Литературный обзор. Возникновение и схлопывание финансовых пузырей

Название	Возникновение и схлопывание финансовых пузырей
Дата	10.05.2023
Размер	34.41 Kb.
Формат файла
Имя файла	Литературный обзор.docx
Тип	Документы #1119686

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

«Самарский государственный экономический университет»

Институт национальной и мировой экономики

Кафедра региональной экономики и управления

Литературный обзор на тему

«Возникновение и схлопывание финансовых пузырей»

Выполнил

студент группы ЭиУП22о1

Уразов В.А.

Самара 2022

Первые тесты на выявление пузырей в ценах акций были разработаны в 80-х годах прошлого века. Первым тестом на выявление пузырей был так называемый тест на границу дисперсии (variance bounds test). Идея данного теста заключается в сравнении дисперсии фактически наблюдаемых цен и дисперсии цен, рассчитанных при помощи модели приведённой стоимости. Данный тест был предложен в работе Шиллера (Shiller, 1981) в 1981 году для оценки реалистичности модели приведённой стоимости. В своём исследовании Шиллер показывает, что, при условии выполнения гипотезы рациональных ожиданий, рассчитанная на основе известных дивидендов ex post цена должна быть не менее волатильна, чем фактически наблюдаемая цена. Это связано с тем, что в формуле расчёта ex post цены содержатся значения ожидаемых дивидендов и ошибок прогноза, а в формуле наблюдаемой цены - только ожидаемые дивиденды. Для расчета ex post цены Шиллер пользуется известными значениями дивидендов за наблюдаемый период времени и терминальной стоимостью акции, в качестве которой использует среднюю цену за период. Он применяет свой метод на индексе S&P с 1871 года по 1980 год Данная выборка будет использоваться многими исследователями в последующих работах. и отмечает, что фактически наблюдаемые значения индекса более волатильны, чем значения, рассчитанные при помощи модели приведённой стоимости. Хотя автор из этого делает вывод только о несправедливости модели приведённой стоимости, в более поздних работах этот результат интерпретируется как присутствие пузырь составляющей в цене.

У рассмотренного способа выявления пузырей есть существенные недостатки. Во-первых, он не предполагает возможность проверки статистической значимости результатов. Во-вторых, применение данного метода затруднительно, так как величина дивидендов на бесконечном отрезке времени является неизвестной. А применение терминальной стоимости акции, как отмечает в своей работе Гюркайнак (Gьrkaynak, 2008), приводит к смещению оценки теста при относительно небольших выборках. Ну и в-третьих, как было замечено выше, в общем случае этот тест является тестом на адекватность модели приведённой стоимости. Поэтому нарушение границ дисперсии может свидетельствовать не о наличие пузыря, а о неправильной спецификации модели приведённой стоимости или о неправильности допущений, использованных в её построении.

Эти недостатки были частично учтены в следующем тесте, который был предложен Вестом (West, 1986). Данный способ позволяет статистически тестировать две отдельные гипотезы: о правильной спецификации модели и об отсутствии пузырей. Вест отмечает, что при отсутствии пузыря можно использовать уравнение Эйлера, определяющее условие отсутствия арбитража на рынке, для оценки величины дисконтирования. Функцию, описывающую изменение дивидендов во времени, можно получить, оценив авторегрессионную модель. Если модель окажется адекватной, то цену можно будет представить как некий коэффициент в умноженную на дивиденды. Вест показывает, что в можно рассчитать вручную, используя оценённую ставку дисконтирования и функцию дивидендов. Также в можно получить, оценив регрессию зависимости наблюдаемых цен от дивидендов. Далее тестируется гипотеза о равенстве расчетного и оценённого коэффициента в. Если они равны, делается вывод об отсутствии пузыря в цене акции. Вест использует разработанный тест на той же выборке, что и Шиллер (Shiller, 1981) и получает подтверждение гипотезы о наличии пузыря в ценах акций, входящих в индекс S&P. Гюркайнак (Gьrkaynak, 2008) в качестве недостатка модели указывает, что в ней будущие дивидендные потоки определяются только прошлыми, хотя на практике инвесторы принимают во внимание и множество других факторов. Он также отмечает, что данный тест будет выявлять только такие пузыри, которые коррелируют с дивидендами, так как в этом случае оцененный коэффициент в будет отличаться от расчётной.

Диба и Гроссман в своей работе (Diba, Grossman, 1988a) предлагают использовать тесты на стационарность временного ряда цен и дивидендов для выявления пузырей. В свою модель они также включают ненаблюдаемую переменную, определяющую фундаментальную цену актива (например, ожидания инвесторов). Они показывают, что если в ценах акций присутствует пузырь, то временной ряд цен не будет стационарным процессом. Также при предположении, что ненаблюдаемая переменная не является более нестационарной, чем дивиденды. Например, если дивиденды стационарны в первых разностях, то ненаблюдаемая переменная должна быть стационарной в значении., при отсутствии пузыря цена должна быть такой же уровни стационарности, что и дивиденды. Если дивиденды стационарны в первых разностях, цена тоже должна быть стационарной в первых разностях. А при предположении о стационарности в значениях ненаблюдаемой переменной, при отсутствии пузыря временной ряд дивидендов и котировок акций должен быть коинтегрированными. Стационарность цен и дивидендов авторы проверяют с помощью теста Дики-Фуллера, а коинтегрированность тестируют методом Бхаргавы (Bhargava ratios). Используя эту методику для тестирования на пузыри в той же выборке, что и Шиллер (Shiller, 1981), они не обнаруживают наличия пузырь составляющей в ценах актива.

Модель Дибы и Гроссмана была подвергнута критике разными исследователями. Гюркайнак (Gьrkaynak, 2008) утверждает, что результат предложенного теста не обязательно указывает на наличие пузыря, а скорее говорит о присутствие чего-то нестационарного в цене актива. Это может быть и пузырь, а может быть и невыполнение предположения о ненаблюдаемой переменной, когда она является более нестационарной, чем дивиденды. Но основное возражение было предложено Эвансом. Он в своём исследовании (Evans, 1991) показывает, что тест Дибы и Гроссмана может уловить только наличие монотонно растущих пузырей, но не справляется с пузырями, которые растут и периодически лопаются до минимальных размеров. Критика Эванса является существенной, так как предложенная модель периодически лопающихся пузырей наиболее приближена к реальности.

Фрут и Обстфельд (Froot, Obstfield, 1989) предложили модель внутреннего пузыря, когда пузырь зависит только от уровня дивидендов. Модель строится в предположении, что логарифм дивидендов () следует процессу случайного блуждания с дрейфом:

Авторы показывают, что в таком случае фундаментальная цена будет линейно зависеть от дивидендов, а пузырь - нелинейно. Следовательно, цена, включающая пузырь составляющую, будет избыточно реагировать на изменение дивидендных выплат. В исследовании разработанная модель тестируется на реальных данных. Фрут и Обстфельд строят регрессию зависимости отношения цены к дивидендам от уровня дивидендов. Обнаружение нелинейной зависимости интерпретируется как наличие внутреннего пузыря. Авторы тестируют данную модель на индексе S&P с 1900 года по 1988 год. В качестве годовых цен они используют январские котировки акций, которые предварительно дефлируют на январский индекс цен производителей (ИЦП), а в качестве значений дивидендов - дивиденды за календарный год, дефлированные на среднегодовое значение индекса потребительских цен (ИПЦ). Результаты исследования показывают наличие существенного пузыря в индексе S&P в конце 1980-х годов. Эмпирическое подтверждение модели получают также Ма и Канас в более поздном исследовании (Ma, Kanas, 2004). Они исследуют более широкую выборку: временной ряд индекса S&P c 1871 года по 1996 год. Их результаты говорят о существовании долгосрочной нелинейной зависимости между ценами и дивидендами. Кроме этого, они сравнивают среднеквадратические ошибки прогноза модели и выясняют, что точность предсказаний цен, полученных моделью внутренних пузырей, существенно выше предсказаний модели случайного блуждания и разработанной на тот момент модели рациональных пузырей.

Но Гюркайнак (Gьrkaynak, 2008) в своей работе указывает на возможный недостаток модели. Он считает, что нелинейная зависимость следует не из-за наличия пузыря, а из-за неучтённых фундаментальных факторов цены. В исследования Акерта и Хантера (Ackert, Hunter, 1999), например, приводится такая же модель, где цена зависит только от фундаментальных факторов. Эти факторы ненаблюдаемы, но известны дивидендные выплаты. Авторы показывают, что эффект дивидендной политики менеджеров на отношение цены к дивидендам идентичен возможному эффекту внутренних пузырей. Таким образом, нелинейную зависимость можно объяснить не наличием внутренних пузырей, а политикой выплаты дивидендов менеджерами компаний.

Все эти вышеперечисленные тесты имеют ряд недостатков, кроме уже упомянутых других исследователей, которые не позволяют их использовать на Российском рынке. Во-первых, для их использования нужно, чтобы компания выплачивала дивиденды. Во-вторых, требуются длинные временные ряды дивидендов и цен акций с одинаковым периодом. Так как российские компании обычно выплачивают дивиденды раз в год, то и ряд цен также должен быть годовым. Но если использовать годовые цены, то временной ряд для одной российской компании в самом оптимальном случае не превысит 25 наблюдений, что крайне мало для проведения теста.

Холл в своей статье (Hall et al., 1999) модернизирует модель Дибы и Гроссмана и предлагает модель переключения режимов для выявления лопающихся пузырей. Он исследует временной ряд котировок на переход от стационарного состояния к состоянию взрывного роста с помощью расширенного теста Дики-Фуллера (ADF тест) В статье Дибы и Гроссмана тестировалось наличие единичного корня, а не взрывного роста.. Вероятность коррекции пузыря предполагается постоянной во времени и следует процессу Маркова первого порядка, когда вероятность события не зависит от прошлого. Если тест выявляет, что в одном режиме временной ряд нестационарен, а в другом стационарен, авторы делают вывод о смене режима и о наличии пузыря в цене актива. Авторы применяют данный тест для выявления пузырей в сформированных временных рядах по методу эксперимента Монте Карло. Результаты показывают хорошую способность теста определять искусственно сформированные пузыри, но авторы не тестируют данный метод на реальных ценах акций. Вместо этого они исследуют потребительские цены Аргентины периода 1983-1989 гг. на наличие в них рациональных пузырей. Авторы анализируют временные ряды потребительских цен, денежной базы и валютного курса Аргентины. Делается вывод о наличии пузыря, если тест обнаруживает смену режима только во временных рядах потребительских цен. А если смена режима происходит одновременно во всех трёх временных рядах, делается вывод, что рост цен вызван фундаментальными факторами. В итоге они обнаруживают, что гиперинфляция 1989 года была вызвана фундаментальными факторами, а 1988 года - возможным наличием пузыря в потребительских ценах.

Обобщение описанного выше теста предлагается в работе Адама Чека (Check, 2014). Он использует меняющиеся во времени параметры (time-varying parameters) в модели Холла, чтобы модель позволяла тестировать наличие множественных пузырей с разными темпами роста. Данное обобщение может быть полезным в случае, если, например, во временных рядах присутствует два больших пузыря с высокими темпами роста, и один маленький пузырь с низким темпом роста. Стандартный тест Холла не смог бы выявить третий пузырь, так как он, при сравнении с двумя другими пузырями, был бы больше похож на стационарный процесс. В обобщённом же тесте коэффициенты модели будут разными для трёх пузырей: высокими для первых двух, и низким, но показывающими взрывной рост, для третьего пузыря. Предложенная модель тестируется только на сформированных временных рядах эксперимента Монте Карло, содержащих пузыри по типу Эванса (Evans, 1991). Результаты показывают, что обобщённый тест имеет приблизительно такую же силу при выявлении пузырей Эванса, что и стандартный тест. Этот факт, по нашему мнению, ставит под сомнение сравнительную эффективность обобщённого теста, но для более полной уверенности нужны дальнейшие исследования на реальных данных.

Однако тесты на переключение режимов не рекомендуется использовать для выявления пузырей на Российском рынке, так как для таких тестов требуются длинные временные ряды (Тихонов, Чиркова, 2014, стр. 37). Кроме этого, эти тесты позволяют тестировать только те пузыри, которые уже прошли через этап коррекции. Следовательно, их нельзя использовать для выявления существующих пузырей, что является одной из задач настоящего исследования.

Выявлять наличие пузыря, анализируя динамику движения цены, впервые было предложено Сорнеттом (Sornette, 2003). Он предлагает определять пузырь как рост цены актива, когда динамику цены можно описать уравнением так называемого закона лог-периодической силы (log-periodic power law).

Если цены акций можно описать данным уравнением с достаточной статистической уверенностью, то это явно будет указывать на нестабильный процесс в цене, то есть на пузырь. В соавторстве с другими исследователями он использует данный метод для выявления пузырей в ценах акций в режиме реального времени (Woodard et al., 2011). Они исследуют тысячи временных рядов для выявления в них пузыря. При выявлении пузыря исследователи составляют отчёт и загружают его на домен http://arxiv.org, где фиксируется дата загрузки файла. Отчёт делается доступным для чтения только по прошествии периода предсказания схлопывания пузыря, чтобы предотвратить спекуляции. В итоге примерно за три года исследования Первый отчёт был опубликован 2 ноября 2009 года в ценах 24-х из 27-и предсказанных акций обнаруживается пузырь, а также в ценах 17-и из 25-и акций происходят заметные коррекции в пределах предсказанного временного окна.

Недостатком данного способа определения пузыря является сложность оценки параметров предложенного уравнения. В уравнении семь параметров, следовательно, для адекватной оценки этих параметров нужны длинные временные ряды, что существенно осложняет её применение на Российском рынке. Кроме этого, данное уравнение описывает процесс развития пузыря, но тогда встаёт вопрос об определении начала этого процесса. Сорнетт в своей работе не предлагает способа определения момента, когда начинает зарождаться пузырь и начинает действовать этот закон лог-периодической силы.

Первый способ выявления момента развития пузыря в цене актива ещё до того, как этот пузырь лопнет. Так утверждается в статье Watanabe et al., 2007, предлагается в работе Ватанабе (Watanabe et al., 2007). Он в своём исследовании отталкивается от работы Сорнетта (Sornette, 2003) и предлагает определять пузырь по взрывному росту цены. Ватанабе вводит следующую формулу

и оценивает её параметры методом наименьших квадратов для акций YHOO, SUNW и CSCO в период интернет-бума 2000-х годов. Вначале уравнение оценивается для подвыборки наблюдений цен размером Т_i. Затем эта подвыборка временных рядов смещается на одно значение вправо и заново оценивается то же уравнение. Если, автор делает вывод, что цена либо экспоненциально растёт, либо экспоненциально падает. Это даёт основания полагать, что в цене образовался пузырь, так как по мере прохождения времени скорость роста или падения цены увеличивается. Если, то цена следует процессу случайного блуждания, а если - цена сходится к значению

Стоит отметить, что, несмотря на простоту в использовании и способность определять момент появления пузыря, у данного теста есть один недостаток. Дело в том, что цена не будет стационарным процессом, и поэтому нельзя пользоваться обычной t-статистикой для проверки гипотез. Поэтому в данной работе при применении данного теста мы будем пользоваться ADF-статистикой.

В недавних статьях Филлипса (Phillips et al., 2011, 2015) предлагается для тестирования пузырей использовать разработанный им супремум ADF тест (SADF тест) и обобщённый супремум ADF тест (GSADF тест). Первый тест он предлагает использовать для выявления лопающихся единичных пузырей, а второй для множественных пузырей (multiple bubbles). Идея этих тестов базируется на предположении, что взрывной рост цен является показателем наличия пузырь составляющей в цене актива. Тестируется нулевая гипотеза о единичном корне против альтернативной гипотезы о взрывном росте цен. Данный тест является односторонним, то есть рассчитанные статистики сравниваются только с верхними критическими значениями распределения Дики-Фуллера. При SADF тесте простой ADF тест повторяется множество раз на расширяющейся на один период подвыборке основной выборки. При GSADF эта процедура дополняется изменением самой подвыборки, то есть подвыборка смещается на один период вперёд и заново проделывается SADF тест. Филлипс проводит и эмпирическое исследование с помощью разработанного SADF теста (Phillips et al., 2011) и GSADF теста (Phillips et al., 2015). С помощью первого теста он анализирует реальные (дефлированные с помощью индекса потребительских цен) месячные котировки индекса NASDAQ, за период с февраля 1973 года по июнь 2005 года. Всего 389 наблюдений. Применение обычного ADF теста не выявляет наличие пузыря, а примение SADF теста показывает его присутствие в период с середины 1995 года по начало 2001 года на 1%-ном уровне значимости. Методология же GSADF теста применяется для более широкой выборки: Филлипс анализирует индекс S&P для периода с января 1871 года по декабрь 2010 года. Он показывает, что предложенный тест верно определяет все известные исторические случаи взрывного роста и краха, включая период великой депрессии, послевоенный бум 1954-го, чёрный понедельник октября 1987-го года и пузырь доткомов.

Неоспоримым преимуществом предложенных тестов является возможность выявления даты начала пузыря. Начальной датой пузыря предлагается считать тот момент, когда рассчитанная ADF-статистика для последнего включённого наблюдения оказывается выше критического значения, полученного методом Монте Карло. Ещё одним преимуществом является способность выявить эту дату по мере роста пузыря, не дожидаясь его коррекции. Кроме этого, как отмечают Тихонов и Чиркова в своём исследовании для проведения SADF теста нет необходимости в использовании длинных временных рядов, и не требуется статистика по дивидендам. Последнее преимущество можно отнести и к GSADF тесту.

Тест на строгий локальный мартингал является, пожалуй, самым новым тестом на наличие пузыря, который был в полной мере разработан только в начале 2010 года. Данный тест впервые был предложен в работе Джерроу (Jarrow et al, 2011). В статье показывается, что если процесс цены является строгим локальным мартингалом, то можно утверждать о наличии пузыря. При исследовании на мартингал, авторы используют теорему, что процесс является строгим локальным мартингалом если и только если:

Следовательно, задача сводится к исследованию асимптотической волатильности цены: если волатильность цены актива достаточно высока, то можно утверждать о присутствии пузыря. Для экстраполяции функции волатильности на всю положительную ось, предлагается использовать либо параметрические функции, либо метод порождающих пространств Кернела Хилберта (reproducing Kernel Hilbert spaces), при этом последнему отдаётся предпочтение. Разработанная методология используется для тестирования четырёх акций на наличие в их ценах пузыря во время бума доткомов 1998-2001 гг. Авторы используют тиковые данные по ценам акций. Их результаты показывают, что использование разработанного метода может дать однозначный ответ на наличие или отсутствие пузыря в большинстве случаев.

Данный метод используется и в недавней работе Обаяши (Obayashi et al., 2015), посвящённому исследованию жизненных циклов пузырей. Авторы замечают, что разработанный метод иногда даёт ложные сигналы, поэтому они дополняют его использованием скрытой модели Маркова (a Hidden Markov Model) и 5%-го фильтра. Последнее дополнение означает, что фиксируется рождение (конец) пузыря, когда цена растёт (падает) на 5% после получения сигнала о достаточно высокой волатильности цены. Используя данную процедуру для тиковых цен с 5-и минутным интервалом для 3000 акций, авторы выявляют в сумме 13 060 пузырей для периода с 2000 года по 2013 год, что в среднем даёт 4 пузыря на акцию за 13 лет наблюдений.

Отличительной особенностью теста на строгий локальный мартингал является то, что его можно использовать для выявления очень непродолжительных пузырей при наличии тиковых данных по ценам. Например, в работе Проттера (Protter, 2013) с помощью данного метода исследуется наличие пузыря в акции LinkedIn для четырёхдневного Рабочие дни. периода: с 19 по 24 мая 2011 года. Там же проводится исследование цены золота с 25 августа по 1 сентября 2011 года на наличие пузырей с использованием ежесекундных тиковых цен. Но у данной особенности есть и недостатки. Например, при применении данного метода на Российском рынке для выборки с 2000 года возникнут трудности с получением тиковых данных по ценам. Во-первых, тиковых данных такой давности нет в открытом доступе. Во-вторых, на Российском рынке акций 2000-го года существовало малое количество ликвидных акций с достаточным количеством тиковых данных за день, чтобы по ним можно было оценить дневную волатильность.

На данный момент существует очень мало исследований Российского рынка акций на наличие пузырей. Это связано с тем, что эконометрический аппарат, позволяющий выявлять пузыри без использования дивидендов и длинных временных рядов, был разработан только в конце 2000-х - начале 2010-х гг. С тех пор было опубликовано два исследования, посвящённых рынку акций, в которых использовались последние предложенные методы тестирования.

В исследовании Тихонова и Чирковой тестируется наличие пузыря на Российском рынке акций телекоммуникационных компаний в конце 1990-х годов, когда подобный пузырь был зафиксирован на рынке NASDAQ. Работа основана на использовании метода SADF для выявления взрывного процесса в дневных ценах акций десяти Российских телекоммуникационных компаний и в построенном индексе телекомов. Авторы предварительно дефлируют цены, используя месячные данные по инфляции и предполагая, что дневная инфляция была одинаковой внутри месяца. Результаты проведённого исследования не отвергают гипотезу о наличии пузыря в ценах акций Российских телекоммуникационных компаний и в построенном индексе телекомов.

В работе Чанга и Гупты (Chang, Gupta, 2014) исследуется рынки акций стран БРИКС на наличие множественных пузырей. Авторы для тестирования используют метод GSADF. Их метод основан на тестировании временных рядов отношений цены к дивидендам для выявления в них взрывного поведения. В исследовании не указано, какие акции, или какой индекс тестируется. Предполагается, что авторы тестируют индекс РТС. Чанг и Гупта используют месячные данные для периода с сентября 1997 года по февраль 2013 года. Результаты исследования показывают, что на рынке акций России был пузырь во время ипотечного кризиса, как и в остальных странах БРИКС. Кроме этого, авторы обнаруживают наличие пузыря в середине 2005 года. В 2005 году акции выросли на 83%, и за первые два месяца 2006 года прирост составил 30,5% по сравнению с остальными зарубежными рынками. Этот рост объясняется притоком иностранных инвестиций и нефтедолларов (Chang, Gupta, 2014, p. 10).

Методология отмеченных выше исследований отличается тем, что Тихонов и Чиркова (Тихонов, Чиркова, 2014) исследуют на взрывной рост цены акций, а Чанг и Гупта (Chang, Gupta, 2014) исследуют взрывной рост месячных обратных дивидендных доходностей (цена/дивиденды). На наш взгляд, метод Тихонова и Чирковой более правильный и лучше подходит для Российского рынка. Во-первых, не все Российские компании регулярно выплачивают дивиденды, следовательно, не всегда есть возможность рассчитать обратную дивидендную доходность. Во-вторых, метод Чанга и Гупты (Chang, Gupta, 2014) чрезвычайно чувствителен к изменению дивидендов. Если дивиденды на акцию будут близки к нулю, то месячная обратная дивидендная доходность будет стремиться к бесконечности. Её значение почти не изменится, даже если в течение года цена будет очень волатильной. Следовательно, использование месячных данных по ценам и годовых данных по дивидендам приводит к ещё большей чувствительности к изменению дивидендов. Но использовать данные по дивидендам с большей периодичностью. Например, полугодовые, квартальные или месячные. невозможно, так как Российские компании выплачивают дивиденды только раз в год. С учётом названных выше особенностей, мы будем исследовать на взрывной рост только цены акций.

На основе обзора литературы, было выделено четыре условных вида тестов: ранние тесты, тесты на переключение режимов, тесты на взрывной рост и тесты на строгий локальный мартингал. Было показано, что для достижения цели нашего исследования лучше всего подходят тесты на взрывной рост, а именно три их типа: тест Ватанабе, SADF и GSADF. Обзор исследований Российского рынка акций показал, что на данный момент существует очень мало работ, которые бы исследовали пузыри на этом рынке. На основе обзора данных работ было выявлено и обосновано, что для обнаружения пузыря необходимо исследовать месячные цены акций на взрывной рост.

Список использованных источников

Ackert L. F., Hunter W. C. Intrinsic Bubbles: the Case of Stock Prices: Comment, the American Economics Review. - 1999.
Chang T., Gupta R. Testing for Multiple Bubbles in the BRICS Stock Markets”. - 2014. - №. 201407.
Check A. A New Test for Asset Bubbles //Working Paper. - 2014.
Diba B. T., Grossman H. I. Explosive rational bubbles in stock prices? //The American Economic Review. - 1988. - Т. 78. - №. 3. - С. 520-530.
Diba B. T., Grossman H. I. The theory of rational bubbles in stock prices //The Economic Journal. - 1988. - Т. 98. - №. 392. - С. 746-754.
Evans G. W. Pitfalls in testing for explosive bubbles in asset prices //The American Economic Review. - 1991. - Т. 81. - №. 4. - С. 922-930.
Froot K. A., Obstfeld M. Intrinsic bubbles: The case of stock prices. - National Bureau of Economic Research, 1989. - №. w3091.
Gьrkaynak R. S. Econometric tests of asset price bubbles: taking stock //Journal of Economic Surveys. - 2008. - Т. 22. - №. 1. - С. 166-186.
Hall S. G. et al. Detecting periodically collapsing bubbles: a Markov-switching unit root test //Journal of Applied Econometrics. - 1999. - Т. 14. - №. 2. - С. 143-154.
Homm U., Breitung J. Testing for speculative bubbles in stock markets: a comparison of alternative methods //Journal of Financial Econometrics. - 2012. - Т. 10. - №. 1. - С. 198-231.
Jarrow R., Kchia Y., Protter P. How to detect an asset bubble //SIAM Journal on Financial Mathematics. - 2011. - Т. 2. - №. 1. - С. 839-865.
Ma Y., Kanas A. Intrinsic bubbles revisited: Evidence from nonlinear cointegration and forecasting //Journal of Forecasting. - 2004. - Т. 23. - №. 4. - С. 237-250.
Obayashi Y., Protter P., Yang S. The Lifetime of a Financial Bubble //Available at SSRN 2618486. - 2015.
Phillips P. C. B., Wu Y., Yu J. Explosive Behavior In The 1990S Nasdaq: When Did Exuberance Escalate Asset Values?* //International economic review. - 2011. - Т. 52. - №. 1. - С. 201-226.
Phillips P. C. B., Shi S., Yu J. Testing for multiple bubbles: historical episodes of exuberance and collapse in the S&P 500 //International Economic Review. - 2015. - Т. 56. - №. 4. - С. 1043-1078.
Protter P. A mathematical theory of financial bubbles //Paris-Princeton Lectures on Mathematical Finance 2013. - Springer International Publishing, 2013. - С. 1-108.
Shiller R. J. The use of volatility measures in assessing market efficiency //The Journal of Finance. - 1981. - Т. 36. - №. 2. - С. 291-304.
Sornette D. Critical market crashes //Physics Reports. - 2003. - Т. 378. - №. 1. - С. 1-98.
Watanabe K., Takayasu H., Takayasu M. A mathematical definition of the financial bubbles and crashes //Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. - 2007. - Т. 383. - №. 1. - С. 120-124.
West K. D. A specification test for speculative bubbles. - 1986.
Woodard R., Sornette D., Berninger J. The Financial Bubble Experiment: Advanced Diagnostics and Forecasts of Bubble Terminations Volume III - Final Analysis - 2011.