Крутые лекции. Сопромат лекции конспект 2009 КАИ-1. Введение и основные понятия Метод сечений для определения внутренних усилий
 Скачать 3.83 Mb.
|
|
Рис.4. Пример расчетной схемы для расчета перемещений. Начало отсчета абсциссы х сечения можно выбирать произвольно, лишь бы формула для М (х) была возможно проще. Отсчитывая х от точки В, получаем для момента в любом сечении балки и Подставляя эти значения в формулу для и интегрируя, чтобы охватить всю длину балки от 0 до l, получаем: Лекция № 34. Теоремы о взаимности работ и Максвелла — Мора. Пользуясь понятием о потенциальной энергии, можно установить следующую зависимость между деформациями в различных сечениях балки. Если к балке, нагруженной силой приложить затем статически силу в сечении 2, то к прогибу точки приложения силы от этой же силы прибавится (Рис.1) прогиб от силы , равный ; первый значок у буквы у указывает точку, для которой вычисляется прогиб; второй — обозначает силу, вызывающую этот прогиб. Рис.1. Расчетная схема к теореме о взаимности работ Полная работа внешних сил составится из трех частей: работы силы на вызванном ею прогибе , т. е. , работы силы на вызванном ею прогибе ее точки приложения , т. е. , наконец, работы силы на прогибе ее точки приложения от силы , т. е. . Таким образом, накопленная в стержне при действии обеих сил энергия будет равна: Это количество энергии деформации зависит лишь от конечных значений сил и прогибов и не зависит от порядка нагружения. Если к балке, загруженной силой , приложить затем силу то, повторив цепь вычислений, получим: Сравнивая оба значения U, получаем: т. е. работа силы (или первой группы сил) на перемещениях, вызванных силой (второй группой сил), равна работе силы на перемещениях, вызванных силой . Это и есть теорема о взаимности работ. Ее можно сформулировать и иначе: работа первой силы () при действии второй () равна работе второй силы при действии первой. Теорема Максвелла—Мора. Прогиб балки в точке приложения сосредоточенной силы Р равен: аналогичное выражение мы имеем и для угла поворота с заменой производной на . Выясним, что представляют собой эти производные. Если на балке расположена какая угодно нагрузка из сосредоточенных сил , , ,..., моментов , ,..., сплошных нагрузок ,..... то момент М(х) в любом сечении такой балки выражается линейной функцией от нагрузок: Рис.2. Частная расчетная модель метода Максвелла — Мора. Коэффициенты , ,..., , …, , ... являются функциями пролета балки, расстояний точек приложения сил и моментов от опор и абсциссы х взятого сечения. Пусть мы отыскиваем прогиб точки приложения силы ; тогда так как , ,..., , ,..., ,..., , ,..., , …, , ... при этом дифференцировании постоянны. Но можно рассматривать как численную величину момента М в любом сечении балки от действия так называемой единичной нагрузки, т. е. силы ; действительно, подставляя в формулу вместо его частное значение, единицу, и приравнивая все остальные нагрузки нулю, получаем . Например, для балки, изображенной на Рис2, а, изгибающий момент равен: Производная ; но это как раз и будет выражение изгибающего момента нашей балки, если мы ее нагрузим силой 1, приложенной в той же точке В, где расположена сила Р (Рис.2, б), и направленной в ту же сторону. Аналогично, производная изгибающего момента М (х) по паре сил численно представляет собой изгибающий момент от пары с моментом, равным единице, приложенной в том же сечении, где имеется пара , и направленной в ту же сторону. Таким образом, вычисление производных изгибающего момента можно заменить вычислением изгибающих моментов от единичной нагрузки. Эти моменты мы будем обозначать буквой . Таким образом, для отыскания перемещения (прогиба или угла поворота) любого сечения балки, вне зависимости от того, приложена или не приложена в этом сечении соответствующая сила, необходимо найти выражение для изгибающего момента М от заданной нагрузки и момента от соответствующей единичной нагрузки, приложенной в сечении, где ищем перемещение ; тогда это перемещение выразится формулой Эта формула была предложена Максвеллом в 1864 г. и введена в практику расчета О. Мором в 1874 г. Если мы в полученном выражении под подразумеваем прогиб, то момент надо вычислять от сосредоточенной единичной силы, приложенной в той точке, где мы отыскиваем прогиб; при вычислении же угла поворота в качестве единичной нагрузки прикладывается пара сил с моментом, равным единице. Для примера рис.2 имеем:
Знак плюс означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной нагрузки, знак минус — наоборот. Если при определении изгибающих моментов придется делить балку на участки, то соответственно и интеграл в формуле распадется на сумму интегралов. Сравнивая формулу Кастильяно с формулой Мора, нетрудно заметить, что они отличаются лишь одним множителем. В теореме Кастильяно или , в теореме Мора . Следовательно, производная от изгибающего момента по обобщенной силе — это то же самое, что изгибающий момент от силы . Метод Верещагина. Способ Максвелла — Мора в значительной степени вытеснил на практике непосредственное применение теоремы Кастильяно. В справочниках обычно приводятся таблицы интегралов для наиболее часто встречающихся типов нагрузки. Наш соотечественник А. Н. Верещагин в 1924 г. предложил упрощение вычислений. Так как единичной нагрузкой бывает обычно либо сосредоточенная сила, либо пара сил, то эпюра оказывается ограниченной прямыми линиями. Тогда вычисление при любом очертании эпюры М можно произвести следующим образом. Пусть эпюра М (Рис.3) имеет криволинейное очертание, а эпюра — прямолинейное. Произведение Mdx можно рассматривать, как элемент площади эпюры М, заштрихованный на чертеже. Так как ордината равна , то произведение , а весь интеграл представляет собой статический момент площади эпюры М относительно точки А, умноженный на . Рис.3. Расчетная модель метода Верещагина. Но этот статический момент равен всей площади эпюры М, умноженной на расстояние от ее центра тяжести до точки А. Таким образом, но величина равна ординате эпюры под центром тяжести эпюры М. Отсюда и искомое перемещение равно Таким образом, для определения перемещения надо вычислить — площадь эпюры М, умножить ее на ординату эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести площади и разделить на жесткость балки. Определим этим способом угол поворота сечения D балки, изображенной на Рис.4, а; Балка загружена моментом М, приложенным в сечении В к консоли АВ. Эпюра М показана на Рис.4, б. Прикладываем в сечении D единичную пару, выбирая ее направление произвольно (Рис.4, в). Эпюра моментов от единичной нагрузки показана на рис.4, г. Так как М на участках DC и СВ равен нулю, то остается лишь один интеграл для участка АВ. а) расчетная схема б)грузовая эпюра в)фиктивное состояние г) эпюра моментов от единичного момента Рис.4. Иллюстрация метода Верещагина: Площадь равна ; ордината эпюры под центром тяжести площади равна отсюда искомый угол поворота равен Знак плюс показывает, что вращение происходит по направлению единичной пары, т. е. по часовой стрелке. Лекция № 35. Расчет статически неопределимых балок. Способ сравнения деформаций. Общие понятия и метод расчета. До сих пор мы рассматривали только статически определимые балки, у которых три опорные реакции определялись из условий равновесия. Очень часто, по условиям работы конструкции, оказывается необходимым увеличить число опорных закреплений; тогда мы получаем так называемую статически неопределимую балку. Рис.1. Схемы статически неопределимых балок Например, для уменьшения пролета балки АВ на двух опорах (Рис.1, а) можно поставить опору еще посредине, а для уменьшения деформаций балки, защемленной одним концом (Рис.1, б), можно подпереть ее свободный конец. Для подбора сечения таких балок, так же как и в рассмотренных ранее задачах, необходимо построить обычным порядком эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, а стало быть, определить опорные реакции. Во всех подобных случаях число опорных реакций, которые могут возникнуть, превышает число уравнений статики, например, для балок рис.2. Соответственно: четыре, четыре и пять опорных реакций. Рис.2. Механизм появления дополнительных связей Поэтому необходимо составить дополнительные уравнения, выражающие условия совместности деформаций, которые вместе с обычными уравнениями равновесия и дадут возможность определить все опорные реакции. Определим опорные реакции и построим эпюру моментов для балки, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки q рис.3. Сначала изобразим все реакции, которые по устройству опор могут возникнуть в этой балке. Таких реакций может быть на опоре А три: вертикальная А, горизонтальная и опорный момент , на опоре В возможно появление лишь одной реакции В. Таким образом, число опорных реакций на одну больше, чем уравнений статики. Одна из реакций является добавочной, как говорят, «лишней» неизвестной. Этот термин прочно укоренился в технической литературе; между тем, принять его можно лишь условно. Рис.3. Исходная расчетная схема статически неопределимой балки. Действительно, добавочная реакция и соответствующее ей добавочное опорное закрепление являются «лишними» только с точки зрения необходимости этих закреплений для равновесия балки как жесткого целого. С точки же зрения инженера добавленное закрепление во многих случаях не только не является лишним, а наоборот, позволяет осуществить такую конструкцию, которая без него была бы невозможна. Поэтому мы будем пользоваться термином «лишняя опорная реакция», «лишняя неизвестная» лишь условно. Составим все уравнения статики для нашей балки, приравнивая нулю сумму проекций всех сил на направление оси балки, на перпендикуляр к ней, и сумму моментов относительно точки А. Получим систему: , Из первого уравнения сразу определяется опорная реакция Для определения трех других остаются лишь два уравнения. За лишнюю реакцию можно взять любую из этих трех: попробуем взять реакцию опоры В. В таком случае мы должны считать, что рассматриваемая балка получилась из статически определимой балки АВ, защемленной концом А, у которой потом поставили добавочную опору в точке В. Эта статически определимая балка, которая получается из статически неопределимой при удалении добавочного, лишнего опорного закрепления, называется основной системой. Выбрав какую-либо из реакций за лишнюю неизвестную, мы тем самым выбираем основную систему. Попробуем теперь превратить основную систему без опоры В в систему, полностью совпадающую с заданной статически неопределимой балкой (Рис.3). Рис.4. Эквивалентная система Для этого загрузим ее сплошной нагрузкой q и в точке В приложим лишнюю реакцию В (Рис.4). Однако этого мало: в балке, представленной на рис.4, точка В может перемещаться по вертикали под действием нагрузок q и В; между тем, в нашей статически неопределимой балке точка В не имеет этой возможности, она должна совпадать с опорным шарниром. Поэтому, чтобы привести к окончательному совпадению, надо к последней добавить условие, что прогиб точки В основной системы под действием нагрузок q и В должен быть равен нулю: Это и будет добавочное уравнение, определяющее реакцию В; оно является условием совместности деформаций в рассматриваемом случае: конец В балки не отрывается от опоры. Решение этого добавочного уравнения возможно несколькими способами. Способ сравнения деформаций. Выполняя решение уравнения , названного уравнением совместности деформаций, можно рассуждать следующим образом. Прогиб точки В основной системы под действием нагрузок q и В складывается из двух прогибов: одного , вызванного лишь нагрузкой q, и другого , вызванного реакцией В. Таким образом,
Остается вычислить эти прогибы. Для этого загрузим основную систему одной нагрузкой q (рис.4, а). Рис.4. Расчет прогиба от исходной нагрузки — а) и реакции — б) Тогда прогиб точки В будет равен: При нагружении основной системы реакцией В (Рис.4,б) имеем: Подставляя эти значения прогибов в уравнение (1), получаем: Отсюда В этом способе мы сначала даем возможность основной системе деформироваться под действием внешней нагрузки q, а затем подбираем такую силу В, которая бы вернула точку В обратно. Таким образом, мы подбираем величину неизвестной дополнительной реакции В с тем расчетом, чтобы уравнять прогибы от нагрузки q и силы В. Этот способ и называют способом сравнения деформаций. Рис.5. Эпюры поперечных сил и внутренних изгибающих моментов. Подставляя значение лишней реакции В в уравнения статики, получаем Выражение изгибающего момента получаем, рассматривая правую часть балки (Рис.4) и подставляя значение В: Поперечная сила Q выражается формулой Эпюры моментов и поперечных сил изображены на рис.5. Сечение с наибольшим положительным моментом соответствует абсциссе , определяемой равенством т.е. Отсюда соответствующая ордината эпюры моментов, равна: Лекция № 36. Применение вариационных методов. Раскрытие статической неопределимости для балки, может быть произведено и при помощи теоремы Кастильяно. «Лишнюю» опорную реакцию В (Рис.1, а) заменяем «лишней» неизвестной силой В, действующей вместе с заданной нагрузкой q на основную статически определимую балку АВ (фиг. 361, б). Рис.1. Исходная, а) и основная — б) расчетные схемы Дифференцируя по силе В потенциальную энергию и вычисляя таким образом прогиб , следует приравнять нулю.
Остается вычислить М и , установить пределы интеграла и взять его. Будем считать, что сечение балки не меняется по длине. Тогда уравнение (1) примет вид: или отсюда Далее решение не отличается от описанного в способе сравнения деформаций. Раскрытие статической неопределимости возможно выполнить также и по теореме Мора. При решении по Мору, кроме первого состояния нагружения основной балки заданной нагрузкой и лишней неизвестной силой (Рис.2, а), следует показать ту же балку во втором состоянии загружения — силой (Рис.2,б). Вычисления при обозначениях, принятых на Рис. 2, дают: а) исходная модель, б) фиктивная модель нагружения, в) грузовая эпюра моментов, г) эпюра моментов от реакции В, д) единичная эпюра моментов Рис.2. Решение методом Мора и Верещагина т.е. то же, что и при использовании теоремой Кастильяно. При решении того же примера по способу Верищагина к двум схемам состояний загружения (Рис.2 а и б) следует построить эпюры моментов: от нагрузки q (Рис.2, в) от силы B (Рис.2 г), и от силы (Рис.2, д). Величина моментных площадей: от нагрузки q: от нагрузки В: Ординаты эпюр единичной нагрузки: для умножения на : для умножения на : Прогиб в точке В Отсюда Совпадение результатов расчета опорной реакции очевидно. Выбор лишней неизвестной и основной системы. В предыдущем примере мы выбрали за лишнюю неизвестную реакцию В. Мы могли бы выбрать и момент . Соответственно изменилась бы основная система и ход решения. Окончательный же результат, конечно, получился бы прежним. Возьмем за лишнюю неизвестную опорный момент (Рис.3, а). Какой будет основная система? Чтобы получить ее, надо отбросить то опорное закрепление, которое создает момент , т. е. защемление конца А. Чтобы на конце А не было опорного момента, там следует поставить шарнирно-неподвижную опору. Основной системой будет балка, изображенная на Рис.3, б. Загрузим ее внешней нагрузкой и опорным моментом (фиг. 363, в). Чтобы эти балки работали одинаково, надо для балки Рис.3, в написать дополнительное условие, что сечение А под действием изображенных нагрузок не может поворачиваться; накладываем это ограничение на перемещение, соответствующее выбранной лишней неизвестной: Далее, применив для решения уравнения теорему Кастильяно, имеем а) заданное. б) основная, в) эквивалентная |