Задача 1 Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка. 2 1 0 1 2 4 1 1 1 2 1 0
 Скачать 48.02 Kb.
|
|
РАЗДЕЛ № 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Задача 1 Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка. 2 -1 0 1 2 4 1 1 1 2 -1 0 det A = 1 2 4 = 2·2·1 + (-1)·4·1 + 0·1·1 - 0·2·1 - 2·4·1 - (-1)·1·1 = 4 - 4 + 0 - 0 - 8 + 1 = -7 1 1 1 Задача 2 Доказать совместность системы и решить её тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса и средствами матричного исчисления 7x2 - 2x3 + 3x4 = 3 3x1 + 5x2 - 2x4 = 5 -2x1 + 5x2 - 5x3 = -40 = 0 Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом Гаусса 0 7 -2 3 | 3 3 5 0 -2 | 5 -2 5 -5 0 | -4 поменяем 1-ую строку и 2-ую строку местами 350-2507-233-25-50-400000 1-ую строку делим на 3 1 5/3 0 -2/3 | 5/3 0 7 -2 3 |3 -2 5 -5 0 |-4 к 3 строке добавляем 1 строку, умноженную на 2 1 5/3 0 -2/3 |5/3 0 7 -2 3 | 3 0 -25/3 -5 -4/3 | -2/3 2-ую строку делим на 7 1 5/3 0 -2/3 | 5/3 0 1 -2/7 3/7 | 3/7 0 25/3 -5 -4/3 | -2/3 от 1 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 5/3; от 3 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 25/3 1 0 10/21 -29/21 | 20/21 0 1 -2/7 3/7 | 3/7 0 0 -55/21 -103/21 | -89/21 3-ую строку делим на -55/ 21 1 0 10/21 -29/21 | 20/21 0 1 -2/7 3/7 | 3/7 0 0 1 103/55 | 89/55 от 1 строки отнимаем 3 строку, умноженную на 10/21; к 2 строке добавляем 3 строку, умноженную на 2/7 1 0 0 -25/11 | 2/11 0 1 0 53/55 | 49/55 0 0 1 103/55 | 89/55 Ответ: Система имеет множество решений: x1 - 25/11 x4 = 2/11 x2 + 53/55x4 = 49/55 x3 + 103/55x4 = 89/55 Метод Крамера. Для вычисления определителя приведем матрицу к верхнетреугольному виду, используя элементарные преобразования над строками матрицы и свойства определителя матрицы. ∆ = 0 7 -2 3 3 5 0 -2 -2 5 - 5 0 поменяем 1-ую строку и 2-ую строку местами = -3 5 0 -2 0 7 -2 3 -2 5 -5 0 к 3 строке добавляем 1 строку, умноженную на 2/3 = -3 5 0 -2 0 7 -2 3 0 25/3 -5 -4/3 от 3 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 2521 = -3 5 0 -2 0 7 -2 3 0 0 -55/21 -103/21 = -3·7 ·(-55/21)·0 = 0 Ответ. Ответ: так как детерминант матрицы равен нулю, то система не не может быть решена этим методом (система не имеет решений или имеет множество решений). A = 0 7 -2 3 3 5 0 -2 -2 5 -5 0 B = 3 5 -4 X = x1 x2 x3 A · X = B значит X = A-1 · B Найдем обратную матрицу методом алгебраических дополнений. Найдем детерминант матрицы А: det A = 0 Показать детальнее ход вычисления определителя матрицы Для вычисления определителя приведем матрицу к верхнетреугольному виду, используя элементарные преобразования над строками матрицы и свойства определителя матрицы. det A = 0 7 -2 3 3 5 0 -2 -2 5 -5 0 = поменяем 1-ую строку и 2-ую строку местами = - | 3 5 0 -2 0 7 -2 3 -2 5 -5 0 = к 3 строке добавляем 1 строку, умноженную на 2/3 = - | 3 5 0 -2 0 7 -2 3 0 25/3 -5 -4/3 = от 3 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 25/21 = - | 3 5 0 -2 0 7 -2 3 0 0 -55/21 -103/21 = -3·7·(-55/21)·0 = 0 Ответ. Ответ: так как детерминант матрицы равен нулю, то система не не может быть решена этим методом (система не имеет решений или имеет множество решений). Задача 3 Исследовать и найти общее решение системы линейных однородных уравнений. x1+3x2 - x3 + 2x4 = 0 2x1 + 5x2 - 8x3 - 5x4 = 0 x1+ 4x2 + 5x3 + x4 = 0 Решение: Решим систему уравнений: 3x2 + 2x4 = 0 2x1 + 5x2 - 8x3 - 5x4 = 0 4x2 + 5x3 = 0 Поменяем 1-ое уравнение и 2-ое уравнения местами: 2x1 + 5x2 - 8x3 - 5x4 = 0 3x2 + 2x4 = 0 4x2 + 5x3 = 0 Поделим 1-ое уравнение на 2 x1 + 2.5x2 - 4x3 - 2.5x4 = 0 3x2 + 2x4 = 0 4x2 + 5x3 = 0 Из 1-ого уравнения выразим x1 через остальные переменные x1 = -2.5x2 + 4x3 + 2.5x4 3x2 + 2x4 = 0 4x2 + 5x3 = 0 Поделим 2-ое уравнение на 3 x1 = -2.5x2 + 4x3 + 2.5x4 x2 + 23x4 = 0 4x2 + 5x3 = 0 Из 2-ого уравнения выразим x2 через остальные переменные x1 = -2.5x2 + 4x3 + 2.5x4 x2 = -2/3x4 4x2 + 5x3 = 0 В 3 уравнение подставляем x2 x1 = -2.5x2 + 4x3 + 2.5x4 x2 = -2/3x4 4(-2/3x4) + 5x3 = 0 после упрощения получим: x1 = -2.5x2 + 4x3 + 2.5x4 x2 = -2/3x4 5x3 - 8/3x4 = 0 Поделим 3-ое уравнение на 5 x1 = -2.5x2 + 4x3 + 2.5x4 x2 = -2/3x4 x3 - 8/15x4 = 0 Из 3-ого уравнения выразим x3 через остальные переменные x1 = -2.5x2 + 4x3 + 2.5x4 x2 = -2/3x4 x3 = 8/15x4 Ответ: x1 - 6.3x4 = 0 x2 + 2/3x4 = 0 x3 - 8/15x4 = 0 РАЗДЕЛ № 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Задача 1. Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку А перпендикулярно вектору BC . Написать ее общее уравнение, а также нормальное уравнение плоскости и уравнение плоскости в отрезках. Составить уравнение плоскости P1 , проходящей через точки А, В, С. Найти угол между плоскостями Р и P1 . Найти расстояние от точки D до плоскости Р. Координаты точек: А (0;2;-1) ; В (-1;2;3) ; С (-2;3;-1) ; D (0;4;1) Уравнение плоскости P1 , проходящей через точки А, В, С. Решение: Формула:Для составления уравнения плоскости используем формулу: | x - xA y - yA z - zA xB - xA yB - yA zB - zA xC - xA yC - yA zC - zA | = 0 Подставим данные и упростим выражение: | x - 0 y - 2 z - (-1) -1 - 0 2 - 2 3 - (-1) -2 - 0 3 - 2 -1 - (-1) | = 0 | x - 0 y - 2 z - (-1) -1 0 4 -2 1 0 | = 0 (x - 0) (0·0-4·1) - (y - 2) ((-1)·0-4·(-2)) + (z - (-1)) ((-1)·1-0·(-2)) = 0 (-4) (x - 0) + (-8) (y - 2) + (-1) (z - (-1)) = 0 - 4x - 8y - z + 15 = 0 Общее уравнение плоскости Р A x + B y + C z + D = 0 Уравнение плоскости в отрезках x/a + y/b + z/c = 1 x/0 + y/2 + z/-1 = 1 Уравнение плоскости Р, проходящей через точку А, перпендикулярно вектору BC BC = {Bx - Сx; By - Сy; Bz - Сz} = {-2 - (-1); 3 - 2; -1 - 3} = {-1; 1; -4} В данном случае х0 = 0, у0 = 2, z0 = -1; А = -1, В = 1, С = -4. Подставив эти значения в уравнение (2), получим искомое уравнение A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 -l(x - 0) + 1( y - 2) - 4(z +1) = 0, или -х + у - 4z - 6 = 0. Угол между плоскостями Р и Р1. -4x -8y - z + 15 =0 -x + y - 4z - 6 =0 Решение: Вычислим угол между плоскостями - 4x - 8y + 15 = 0 и - 4z - 6 = 0 Формула: cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2| / (0√A12 + B12 + C12 √A22 + B22 + C22 ) cos α = |-4·(0) + (-8)·0 + (0)·(-4)| / √(-4)2 + (-8)2 + (0)2 √ (0)2 + 02 + (-4)2 = = |0 + 0 + 0| / √16 + 64 + 0 √0 + 0 + 16 = 0 / √80 √16 = 0 / √1280 = = 0 α = 90° Задача 2. Прямая l задана в пространстве общими уравнениями. Написать её каноническое и параметрическое уравнения. Составить уравнение прямой 1 l , проходящей через точку М параллельно прямой l, и вычислить расстояние между ними. Найти проекцию точки М на прямую l и точку пересечения прямой l и плоскости Р Общие уравнения прямой l : 3x - 3y + 2z + 6 =0 x - 6y + z - 2 =0 Координаты точки М (0;1;-3) Общее уравнение плоскости Р: x + 5y + 2z + 3 =0 y = 0 / 5x + РАЗДЕЛ № 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Задача 1 Даны координаты вершин треугольника АВС. Составить уравнения сторон треугольника. Составить уравнения медианы, высоты и биссектрисы угла А, найти их длины. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам Координаты точки А (3;2) Координаты точки В (-1;5) Координаты точки С (-3;-3) 1) Составим уравнение прямой AB, проходящей через 2 точки A и B. Для этого в уравнение прямой y=kx+b подставляем координаты точек A(3;2), B(-1;5) и из полученной системы уравнений находим k и b: 2 = k * 3 + b ; k = 6 / 4 5 = k * (-1) + b ; b = 17/4 Таким образом, уравнение стороны AB : y = 6/4+17/4 2) Прямая BC проходит через точки B(-1;5) и C(-3;-3): 5=k*(-1) +b k = 5/9 -3 = k * (-3) + b b = 18/9 Отсюда уравнение стороны BC — y = 5/9x + 18/9 3) Прямая AC проходит через точки A(3;2) и C(-3;-3): 2 = k * 3 + b k = -3 = k * (-3) + b Уравнение стороны AC —  Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Свойства медиан треугольника: Медианы треугольника пересекаются в одной точке. (Точка пересечения медиан называется центроидом) В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1) AO/OD = BO/OE = CO/OF = 2/1 Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части S∆ABD = S∆ACD S∆BEA = S∆BEC S∆CBF = S∆CAF Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников. S∆AOF = S∆AOE = S∆BOF = S∆BOD = S∆COD = S∆COE Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник. Формулы медиан треугольника Формулы медиан треугольника через стороны ma = 12√2b2+2c2-a2 mb = 12√2a2+2c2-b2 mc = 12√2a2+2b2-c2 Биссектрисы треугольника Определение. Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла. Свойства биссектрис треугольника: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, - центре вписанной окружности. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника AEAB = ECBC Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°. Угол между lc и lc' = 90° Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный. Формулы биссектрис треугольника Формулы биссектрис треугольника через стороны: la = 2√bcp(p - a)b + c lb = 2√acp(p - b)a + c lc = 2√abp(p - c)a + b где p = a + b + c2 - полупериметр треугольника Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол: la = 2bc cosα2b + c lb = 2ac cosβ2a + c lc = 2ab cosγ2a + b Высоты треугольника Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону. В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника - для остроугольного треугольника; совпадать с его стороной - для катета прямоугольного треугольника; проходить вне треугольника - для острых углов тупоугольного треугольника. Свойства высот треугольника Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный. ha:hb:hc = 1a:1b:1c = (bc):(ac):(ab) 1ha + 1hb + 1hc = 1r Формулы высот треугольника Формулы высот треугольника через сторону и угол: ha = b sin γ = c sin β hb = c sin α = a sin γ hc = a sin β = b sin α Формулы высот треугольника через сторону и площадь: ha = 2Sa hb = 2Sb hc = 2Sc Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности: ha = bc2R hb = ac2R hc = ab2R Задача 3. По координатам вершин пирамиды АВСD средствами векторной алгебры найти: 1) длины ребер АВ и АС; 2) угол между ребрами АВ и АС; 3) площадь грани АВС; 4) проекцию вектора AB на AC ; 5) объем пирамиды. Координаты точек: А (5;1;0) В (7;0;1) С (2;1;4) D (5;5;3) проекцию вектора AB на AC Решение: Найдем вектор по координатам точек: AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} = {7 - 5; 0 - 1; 1 - 0} = {2; -1; 1} AC = {Cx - Ax; Cy - Ay; Cz - Az} = {2 - 5; 1 - 1; 4 - 0} = {-3; 0; 4} AC AB = AB · AC / AC| Найдем скалярное произведение векторов: AB · AC = ABx · ACx + ABy · ACy + ABz · ACz = 2 · (-3) + (-1) · 0 + 1 · 4 = - 6 + 0 + 4 = -2 Найдем длину (модуль) вектора: |AC| =√ ACx2 + ACy2 + ACz2 =√ (-3)2 + 02 + 42 =√ 9 + 0 + 16 = √25 = 5 ACAB = -2/5 площадь грани АВС Решение: Найдем вектор по координатам точек: AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} = {7 - 5; 0 - 1; 1 - 0} = {2; -1; 1} AC = {Cx - Ax; Cy - Ay; Cz - Az} = {2 - 5; 1 - 1; 4 - 0} = {-3; 0; 4} S= 1/2|AB × AC| Найдем векторное произведение векторов: c = AB × AC AB × AC = i j k = i j k ABxAByABz 2 -1 1 ACxACyACz = -3 0 4 = i ((-1)·4 - 1·0) - j (2·4 - 1·(-3)) + k (2·0 - (-1)·(-3)) = = i (-4 - 0) - j (8 + -3) + k (0 - 3) = {-4; -11; -3} Найдем длину (модуль) вектора: |c| =√ cx2 + cy2 + cz2 = √ (-4)2 + (-11)2 + (-3)2 = √16 + 121 + 9 = √146 Найдем площадь треугольника: S = 1/2 ·√ 146 =√ 36.5 ≈ 6.041522986797286 объем пирамиды Решение: Найдем вектор по координатам точек: AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} = {7 - 5; 0 - 1; 1 - 0} = {2; -1; 1} AC = {Cx - Ax; Cy - Ay; Cz - Az} = {2 - 5; 1 - 1; 4 - 0} = {-3; 0; 4} AD = {Dx - Ax; Dy - Ay; Dz - Az} = {5 - 5; 5 - 1; 3 - 0} = {0; 4; 3} V = 1/6|AB · [AC × AD]| Найдем смешанное произведение векторов: AB · (AC × AD) = ABxAByABz 2 -1 1 ACxACyACz -3 0 4 ADxADyADz = 0 4 3 = = 2·0·3 + (-1)·4·0 + 1·(-3)·4 - 1·0·0 - (-1)·(-3)·3 - 2·4·4 = 0 + 0 - 12 - 0 - 9 - 32 = -53 Найдем объем пирамиды: V = 1/6 · 53 = 53/6 угол между ребрами АВ и АС; Решение: Найдем вектор по координатам точек: AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} = {7 - 5; 0 - 1; 1 - 0} = {2; -1; 1} AC = {Cx - Ax; Cy - Ay; Cz - Az} = {2 - 5; 1 - 1; 4 - 0} = {-3; 0; 4} Найдем скалярное произведение векторов: AB · AC = ABx · ACx + ABy · ACy + ABz · ACz = 2 · (-3) + (-1) · 0 + 1 · 4 = - 6 + 0 + 4 = -2 Найдем длину (модуль) вектора: |AB| = √ ABx2 + ABy2 + ABz2 = √ 22 + (-1)2 + 12 = √ 4 + 1 + 1 = √ 6 |AC| = √ ACx2 + ACy2 + ACz2 =√ (-3)2 + 02 + 42 = √ 9 + 0 + 16 =√ 25 = 5 Найдем угол между векторами: cos α = AB · AC / | AB|·|AC| cos α = -2/√ 6 · 5 = -1/15·√6 ≈ -0.16329931618554522 α = 99.39845251751433° ) длины ребер АВ и АС |AB|=√(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2=√(7−5)2+(0−1)2+(1−0)2==√22+(−1)2+12= √4+1+1= √6 ≈ 2.449; |AC|=√(xC−xA)2+(yC−yA)2+(zC−zA)2=√(2−5)2+(1−1)2+(4−0)2=√(−3)2+02+42= √9+0+16= √25 = 5 |