp. 802-803. 241 Владислав Николаевич Думачев ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ И КОДИРОВАНИЯ Подписано в печать 26.12.2011 г. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс новая. Печать офсетная. Усл.-печ.л. 11,62. Тираж 100 экз. Заказ № 330 Издательство Воронежского института МВД России 394065, Воронеж, просп. Патриотов, 53 Типография Воронежского института МВД России 394065, Воронеж, просп. Патриотов, 53. |