Задача 1 Два положительных заряда закреплены на расстоянии друг от друга. Определите, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд так, чтобы он находился в равновесии.

• Название: Задача 1 Два положительных заряда закреплены на расстоянии друг от друга. Определите, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд так, чтобы он находился в равновесии.
• Дата: 20.04.2022
• Размер: 0.62 Mb.
• Имя файла: 7 (4).docx
• Тип: Задача; #488308

Задача №1

Два положительных заряда закреплены на расстоянии друг от друга. Определите, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд так, чтобы он находился в равновесии. Указать какой знак должен иметь этот заряд для того, чтобы равновесие было устойчивым, если перемещения зарядов возможны только вдоль прямой, проходящей через закрепленные заряды.

Дано: Решение







Найти:



Рассмотрим систему двух точечных одноименно заряженных заряда (см. рис.). Слева от зарядов вектора сил электрического взаимодействия сонаправлены. Следовательно, в данной области нет точки, при помещении в которую третий заряд находился бы в равновесии. По аналогии данной точки нет и в области справа от зарядов. Следовательно, искомая точка находится между зарядами (когда силы от первого и второго зарядов направлены в разные стороны).



Поскольку третий заряд должен находиться в равновесии, то силы взаимодействия должны быть равны:



Сила электростатического взаимодействия двух точечных зарядов определяется по формуле:



где – диэлектрическая постоянная;

– величины точечных зарядов;

– расстояние между зарядами.

Тогда сила действия со стороны первого заряда.



Cо стороны второго заряда.



Подставим в исходную формулу





Выразим из полученного соотношения искомое расстояние .





Подставим в полученную формулу числовые значения:



Определим знак третьего заряда, чтобы равновесие системы было устойчивым. Рассмотрим первый случай – третий заряд имеет положительный знак .



Предположим, что третий заряд сместился влево. Тогда расстояние уменьшается, а расстояние увеличивается. Из анализа формулы для силы взаимодействия двух точечных зарядов видно, что сила увеличивается, а сила уменьшается. Тогда результирующая сила будет направлена вправо . Под действием этой результирующей силы заряд будет двигаться вправо и возвращаться в исходную точку. То же самое происходит при смещении заряда вправо: сила увеличивается, а сила уменьшается; результирующая сила направлена влево и заряд будет двигаться влево и возвращаться в положение равновесие. Таким образом, в случае положительного заряда равновесие системы будет устойчивым – поскольку возникающая при смещении сила стремится возвратить заряд в исходное положение.

Рассмотрим второй случай – третий заряд имеет отрицательный знак .



Предположим, что третий заряд сместился влево. Тогда расстояние уменьшается, а расстояние увеличивается. Из анализа формулы для силы взаимодействия двух точечных зарядов видно, что сила увеличивается, а сила уменьшается. Тогда результирующая сила будет направлена влево . Под действием этой результирующей силы заряд будет двигаться влево и все дальше уходить от исходного положения. То же самое происходит при смещении заряда вправо: сила увеличивается, а сила уменьшается; результирующая сила направлена вправо и заряд будет двигаться вправо и уходить от положения равновесия. Таким образом, в случае отрицательного заряда равновесие системы будет неустойчивым – поскольку возникающая при смещении сила стремится еще сильнее сместить заряд от исходного положения.

Ответ: ; равновесие системы будет устойчивым в случае, если третий заряд положительный .

Задача №2

Тонкий стержень, имеющий длину , равномерно заряжен положительным зарядом . Найдите силу, действующую на точечный заряд , расположенный на расстоянии от него, лежащий на продолжении стрежня. Найти напряженность поля в точках, лежащих на продолжении стержня, как функцию расстояния до стержня.

Д ано: Решение







Найти:



По определению сила , с которой электрическое поле действует на некоторый заряд, помещенный в поле, равна:



где – величина заряда;

– напряженность электрического поля в точке, в которую помещен заряд.

Определим напряженность электрического поля. Для этого выделим на стержне малый участок, заряд которого :



Данный малый участок стержня можно считать точечным источником. Тогда напряженность электрического поля от данного участка в искомой точке определим по формуле напряженности точечного заряда:



Полную напряженность поля определим интегрированием по всему стержню:



Тогда сила, с которой стержень действует на точечный заряд, будет равна:



Подставим в полученные формулы числовые значения:





Для определения численного значения силы, действующей на точечный заряд, необходимо знать величину точечного заряда.

Ответ: , .

Задача 3

Одной из пластин плоского конденсатора площадью сообщили заряд . Расстояние между пластинами . Между пластинами, параллельно им, находится стеклянная пластинка, толщиной . Определить напряженность электрического поля в стекле и в воздухе , поверхностную плотность связанных зарядов и напряжение на конденсаторе.

Дано: Решение













Найти:



Напряженность электрического поля плоского конденсатора определяется по формуле:



где – поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора;

– диэлектрическая постоянная.

Поверхностная плотность заряда по определению равна:



где – заряд конденсатора;

– площадь пластин конденсатора.

В итоге получим,



Напряжение между обкладками конденсатора связано с напряженностью электрического поля внутри конденсатора соотношением:



где – напряженность электрического поля в стекле;

– напряженность электрического поля в воздухе.

Запишем формулу для вектора электрического смещения . По определению вектор электрического смещения не изменяется при переходе через границу двух диэлектрических сред:









Тогда напряженность электрического поля внутри стекла равна:



Напряжение на конденсаторе будет равно:



Определим поверхностную плотность связанных зарядов. Диэлектрическая пластина находится во внешнем однородном электрическом поле напряженностью . Под действием внешнего поля на диэлектрике индуцируется связанные заряды с поверхностной плотностью . Образование данных зарядов приводит к возникновению в диэлектрике дополнительного электрического поля, направленного против внешнего поля, что приводит к уменьшению напряженности поля в диэлектрике до величины :





Напряженность дополнительного поля, образованного связанными зарядами, можно рассчитать как напряженность внутри плоского конденсатора, заряженного с поверхностной плотностью заряда .



В итоге поверхностная плотность связанных зарядов будет равна:



Подставим в полученные формулы числовые значения:









Ответ: , , , .

Задача 4

Электрон, ускоренный разностью потенциалов , влетает в плоский конденсатор параллельно пластинам, на равном расстоянии от пластин. Напряжение, подаваемое на конденсатор – , расстояние между ними , длина пластин . Определить расстояние, на которое сместится электрон под действием электрического поля в конденсаторе.

Д ано: Решение













Найти:



При пролете через конденсатор на электрон действует сила Кулона, которая отклоняет электрон от первоначального направления.

Запишем второй закон Ньютона:







где – электрический заряд электрона;

– напряжение на конденсаторе;

– масса электрона;

– расстояние между пластинами конденсатора.

В начальный момент времени электрон имел только продольную составляющую скорости (вдоль оси ). Следовательно, движение электрона вдоль оси – равноускоренное движение без начальной скорости. Тогда смещение электрона можно рассчитать по формуле:



где – время пролета электрона через конденсатор;

Время пролета электрона через конденсатор равно:



Определим начальную скорость электрона. По условию указано, что перед конденсатором электрон был ускорен разностью потенциалов . Тогда по закону сохранения энергии получим:





Подставим полученные выше формулы в исходную:



Подставим в полученную формулу числовые значения:



Ответ: .

Задача 5

Определите сопротивление проволочного каркаса, имеющего форму куба, если напряжение подводится к точкам . Сопротивление каждой стороны равно .

Д ано: Решение



Найти: 5



Будем считать, что точка А имеет некоторый потенциал . Поскольку по условию указано, что все ребра куба имеют одинаковые сопротивления , то потенциалы вершин C, D и E будут одинаковыми (так как происходит переход через одинаковые сопротивления AC, AD и AE, соответственно):



Аналогично получим, что и вершины F, G и H будут иметь одинаковые потенциалы:



Следовательно, ребра CG, CH, DF, DH, EF и EG будут соединены параллельно между собой, поскольку на их концах будет одинаковая разность потенциалов:



С учетом полученных выше соображений преобразуем исходную схему.



При параллельном соединении проводников суммарное сопротивление цепи определяется по формуле:



При последовательном соединении проводников суммарное сопротивление цепи определяется по формуле:



Тогда,













Итоговое сопротивление куба равно:



Ответ: .

Задача 6

По тонкому проводящему кольцу радиусом течет ток силой . Найдите магнитную индукцию в точке, удаленной от всех точек кольца на расстоянии .

Д ано: Решение







Найти:



Выделим на кольце небольшой участок длиной . Тогда по закону Био-Савара-Лапласа магнитная индукция в искомой точке от данного элементарного участка кольца будет равна:



где – магнитная постоянная;

– сила тока в проводнике;

– расстояние от проводника до искомой точки.

Запишем проекции данного элементарного вектора магнитной индукции в проекции на оси :





Из геометрических соображений получим,





В итоге получим,





Из соображений симметрии (см. рис.) видно, что суммарная проекция вектора магнитной индукции на ось равна нулю:



так как для любой точки кольца найдется диаметрально противоположная точка, для которой проекция вектора индукции на ось будет направлена в противоположном направлении.

Следовательно, полное значение магнитной индукции в искомой точке будет численно равно суммарной проекции на ось :



Проинтегрируем полученное выражение по всему кольцу (в диапазоне от до ).



Подставим в полученную формулу числовые значения:



Ответ: .

Задача №7

Рамка площадью , содержащая витков, равномерно вращается в однородном магнитном поле с индукцией . Определите максимальное ЭДС индукции, если ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции, а рамка вращается с частотой . Представить графические зависимости потока, пронизывающего площадь рамки и ЭДС индукции от времени.

Д ано: Решение









Найти:



Определим изменение потока через один виток рамки. Магнитный поток через контур определяется по формуле:



где – величина индукции магнитного поля;

– площадь контура;

– угол между вектором индукции и нормалью к плоскости контура.

В данном случае магнитный поток через катушку будет изменяться во времени за счет поворота катушки и изменения площади, которую пронизывает магнитное поле:



где – угловая скорость вращения катушки.

Угловая скорость вращения связана с частотой вращения соотношением:



Учтем, что рамка содержит витков. Тогда,



Запишем закон электромагнитной индукции Фарадея:



где – изменение магнитного потока через контур.

Подставим полученную выше формулу для магнитного потока в закон электромагнитной индукции Фарадея и выполним преобразования:



В итоге получим,



По условию требуется определить максимальное значение ЭДС индукции. Из анализа итоговой формулы видно, что ЭДС изменяется по гармоническому закону. Следовательно, максимальное значение ЭДС равно амплитуде:



Подставим в полученную формулу числовые значения:



Построим графики зависимостей магнитного потока и ЭДС индукции от времени.









Ответ: .

Задача №8

Колебательный контур состоит из конденсатора , катушки индуктивности . Конденсатор заряжен количеством электричества . Найдите период колебаний в контуре, если . Записать уравнение и .

Д ано: Решение









Найти:



По условию указано, что в контуре есть активное сопротивление . Следовательно, энергия, запасенная в контуре, будет расходоваться на активном сопротивлении и колебания в контуре будут затухающие.

Затухающие колебания в контуре описываются следующим дифференциальным уравнением:



где – коэффициент затухания;

– циклическая частота собственных колебаний.

Для контура данные параметры определяются через элементы контура по формулам:





где – активное сопротивление контура;

– индуктивность катушки;

– емкость конденсатора.

Решение исходного дифференциального уравнения имеет вид:



где – циклическая частота затухающих колебаний;

– начальная фаза колебаний.

По условию указано, что в начальный момент времени конденсатор заряжен количеством электричества . Тогда наачльная фаза колебаний будет равна:







Циклическая частота затухающих колебаний определяется соотношением:



Циклическая частота колебаний связана с периодом колебаний соотношением:



Тогда период затухающих колебаний будет равен:



В итоге заряд на обкладках конденсатора будет изменяться по закону:



Напряжение в колебательном контуре зависит от времени по закону:



По определению сила тока есть первая производная по времени от закона изменения электрического заряда:



Воспользуемся тригонометрической формулой косинуса суммы:



Введем дополнительный угол :





В итоге получим,



Подставим в полученные формулы числовые значения:







Ответ: , , .