П.З. № 2. Спектр период и непериод сигналов (2). Задача 1 срс2
 Скачать 0.96 Mb.
|
|
П.З. № 2. Спектр периодического и непериодического сигналов Задача 1 СРС-2 На рисунке приведена временная диаграмма периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов. 1. Построить временную диаграмму сигнала с указанием масштаба по осям. 2. Написать математическую модель сигнала. 3. Разложить сигнал в ряд Фурье: рассчитать значения постоянной составляющей, амплитуд и начальных фаз 10 первых гармонических составляющих (гармоник). 4. Построить спектральную диаграмму сигнала. 5. Написать математическую модель сигнала с помощью ряда Фурье. 6. По математической модели сигнала с помощью ряда Фурье, для двух случаев: 5-и и 10-и гармонических составляющих, рассчитать значение сигнала в момент времени t0: u(t0)расчетное. 7. Определить относительные погрешности от реального значения сигнала в этот момент времени u(t0)реальное, найденного по временной диаграмме сигнала. 8. Сделать выводы: - сравнить значения погрешностей в 2-х случаях и пояснить их; - назвать количество составляющих в одном лепестке огибающей спектра, значения частот нуля огибающей спектра и пояснить их. U = 10 В; t0 = 0,5∙ мВ; = 0,25 мс; Т = 1 мс. 0 Т Т+ 2Т 2Т+ t, мс u(t), В U ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 0 0,25 1 1,25 2 2,25 t, мс u(t), В 10 ∙ ∙ ∙ 1. 2. Временная диаграмма сигнала Математическая модель сигнала 10, 0+10-3·k t 0,25·10-3 +10-3·k; k=0,±1, ±2 … u(t)= 0, в другие интервалы времени ∙ ∙ ∙ Решение задачи 1 3. U0 = U/S; Uk0=2U/S; k/S рад, при Sin(k/S)0 k= k/S+ рад, при Sin(k/S)<0 S=T/; Uk=2U/(k)·Sin(k/S); 1=2/Т; U1 = 20/·Sin(/4) = 4,5 В. 1= /S = /4 рад. U2 = 20/(2)·Sin(2/4) = 3,18 В. 2= 2/S = /2 рад. U3 = 20/(3)·Sin(3/4) = 1,5 В. 3= 3/S = 3/4 рад. U0 = 10/4 = 2,5 В. Uk0=20/4 = 5 В. U4 = 20/(4)·Sin(4/4) = 0 В. U5 = 20/(5)·Sin(5/4) = 0,9 В. 5= 5/S+ = 5/4+= 9/4= /4 рад. U6 = 20/(6)·Sin(6/4) = 1,06 В. 6= 6/S+ = 6/4+= 10/4= /2 рад. U7 = 20/(7)·Sin(7/4) = 0,64 В. 7= 7/S+ = 7/4+= 11/4= 3/4 рад. U8 = 20/(8)·Sin(8/4) = 0 В. U9 = 20/(9)·Sin(9/4) = 0,5 В. 9= 9/S = 9/4= /4 рад. U10=20/(10)·Sin(10/4)=0,64 В. 10= 10/S = 10/4= /2 рад. S =1/0,25= 4. 1 = 2/(1·10-3) = 2·103 рад/с = 2 крад/с. Спектральная диаграмма сигнала 5 U, В; , рад 4,5;/4 2,5 3,18;/2 1,5;3/4 0,9;/4 1,06;/2 0,64;3/4 0,5;/4 0,64;/2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f, кГц 4. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 , крад/с 5. u(t) = 2,5 + 20/(k)·Sin(k/4)·Cos(2·103·k·t - k), В u(t) = 2,5 + 4,5·Cos(2·103·t - /4) + 3,18·Cos(4·103·t - /2) + + 1,5·Cos(6·103·t - 3/4) + 0,9·Cos(10·103·t - /4) + +1,06·Cos(12·103·t - /2) + 0,64·Cos(14·103·t - 3/4) + + 0,5·Cos(18·103·t - /4) + 0,64·Cos(20·103·t - /2), В. u(t0)расчетное = u(0,125∙10-3)расчетное u(0,125∙10-3)расчетное(0-5) = 2,5 + 4,5·Cos(2·103·0,125∙10-3-/4) + + 3,18·Cos(4·103·0,125∙10-3-/2) + 1,5·Cos(6·103·0,125∙10-3-3/4) + + 0,9·Cos(10·103·0,125∙10-3-/4) = 10,78 В. 6. t0 = 0,5∙ = 0,5∙0,25 = 0,125 мс = 0,125∙10-3 с. u(0,125∙10-3)расчетное(0-10) = u(0,125∙10-3)расчетное(0-5)+u(0,125∙10-3)расчетное(6-10) = = 10,78 + 1,06·Cos(12·103·0,125∙10-3-/2) + 0,64·Cos(14·103·0,125∙10-3-3/4) + + 0,5·Cos(18·103·0,125∙10-3-/4) + 0,64·Cos(20·103·0,125∙10-3-/2) = = 10,78 - 0,56 = 10,22 В. абс(0-5) = |u(0,125 мс)расчетное(0-5) - u(0,125 мс)реальное| = |10,78 - 10|=0,78 В. отн(0-5) = абс(0-5)/U = 0,78/10 = 0,078; (7,8 %). 7. По временной диаграмме сигнала: u(t0)реальное = u(0,125∙10-3)реальное = u(0,125 мс)реальное = 10 В. абс(0-10) = |u(0,125 мс)расчетное(0-10) - u(0,125 мс)реальное| = |10,22 - 10| = 0,22 В. отн(0-10) = абс(0-10)/U = 0,22/10 = 0,022; (2,2 %). u(t0)расчетное = u(0,6∙10-3)расчетное u(0,6∙10-3)расчетное(0-5) = 2,5 + 4,5·Cos(2·103·0,6∙10-3-/4) + + 3,18·Cos(4·103·0,6∙10-3-/2) + 1,5·Cos(6·103·0,6∙10-3-3/4) + + 0,9·Cos(10·103·0,6∙10-3-/4) = 0,38 В. 6. Проведем такие же расчеты для момента времени: t0 = 0,6∙Т = 0,6∙1 = 0,6 мс = 0,6∙10-3 с. u(0,6∙10-3)расчетное(0-10) = u(0,6∙10-3)расчетное(0-5)+u(0,6∙10-3)расчетное(6-10) = = 0,38 + 1,06·Cos(12·103·0,6∙10-3-/2) + 0,64·Cos(14·103·0,6∙10-3-3/4) + + 0,5·Cos(18·103·0,6∙10-3-/4) + 0,64·Cos(20·103·0,6∙10-3-/2) = = 0,38 - 0,408 = - 0,028 В. абс(0-5) = |u(0,6 мс)расчетное(0-5) - u(0,6 мс)реальное| = |0,38 - 0|=0,38 В. отн(0-5) = абс(0-5)/U = 0,38/10 = 0,038; (3,8 %). 7. По временной диаграмме сигнала: u(t0)реальное = u(0,6∙10-3)реальное = u(0,6 мс)реальное = 0 В. абс(0-10) = |u(0,6 мс)расчетное(0-10) - u(0,6 мс)реальное| = |-0,028 - 0| = 0,028 В. отн(0-10) = абс(0-10)/U = 0,028/10 = 0,0028; (0,28 %). 8. Выводы: 1. Погрешность расчета значения сигнала по математической модели с помощью ряда Фурье, при учете 10 составляющих спектра сигнала (2,2 % и 0,28 %) меньше, чем при 5 составляющих (7,8 % и 3,8 %). Чем больше составляющих ряда Фурье будет учтено, тем меньше будет погрешность. При стремлении числа составляющих к бесконечности погрешность будет стремиться к нулю. 2. Число составляющих в одном лепестке огибающей спектра равно скважности последовательности (S = 4; 4 составляющих). 3. Значения частот нуля огибающей спектра соответствуют частотам составляющих с номерами кратными скважности последовательности: 4-я (8 рад/с), 8-я (16 рад/с), ... т.е. в спектре сигнала отсутствуют составляющие с номерами кратными скважности последовательности (4-я, 8-я, …). U=1 В; S=2. Частота следования импульсов периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов (ПППВИ) 25 кГц, скважность равна 2, амплитуда постоянной составляющей в спектре ПППВИ равна 1 В. Рассчитайте ограниченную ширину спектра ПППВИ и амплитуду третьей гармоники. Задача 2 f1 = 25 кГц; S =2; U0 = 1 В. Δf = ? U3 =? Решение задачи 2 Uk = 2U/(k)·Sin(k/S) U3 = 4/(3)·Sin(3/2) = 0,42 В. U0 = U/S; U = U0·S = 1·2 = 2 В. 1). Δf ≈ 1/τ S = Т/τ; τ = Т/S; f1 = 1/Т; Т = 1/f1 Т = 1/(25·103) = 40·10-6 с = 40 мкс; τ = 40/2 = 20 мкс. Δf ≈ 1/(20·10-6) = 50000 Гц = 50 кГц. Δf ≈ S·f1 Δf ≈ 2·25 = 50 кГц 2). Задача 3 Определите ограниченную ширину спектра периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов (ПППВИ), если период следования импульсов равен 40 мкс, скважность равна 4, амплитуда второй гармоники в спектре ПППВИ равна 5 В. Рассчитайте спектральный состав ПППВИ в пределах выбранной ширины спектра. Постройте временную и спектральную диаграммы. Т = 40 мкс; S = 4; U2 = 5 В; Δf = ? Uk = 2U/(k)·Sin(k/S) U2 = 2U/(2)·Sin(2/4) = U/·Sin(/2) = U/; U = U2·π. U = 5·π =15,71 В. U0 = U/S; U0 = 15,7/4 = 3,93 В; Uk0=2U/S; Uk0=2·15,71/4 = 7,86 В. Δf ≈ 1/(10·10-6) = 100000 Гц = 100 кГц. Δf ≈ 4·25 = 100 кГц Δf ≈ 1/τ S = Т/τ; τ = Т/S = 40/4 = 10 мкс; 1) 2) Δf ≈ S·f1 f1 = 1/Т = 1/(40·10-6) = 25000 Гц = 25 кГц. Решение задачи 3 U1 = 2·15,71/·Sin(/4) = 7,07 В. U2 = 2·15,71/(2)·Sin(2/4) = 5 В. – это проверка заданного значения U3 = 2·15,71/(3)·Sin(3/4) = 2,36 В. 3 = 3/4 рад U4 = 2·15,71/(4)·Sin(4/4) = 2·15,71/(4)·Sin() = 0 В. Uk = 2U/(k)·Sin(k/S) k/S рад, при Sin(k/S)0 k= k/S+ рад, при Sin(k/S)<0 1 = /4 рад 0 10 40 50 80 90 t, мкс u(t), В 15,71 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ Временная диаграмма сигнала Спектральная диаграмма сигнала 7,86 U, В; , рад 7,07;/4 3,93 5;/2 2,36;3/4 0 25 50 75 100 f, кГц 2 = 2/4 = /2 рад На рисунке приведен спектр периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов (ПППВИ). Определите длительность, частоту следования импульсов, постоянную составляющую в спектре ПППВИ, если амплитуда импульсов равна 1,6 В, период следования 10 мс. Задача 4 U = 1,6 В; Т = 10 мс. τ = ? f1 = ? U0 = ? S = 4 S = Т/τ; τ = Т/S = 10/4 = 2,5 мс. f1 = 1/Т = 1/(10·10-3) = 100 Гц; U0 = U/S = 1,6/4 = 0,4 В. Решение задачи 4 Рассчитайте спектральной состав периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов (ПППВИ) в пределах выбранной ширины спектра, если амплитуда импульсов равна 3 В, ширина спектра ПППВИ равна 100 кГц, период следования импульсов - 50 мкс. По результатам расчета постройте спектральную диаграмму амплитуд. Задача 5 U = 3 В; Δf = 100 кГц; Т = 50 мкс. f1 = 1/Т = 1/(50·10-6) = 20000 Гц = 20 кГц. U0 = U/S = 3/5 = 0,6 В. Uk = 2U/(k)·Sin(k/S) U1 = 2U/·Sin(/5) = 2·3/()·Sin(/5) = 1,12 В. U2 = 2U/(2)·Sin(2/5) = 3/·Sin(2/5) = 0,91 В. U3 = 2U/(3)·Sin(3/5) = 2·3/(3)·Sin(3/5) = 0,61 В. U4 = 2U/(4)·Sin(4/5) = 2·3/(4)·Sin(4/5) = 0,28 В. U5 = 2U/(5)·Sin(5/5) = 2·3/(5)·Sin() = 0 В. Nсоставл. = Δf/f1 Nсоставл. = 100/20 = 5; S = 5. Решение задачи 5 Спектральная диаграмма амплитуд сигнала 1,2 U, В; , рад 1,12 0,6 0.91 0,61 0 20 40 60 80 100 f, кГц 0,28 Задача 6 Параметры периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов: амплитуда импульсов 4 мB; длительность импульсов 2 мс; скважность последовательности S=4. Написать математическую модель сигнала, нарисовать его временную диаграмму. Нарисовать вид спектральной диаграммы сигнала с указанием его структуры, значения постоянной составляющей, значения огибающей спектра на нулевой частоте, частот составляющих и частот нуля огибающей спектра. U = 4 мВ; τ = 2 мс; S = 4. 4·10-3, 0+8·10-3·k t 2·10-3+8·10-3·k; k=0,±1, ±2 … u(t) = 0, в другие интервалы времени Математическая модель сигнала S=T/; T = S· = 4·2 = 8 мс. Решение задачи 6 Временная диаграмма сигнала 0 2 8 10 16 18 t, мс u(t), мВ 4 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 1 = 2/Т = 2/(8·10-3) = 250 рад/с. U0 = U/S = 4/4 = 1 мВ. Uk0 = 2U/S = 2·4/4 = 2 мВ. f1 = 1/(2) = 125 Гц. Спектральная диаграмма сигнала 2 U, мВ; , рад 1 0 125 375 625 875 1125 f, Гц U1;1 U3;3 U5;5 U2;2 U6;6 U7;7 U9;9 250 500 750 1000 Задача 7 Напишите математическую модель периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов, изображенной на рисунке. Нарисуйте вид спектральной диаграммы сигнала с указанием его структуры, значения постоянной составляющей, значения огибающей спектра на нулевой частоте, частот составляющих и частот нуля огибающей спектра. u(t), мВ 10 -50 -30 -10 10 30 50 t, мкс U = 10 мВ; τ = 20 мкс; Т = 40 мкс; S = Т/τ = 40/20 = 2. 1 = 2/Т = 2/(40·10-6) = 50·103 рад/с = 50 крад/с. f1 = 1/(2) = 25 кГц. U0 = U/S = 10/2 = 5 мВ. Uk0 = 2U/S = 2·10/2 = 10 мВ. Решение задачи 7 Математическая модель сигнала 10-2, - 10-5+4·10-5·k t 10-5+4·10-5·k; k=0,±1, ±2 … u(t) = 0, в другие интервалы времени Спектральная диаграмма сигнала 10 U, мВ; , рад 5 0 25 50 75 100 125 150 f, кГц U1; 1 U3; 3 U5; 5 Рассчитать спектральную плотность прямоугольного видеоимпульса длительностью 5 мкс и амплитудой 2 В на частотах 50 и 100 кГц. Определить ширину его ограниченного спектра и нарисовать вид его спектральной диаграммы с указанием частот нуля спектральной плотности и значения спектральной плотности на нулевой частоте. Задача 8 τ = 5 мкс; U = 2 В; f = 50 кГц; 100 кГц. S() = 2U/Sin(/2). = 2π·f; 1 = 2π·50 = 100π крад/с; 2 = 2π·100 = 200π крад/с. S1() = 2·2/(100π·103)Sin(100π·103·5·10-6 /2) = 9·10-6 В·с/рад = 9 мкВ·с/рад S2() = 2·2/(200π·103)Sin(200π·103·5·10-6/2) = 6,37·10-6 В·с/рад = 6,37 мкВ·с/рад S() = 0 Sin(/2) = 0; /2 = π; = 2π/; Δ = 2π/ Δ = 2π/(5·10-6) = 400000·π рад/с = 400·π крад/с Δf = 1/ Δf = 1/(5·10-6) = 200·103 Гц = 200 кГц. Решение задачи 8 S(), мкВс/рад 10 0 400 800 1200 , крад/с Спектральная диаграмма прямоугольного видеоимпульса S() = USin(/2)/(/2) 0; S() U = 25·10-6 = 10·10-6 Вс/рад = 10 мкВс/рад 100π 200π 9 6,37 Рассчитайте спектральную плотность одиночного прямоугольного видеоимпульса амплитудой 3 В, длительностью 10 мкс на частоте 0,5·Δf, где Δf- ширина ограниченного спектра сигнала. Задача 9 S() = 2U/Sin(/2). Δ ≈ 2π/(10·10-6) = 200000·π рад/с = 200·π крад/с. ≈ 0,5·Δ = 0,5·200·π = 100·π крад/с = π·105 рад/с S() = 2·3/(π·105)Sin(π·105·10·10-6/2) = 19·10-6 В·с/рад = 19 мкВ·с/рад Δ = 2π·Δf; Δf ≈ 1/τ Δ ≈ 2π/τ; Решение задачи 9 |