Введение План Цель Узнать о системах счисления. Основные задачи Основные понятия системы счислений
 Скачать 76.41 Kb.
|
 Введение:План: Цель: Узнать о системах счисления. Основные задачи: 1. Основные понятия системы счислений 1.1 Позиционные системы счисления. 1.2 Непозиционная система счисления. 1.3 Отличие позиционной системы счисления от непозиционной. 1.4 Наиболее часто употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются. 1.5 Перевод целых и дробных чисел из одной системы счисления в другую. 1.6 Арифметические операции в двоичной системе счисления и представление чисел в других системах счисления. 2. История систем счисления 2.1 Месопотамская система счисления. 2.2 Древнеегипетская система счисления. 2.3 Славянская система счисления. 2.4 Римские цифры и система счисления. 3. Виды системы счисления 3.1 Позиционные системы счисления. 3.2 Необычные позиционные системы счисления. 3.3 Системы счисления с отрицательными основаниями. 3.4 Исторические системы счисления. 4. Применение в современном мире 4.1 Представление текстовых данных. 4.2 Представление графической информации. 4.3 Представление звуковой информации. Заключение. Список литературы. Введение Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры. Они с нами везде. Понятие числа - фундаментальное понятие как математики, так и информатики. Сегодня, в самом конце XX века, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления? Это мы сейчас и узнаем 1 Понятие системы счислений Система счисления (англ. numeral system или system of numeration) — это символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Система счисления: даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных); даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление); отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел. Системы счисления подразделяются на:
1.1 Позиционные системы счисления В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у арабов. Под позиционной системой счисления обычно понимается {\displaystyle b}-ичная система счисления, которая определяется целым числом {\displaystyle b>1} , называемым основанием системы счисления. Целое число без знака {\displaystyle x} в {\displaystyle b}-ичной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа {\displaystyle b}: {\displaystyle x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}}, где {\displaystyle a_{k}} — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству {\displaystyle 0\leq a_{k}\leq (b-1)}. Каждая степень {\displaystyle b^{k}} в такой записи называется весовым коэффициентом разряда. Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя {\displaystyle k} (номером разряда). Обычно в записи ненулевых чисел начальные нули опускаются. Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число {\displaystyle x} записывают в виде последовательности его {\displaystyle b}-ичных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:{\displaystyle x=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}.} Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:{\displaystyle 103=1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}.} Наиболее часто употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:
В позиционных системах чем больше основание системы, тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа. Смешанные системы счисления 1.2 Непозиционная система счисления Непозиционные системы счисления — это такие системы счисления, в которых положения цифры в записи числа не зависит величина, которую они обозначает. Система может накладывать определенные ограничения на порядок цифр (расположение по возрастанию или убыванию). Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы. 1.3 Отличие позиционной системы счисления от непозиционной В позиционных системах счисления значение цифры зависит от местонахождения в записи числа. Например, в числе 12 цифра 1 означает десять, а в числе 122 — сотню. В непозиционных системах счисления, где бы цифра не находилась, она имеет одно и то же значение. Например, в римской системе счисления IV и XI цифра I означает единицу. Смешанная система счисления Смешанная система счисления является обобщением {\displaystyle b}-ичной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел {\displaystyle \{b_{k}\}_{k=0}^{\infty }}, и каждое число {\displaystyle x} в ней представляется как линейная комбинация: {\displaystyle x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b_{k}}, где на коэффициенты {\displaystyle a_{k}}, называемые как и прежде цифрами, накладываются некоторые ограничения. Записью числа {\displaystyle x} в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса {\displaystyle k}, начиная с первого ненулевого. В зависимости от вида {\displaystyle b_{k}} как функции от {\displaystyle k} смешанные системы счисления могут быть степенными, показательными и т. п. Когда {\displaystyle b_{k}=b^{k}} для некоторого {\displaystyle b}, смешанная система счисления совпадает с показательной {\displaystyle b}-ичной системой счисления. Наиболее известным примером смешанной системы счисления является представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина «{\displaystyle d} дней, {\displaystyle h} часов, {\displaystyle m} минут, {\displaystyle s} секунд» соответствует значению {\displaystyle d\cdot 24\cdot 60\cdot 60+h\cdot 60\cdot 60+m\cdot 60+s} секунд. 1.4 Перевод целых и дробных чисел из одной системы счисления в другую Поскольку одно и то же число может быть записано в различных СС, то возможен перевод числа из одной системы в другую. Т.к. самая распространенная СС - десятичная, то необходимо рассмотреть алгоритмы перевода из десятичной системы в другую и обратно. Алгоритм перевода из десятичной СС в другую. 1). Целочисленное разделить исходное число Z(10) на основание новой системы (p) и найти остаток отделения - это будет цифра от 0-го разряда числа Z. 2). Частное от деления снова разделить на P с выделением остатка, процедуру продолжать до тех пор, пока частное не окажется меньше P. 3). Образованные остатки от деления, поставленные в порядке, обратном их получения, и представляют Z(p). Алгоритм перевода Z(p) в Z(10). Для этого преобразования используют формулу (1): Zp=ak-1*pk-1+ak-2*pk-2+ … +a1*p1+a0*p0; (1) Где p - основание СС, k - общее число цифр числа. Например: 443 (5)=4*52 + 4*51 + 3*50 = 100+20+3 = 123. Алгоритм перевода дробного числа из десятичной СС в другую систему. Умножить исходную дробь в 10-ной системе на основание P, выделить целую часть - она будет первой цифрой новой дроби, отбросить целую часть. Для оставшейся дробной части операцию умножения с выделение целой и дробной частей повторять, пока в дробной части не окажется 0 или не будет достигнута желаемая точность конечного числа. Записать дробь в виде последовательности цифр после поля с разделителями в порядке их появления. Пример: 0,375 (10) в 0, Y(2). 0.375*2 = |0.|750 0.75*2 = |1.|50 0.5*2 = |1.|0 0.37510 = 0.0112 4. Алгоритм перевода 0.Y(P) в 0.Y(10) сводится к вычислению значения формулы (1). Пример: 0,0112 = 0*2-1 + 1*2-2 + 1*2-3 = 0,25+0,125 = 0,37510 Перевод чисел: из десятичной в двоичную Перевод в системах счисления чисел происходит по определенным правилам. Наиболее часто встречается перевод из двоичной в десятичную систему и наоборот. Для того, чтобы перевести число из десятичной системы в двоичную, необходимо последовательно делить его на основание системы счисления, то есть, число два. При этом, остаток от каждого деления необходимо фиксировать. Так будет происходить до тех пор, пока остаток от деления не будет меньше или равен единице. Проводить вычисления лучше всего в столбик. Затем полученные остатки от деления записываются в строку в обратном порядке. Например, переведем число 9 в двоичную систему: Делим 9, так как число не делится нацело, то берем число 8, остаток будет 9 – 1 = 1. После деления 8 на 2 получаем 4. Снова делим его, так как число делится нацело – получаем в остатке 4 – 4 = 0. Проводим ту же операцию с 2. В остатке получаем 0. В итоге деления у нас получается 1. Далее записываем все полученные нами остатки в обратном порядке, начиная с итога деления: 1001. Вне зависимости от итоговой системы счисления, перевод чисел из десятичной в любую другую будет происходить по принципу деления числа на основу позиционной системы. Перевод чисел: из двоичной в десятичную Довольно легко переводить числа и в десятичную систему счисления из двоичной. Для этого достаточно знать правила возведения чисел в степень. В данном случае, в степень двойки. Алгоритм перевода следующий: каждую цифру из кода двоичного числа необходимо умножить на двойку, причем, первая двойка будет в степени m-1, вторая – m-2 и так далее, где m – количество цифр в коде. Затем сложить результаты сложения, получив целое число. Для школьников этот алгоритм можно объяснить проще: Для начала берем и записываем каждую цифру, умноженную на двойку, затем проставляем степень двойки с конца, начиная с нуля. Потом складываем полученное число. Для примера разберем с вами полученное ранее число 1001, переведя его в десятичную систему, и заодно проверим правильность наших вычислений. Выглядеть это будет следующим образом: 1*23 + 0*22+0*21+1*20= 8+0+0+1 =9. При изучении данной темы удобно использовать таблицу со степенями двойки. Это существенно уменьшит количество времени, необходимое для проведения вычислений. Другие варианты перевода В некоторых случаях перевод может осуществляться между двоичной и восьмеричной системой счисления, двоичной и шестнадцатеричной. В таком случае можно пользоваться специальными таблицами или же запустить на компьютере приложение калькулятор, выбрав во вкладке вид вариант «Программист». Арифметические операции Вне зависимости от того, в каком виде представлено число, с ним можно проводить привычные для нас вычисления. Это может быть деление и умножение, вычитание и сложение в системе счисления, которую вы выбрали. Конечно, для каждой из них действуют свои правила. Так для двоичной системы разработаны свои таблицы для каждой из операций. Такие же таблицы используются и в других позиционных системах. Заучивать их необязательно – достаточно просто распечатать и иметь под рукой. Также можно воспользоваться калькулятором на ПК. Одна из важнейших тем в информатике – система счисления. Знание этой темы, понимание алгоритмов перевода чисел из одной системы в другую – залог того, что вы сможете разобраться в более сложных темах, таких как алгоритмизация и программирование и сможете самостоятельно написать свою первую программу. 1.5 Арифметические операции в двоичной системе счисления и представление чисел в других системах счисления Сложение производится согласно таблице сложения, которая для двоичных чисел имеет вид: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10 Пример: 01012 + 11002 = 10001. 2) Умножение производится согласно таблице умножения. 0*0=0, 0*1=0 1*0=0, 1*1=1 Пример: 11012*1012 = 1000001. Таким образом, умножение двоичных чисел сводится к операциям сдвига на один двоичный разряд влево и повторения первого сомножителя в тех разрядах, где второй сомножитель содержит 1, и сдвига без повторения с разрядом 0. Представление чисел в других СС. 2. История систем счисления История чисел и система счисления тесно взаимосвязаны, потому что система счисления и представляет собой способ записи такого абстрактного понятия, как число. Данная тема не относится сугубо к области математики, ведь всё это является важной частью культуры народа в целом. Потому, когда разбирается история чисел и систем счисления, кратко затрагиваются и многие другие аспекты истории создавших их цивилизаций. Системы в целом делятся на позиционные, непозиционные и смешанные. Из их чередования состоят вся история чисел и систем счисления. Известно только, что все древние цивилизации уже имели свои системы счёта, значит, история чисел и система счисления зародились в доцивилизационное время. Камни и кости не способны рассказать нам, что происходило в человеческом сознании, а письменных источников тогда ещё не создавали. Возможно, счёт понадобился человеку при разделе добычи или много позже, уже в ходе неолитической революции, то есть при переходе к земледелию, для раздела участков поля. Любые теории на этот счёт будут в равной степени беспочвенными. Но некоторые предположения всё же можно сделать, изучая историю различных языков. Следы древнейшей системы счисления Самая логичная начальная система счёта – противопоставление понятий «один» – «много». Логична она для нас потому, что в современном русском языке существует только единственное и множественное число. Но во многих древних языках было также и двойственное число для обозначения двух предметов. Существовало оно и в первых индоевропейских языках, включая древнерусский. Таким образом, история чисел и система счисления начались с разделения понятий «один», «два», «много». Однако уже в самых древних известных нам цивилизациях были разработаны более детальные системы счисления. 2.1 Месопотамская запись чисел Мы привыкли, что система счисления десятирична. Это и понятно: на руках 10 пальцев. Но тем не менее история возникновения чисел и систем счисления прошла через более сложные фазы. Месопотамская система счисления – шестидесятиричная. Потому до сих пор в часе 60 минут, а в минуте – 60 секунд. Потому год делится на число месяцев, кратное 60, а день делится на такое же число часов. Изначально это были солнечные часы, то есть каждый из них составлял 1/12 светового дня (на территории современного Ирака его длительность не сильно варьировалась). Только много позже длительность часа стали определять не по солнцу и добавили также 12 ночных часов. Интересно то, что записывались знаки этой шестидесятиричной системы, будто она десятиричная – существовало только два знака (для обозначения единицы и десятка, не шести и не шестидесяти, а именно десятка), цифры получали, комбинируя эти знаки. Страшно себе даже вообразить, как сложно было записать сколько-нибудь большое число таким способом. 2.2 Древнеегипетская система счисления История чисел в десятиричной системе счисления, и использование многочисленных значков для обозначения чисел началось с древних египтян. Они комбинировали иероглифы, которые обозначали один, сто, тысячу, десять тысяч, сто тысяч, миллион и десять миллионов, обозначая таким образом нужное число. Такая система была гораздо удобнее, чем месопотамская, использовавшая только два знака. Но при этом она имела явное ограничение: сложно было записать число, значительно большее, чем десять миллионов. Правда, древнеегипетская цивилизация, как и большинство цивилизаций Древнего мира, с такими числами не сталкивалась. Эллинские буквы в математических записях История европейской философии, науки, политической мысли и многого другого во многом начинается в Древней Элладе («Эллада» – это самоназвание, оно предпочтительнее, чем придуманное римлянами «Греция»). Развиты в этой цивилизации были и математические знания. Числа эллины записывали буквами. Отдельные буквы обозначали каждое число от 1 до 9, каждый десяток от 10 до 90 и каждую сотню от 100 до 900. Только тысячу обозначали той же буквой, что и единицу, но с другим знаком рядом с буквой. Система позволяла даже большие цифры обозначать относительно короткими надписями. 2.3 Славянская система счисления Славянская система счисления как наследница эллинской История чисел и систем счисления была бы не полной без нескольких слов о наших предках. Кириллица, как известно, основана на эллинском алфавите, потому и славянская система записи цифр также была основана на эллинской. Здесь тоже отдельными буквами обозначалось каждое число от 1 до 9, каждый десяток от 10 до 90 и каждая сотня от 100 до 900. Только использовались не эллинские буквы, а кириллица, или глаголица. Существовала также и интересная особенность: несмотря на то что и эллинские тексты в то время, и славянские с самого начала их истории записывались слева направо, славянские цифры писались как бы справа налево, то есть буквы, обозначавшие десятки ставили правее букв, обозначавших единицы, буквы, обозначавшие сотни правее букв, обозначавших десятки и т. д. Аттическое упрощение Эллинские учёные достигли огромных высот. Римское завоевание не прервало их изысканий. Например, судя по косвенным свидетельствам, Аристарх Самосский за 18 веков до Коперника разработал Гелиоцентрическую систему мира. Во всех этих сложных расчётах эллинским учёным помогала их система записи чисел. Но для простых людей, например, торговцев, система зачастую оказывалась слишком сложной: чтобы её использовать, требовалось запомнить числовые значения 27 букв (вместо числовых значений 10 символов, которые учат современные школьники). Потому появилась упрощённая система, получившая название аттической (Аттика – область Эллады, одно время лидировавшая в регионе в целом и особенно в морской торговле региона, так как столицей Аттики были знаменитые Афины). В этой системе отдельными буквами стали обозначаться только числа один, пять, десять, сто, тысяча и десять тысяч. Получается всего шесть знаков – их гораздо легче запоминать, а слишком сложных вычислений торговцы всё равно не производили. 2.4 Римские цифры и система счисления Римские цифры и система счисления, и история чисел древних римлян, и в принципе история их науки является продолжением эллинской истории. За основу была взята аттическая система, просто эллинские буквы заменили латинскими и добавили отдельное обозначение пятидесяти и пятисот. При этом сложные расчёты в своих трактатах учёные продолжали производить эллинской системой записи в 27 букв (да и сами трактаты они обычно писали по-эллински). Римскую систему записи чисел нельзя назвать особо совершенной. В частности, она гораздо более примитивна, чем древнерусская. Но исторически сложилось так, что она до сих пор сохраняется наравне с арабскими (так называемыми) цифрами. И забывать эту альтернативную систему, переставать её использовать не стоит. В частности, сегодня часто арабскими цифрами обозначаются количественные числительные, а римскими – порядковые. Великое древнеиндийское изобретение Цифры, которые сегодня используем мы, появились изначально в Индии. Точно не известно, когда история чисел и система счисления сделали этот знаменательный поворот, но, скорее всего, не позднее V века от Рождества Христова. Часто подчёркивается, что именно индийцы разработали понятие нуля. Такое понятие было известно математикам и других цивилизаций, но действительно лишь система индийцев позволила полноценно включить его в математические записи, а значит, и в вычисления. Распространение индийской системы счисления по Земле Предположительно в IX веке индийские цифры заимствовали арабы. В то время как европейцы пренебрежительно относились к античному наследию, а в некоторые регионах одно время даже намеренно уничтожали его как языческое, арабы бережно хранили достижения древних греков и римлян. С самого начала их завоеваний ходовым товаром стали переводы античных авторов на арабский. В основном через трактаты арабских учёных средневековые европейцы снова обрели наследие древних мыслителей. Вместе с этими трактатами пришли и индийские цифры, которые в Европе стали называть арабскими. Они не сразу были приняты, потому что для большинства людей оказались менее понятными, чем римские. Но постепенно удобство математических расчётов с помощью этих знаков победило невежественность. Лидерство европейских промышленно развитых стран привело к тому, что так называемые арабские цифры распространились по всему миру и сегодня применяются практически повсеместно. Двоичная система счисления современных компьютеров С появлением компьютеров постепенно совершили значительный поворот многие области знаний. Не стала исключением история чисел и систем счисления. Фото первого компьютера мало напоминает современное устройство, на мониторе которого вы читаете эту статью, но работа их обоих основана на двоичной системе счисления, коде, состоящем, только из нулей и единиц. Для обыденного сознания всё же остаётся удивительным, что с помощью комбинации из всего двух символов (фактически сигнала или его отсутствия) можно производить самые сложные вычисления и автоматически (при наличии соответствующей программы) переводить числа в десятиричной системе исчисления в числа в двоичной, шестнадцатиричной, шестидесятишестиричной и любой другой системе. И с помощью такого двоичного кода на мониторе изображается данная статья, где отражена история чисел и система счисления у разных цивилизаций в истории. |