Задача 1. Пусть а в. Упростить выражения а в, АВ, а в с, АВС

• Название: Задача 1. Пусть а в. Упростить выражения а в, АВ, а в с, АВС
• Дата: 01.06.2019
• Размер: 0.77 Mb.
• Имя файла: Teoria_veroyatnostey.doc
• Тип: Задача; #79852
• страница: 6 из 7

y

1
-1 1 x

-1

11.13. Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью:



Область D - квадрат, ограниченный линиями x = 0; x = 3; y = 0; y =3.

Найти: а) Коэффициент a; б) вероятность попадания случайной точки (x, y) в квадрат, ограниченный прямыми x = 1, x = 2, y = 1, y = 2; в)

11.14. Определить плотность распределения вероятностей, математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин (X, Y), если ,

11.15. Плотность совместного распределения случайных величин (X,Y): Определить: 1) коэффициент A; 2) законы распределения каждой из случайных величин, входящих в систему; 3) математичес-

кие ожидания каждой из случайных величин.

11.16. Плотность совместного распределения системы случайных величин X, Y равна . Найти коэффициент a. Установить, являются ли величины зависимыми. Определить вероятность совместного выполнения двух неравенств x < -3; y <4.

11.17. Координаты случайной точки (X,Y) раcпределены равномерно внутри прямоугольника, ограниченного прямыми x = 0, x = a, y = 0, y = b. Определить вероятность попадания случайной точки в круг радиуса R = a ,если a > b, а центр круга совпадает с началом координат.

11.18. Координаты (X, Y) случайной точки распределены равномерно внутри прямоугольника, ограниченного прямыми x = a, x = b, y = c , y = d (в > a , d > c). Найти плотность распределения вероятностей и функцию распределения системы случайных величин X, Y. Выяснить, являются ли X, Yнезависимыми величинами.

11.19. Плотность совместного распределения случайных величин X, Y равна:

в области D и f(x,y)=0 вне этой области. Область D- треугольник, ограниченный прямыми Найти а) ; б) коэффициент корреляции , дисперсии

11.20. Плотность совместного распределения системы случайные величины

(X, Y), заданной внутри круга радиуса R , равна . Опреде-лить: 1) постоянную C; 2) вероятность попадания в круг радиуса a < R, если центры обоих кругов совпадают с началом координат.

11.21. Плотность совместного распределения системы случайных величин

(X, Y): в области D и вне этой области. Область D определяется неравенствами Определить: a) постоянную a;

б) ; в) определить коэффициент корреляции r _xy.

11.22. Дана плотность совместного распределения системы случайных величин . Определить вероятность попадания случайной точки (x, y)в прямоугольник с вершинами в точках (0; 0), (1; 0), (0; 1), (1; 1).

11.23. Плотность распределения вероятностей двумерного случайного вектора (X, Y)имеет следующий вид: .

Вычислить: а) значение постоянной c; б) вероятность ); в) центр рассеивания.

11.24. Случайные величины X и Y независимы и распределены каждая по показательному закону с параметрами соответственно ₁ и ₂. Найти вероятность

11.25. Функция совместного распределения двух случайных величин X и Y имеет следующий вид:



Найти одномерные законы распределения компонент и решить вопрос об их зависимости или независимости.

11.26. Случайные величины X и Y независимы и распределены следующим образом: X - по закону N(1; 2), Y - по равномерному закону на отрезке [0; 2].

Найти вероятность следующих событий: , где область

D = {(x,y) / (0 x2, 0y1); B = {X > Y}.

11.27. Случайная точка на плотности (X,Y) распределена по круговому нормальному закону (r_xy = 0, _x = _y =  = 1,) с центром рассеивания в начале координат. Вычислить вероятности следующих событий: A = {Y > X},

B = {Y> X}, C = {Y < 3X}, D = {X < 1}, E = {X < 1, Y < 2}.

11.28. Заданы следующие характеристики двумерного нормального вектора:

m_x = -2; m_y = 3 и ковариационная матрица . Записать выражение для плотности распределения вероятностей f(x, y) и вычислить вероятность попадания в эллипс рассеивания с полуосями a = 2_x, b = 2_y.

11.29. Определить вероятность попадания точки с координатами (X, Y) в область, определяемую неравенствами (1  X  2, 1  Y  2), если функция распреде-ления

11.30. Определить математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин (X, Y), если плотность распределения вероятностей
ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

Задача 1. На рис. 1 и 2 изображены электрические схемы. Выключатели изображены кружками, в которых указан номер выключателя. Записать через события - «включен выключатель с номером » для каждой схемы следующие события: - «ток идет» и - «ток не идет».


1

3

2

1

3

2

Рис. 1 Рис. 2

Решение. В схеме, приведенной на рис. 1, ток идет, если включены или 1 и 3 выключатели, или выключатель2. Эти события соответственно равны и . Поэтому событие . В схеме (рис. 1) ток не идет, если выключены выключатель 2 и хотя бы один из выключателей 1 или3. Эти события соответственно равны и . Поэтому событие . Иначе, используя свойства операций над событиями,

.

Для схемы (рис. 2) , .

Задача 2. Наудачу взятый телефонный номер состоит из пяти цифр. Как велика вероятность, что в нем: а) все цифры различные; б) все цифры нечетные?

Решение. а) Событие - все цифры различные. , где - число всех элементарных равновозможных событий, m - число элементарных равновозможных событий, благоприятных наступлению события . Пусть - число всевозможных способов выбора 5 цифр из 10 возможных, причем цифры могут повторяться, поэтому . m - число всевозможных способов выбора 5 цифр из 10 возможных, но цифры должны быть различными, поэтому (порядок для телефонного номера важен). Таким образом, .

б) Событие - все цифры нечетные. , - число всевозможных способов выбора 5 цифр из 5 нечетных, причем цифры могут повторяться, поэтому . Таким образом,

Задача 3. Некто написал 3 письма, запечатал их в конверты, а затем наудачу на каждом из них написал различные адреса. Определить вероятность того, что хотя бы на одном из конвертов написан правильный адрес.

Решение. Пусть событие состоит в том, что на k-м конверте написан правильный адрес (). Искомая вероятность , так как события А₁, А₂, А₃ совместны, то

.

Для всех . Таким образом,

.

Задача 4. Три станка подают детали в общий бункер. Вероятность выпуска бракованной детали для первого станка равна 0,03, для второго – 0,02 и для третьего – 0,01. Производительность первого станка в три раза больше производительности второго, а производительность третьего станка в два раза больше производительности второго. Какова вероятность того, что взятая наудачу из бункера деталь будет бракованной?

Решение. Пусть событие - деталь, взятая наудачу из бункера, бракованная. Событие может произойти только совместно с одним из следующих событий: - деталь изготовлена на 1-м станке, - на 2-м станке, - на 3-м станке. События образуют полную группу несовместных событий, поэтому

. Если принять производительность второго станка за k, то производительность первого станка - 3k, третьего – 2k. Тогда

Задача 5. Найти вероятность того, что среди 200 изделий окажется более трех бракованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1%.

Решение. Пусть событие - бракованных изделий окажется более трех.

- бракованных изделий не более трех.

где

.

.

Задача6. Производится два независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна . Рассматриваются случайные величины:

- разность между числом попаданий и числом промахов; - сумма числа попаданий и числа промахов. Построить для каждой из случайных величин , ряд распределения. Найти их характеристики .

Решение. Случайная величина может принимать следующие значения: (0 попаданий, 2 промаха), (1 попадание, 1 промах), (2 по-падания, 0 промахов). Вероятности значений случайной величины находятся по формуле Бернулли: .

Ряд распределения будет иметь вид

Х	-2	0	2