Задачи линейного программирования. _Готовое 84-04-3. Задача 1 3 Задача 2 6 Задача 3 9 Задача 4 15

• Название: Задача 1 3 Задача 2 6 Задача 3 9 Задача 4 15
• Анкор: Задачи линейного программирования
• Дата: 20.04.2022
• Размер: 109.17 Kb.
• Имя файла: _Готовое 84-04-3.docx
• Тип: Задача; #486594
• страница: 2 из 5

Задача 2

Интенсивность потока пассажиров в кассах железнодорожного вокзала составляет λ = 1,42 чел. в мин. Средняя продолжительность обслуживания кассиром одного пассажира _об = 1 мин. Определить минимальное количество кассиров n = n_min, при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие характеристики обслуживания при n = n_min (вероятность того, что в узле расчета отсутствуют покупатели, вероятность очереди, среднее число заявок находящихся в очереди, среднее время пребывания заявки в очереди, среднее число заявок, находящихся в системе, среднее время пребывания заявки в системе, доля занятых обслуживанием кассиров, абсолютная пропускную способность) (табл. 4.3).
Таблица 4.3

Исходные данные для решения задачи 2

Показатель	Вариант
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
λ	1,37	1,62	1,42	1,83	1,75	1,55	1,4	1,65	1,7	1,3
об	2,3	2	1	2,5	1,5	1,7	1,2	2,6	1	2,5

Указание. Прежде чем использовать формулы предельных вероятностей, необходимо быть уверенным в их существовании, ведь в случае, когда время t → , очередь может неограниченно возрастать. Доказано, что если ρ < 1, т. е. среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок (в единицу времени), то предельные вероятности существуют. Если ρ ≥ 1, очередь растет до бесконечности. Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии ρ / n < 1, т. е. при n > ρ.

Решение. n > 1, m = , т. е. имеем многоканальную систему с неограниченной очередью. По условию λ = 1,42 (1/мин). Показатель нагрузки системы определяется по формуле (4.2): ρ = 1,42∙1 = 1,42.

Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии ρ / n < 1, т. е. при n > ρ = 1,42. Таким образом, минимальное количество контролеров-кассиров n_min = 2.

Найдем характеристики обслуживания СМО при n_min = 2.

Вероятность того, что в узле расчета отсутствуют покупатели, определяется по формуле
, (4.8)
р₀ = (1 + 1,42 + 1,42²/2! + 1,42³/(3!(3 – 1,42)))^–1 = 0,061, т.е. в среднем 6,1% времени контролеры-кассиры будут простаивать.

Вероятность того, что в узле расчета будет очередь, определяется по формуле
, (4.9)
Р_оч = 1,42³/(2!(2 – 1,42)) ∙ 0,061 = 0,625.

Среднее число покупателей, находящихся в очереди, определяется по формуле:
, (4.10)
_оч = 0,061 ∙ 1,42³/(2 ∙ 2!(1 – 1,42/2)²) = 3,715.

Среднее время ожидания в очереди определяется по формуле:
, (4.11)
_оч = 3,715/1,42 = 2,616 мин.

Среднее число покупателей в узле расчета определяется по формуле
, (4.12)
_сист = 2,616 + 1,42 = 5,136.

Среднее время нахождения покупателей в узле расчета определяется по формуле:
, (4.13)
_сист = 5,136/1,42 = 3,62 мин.

Среднее число контролеров-кассиров, занятых обслуживанием покупателей, определяется по формуле:
, (4.14)

= 1,42.

Коэффициент (доля) занятых обслуживанием контролеров-кассиров:

= ρ/n = 1,42/2 = 0,71.

Абсолютная пропускная способность узла расчета А = 1,42 (1/мин), или 85,2 (1/ч), т. е. 85,2 покупателей в час.

Вывод. Анализ характеристик обслуживания свидетельствует о значительной перегрузке узла расчета при наличии двух кассиров.