Практическая работа 4. Задача 10. Система управления состоит из 6000 элементов, средняя интенсивность отка зов которых

• Название: Задача 10. Система управления состоит из 6000 элементов, средняя интенсивность отка зов которых
• Дата: 23.05.2022
• Размер: 144.95 Kb.
• Имя файла: Практическая работа 4.pdf
• Тип: Задача; #544101

Задача 3.10. Система управления состоит из 6000 элементов, средняя интенсивность отка- зов которых
λ
ср.
= 0,16*10
-6 1/час. Необходимо определить вероятность безотказной работы в течении t
= 50 час и среднее время безотказной работы.
Задача 3.11. Прибор состоит из n
= 5 узлов. Надежность узлов характеризуется вероятно- стью безотказной работы в течение времени t
, которая равна: P
1
(t)=0,98; P
2
(t)=0,99;
P
3
(t)=0,998; P
4
(t)=0,975; P
5
(t)=0,985. Необходимо определить вероятность безотказной рабо- ты прибора.
Задача 3.12. Система состоит из пяти приборов, среднее время безотказной работы кото- рых равно: m
t1
=83 час; m t2
=220 час; m t3
=280 час; m t4
=400 час; m t5
=700 час .
Для приборов справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы системы.
Задача З.1З. Прибор состоит из пяти блоков. Вероятность безотказной работы каждого блока в течение времени t
= 50 час равна: P
1
(50)=0,98; P
2
(50)=0,99; P
3
(50)=0,998;
P
4
(50)=0,975; P
5
(50)=0,985. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы прибора.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №4
Расчет надежности системы с постоянным резервированием.
Теоретические сведения
При постоянном резервировании резервные элементы 1,2,.... соединены параллельно с основным (рабочим) элементом в течение всего периода работы системы. Все элементы соединены постоянно, перестройка схемы при отказах не происходит, отказавший элемент не отключается (рис .4.1.).
Вероятность отказа системы q c
(t) определяется формулой q t q t c
j j
m
( )
( ),
=
=
∏
0
(4.1) где q j
(t) - вероятность отказа j - го элемента .
Вероятность безотказной работы системы
[
]
P t
P t c
j j
m
( )
( ) ,
= −
−
=
∏
1 1
0
(4.2) где Р
j
(t) - вероятность безотказной работы j - го элемента
Если Р
j
(t) =Р(t), j = 0, 1, . . . , m
, то
[
]
q t q
t
P t
P t c
m c
m
( )
( );
( )
( )
=
= − −
⎫
⎬
⎭
+
+
1 1
1 1
(4.3)
При экспоненциальном законе надежности отдельных элементов имеем

(
)
P t
P t e
q t e
P t e
m i
j t
c t m c
t m tc i
m
( )
( )
;
( ) (
)
;
( )
;
=
=
= −
= − −
=
+
⎫
⎬
⎪
⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
−
−
+
−
+
=
∑
λ
λ
λ
λ
1 1
1 1
1 1
1 1
0
(4.4)
Резервирование называется общим, если резервируется вся система, состоящая из последо- вательного соединения n
элементов. Схема общего резервирования показана на рис.4.2.
Основная цепь содержит n
элементов. Число резервных цепей равно m
, т. е. кратность ре- зервирования равна m.
Определим количественные характеристики надежности системы с общим резервирова- нием (резервные цепи включены постоянно).
Запишем вероятность безотказной работы j - ой цепи
P t
P t j m
j ij j
n
( )
( );
, ,.., ,
=
=
=
∏
0 1 1
(4.5) где Р
ij
(t), j=0,1,2,...m; i=1,2,3,...,n - вероятность безотказной работы элемента Э
ij
Вероятность отказа j - ой цепи q t
P t c
ij i
n
( )
( )
= −
=
∏
1 1
. (4.6)
Вероятность отказа системы с общим резервированием q t
P t c
ij i
n j
m
( )
( ).
=
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=
=
∏
∏
1 1
0
. (4.7)
Вероятность безотказной работы системы с общим резервированием
P t
P t c
ij i
n j
m
( )
( )
= −
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=
=
∏
∏
1 1
1 0
. (4.8)
Частный случай: основная и резервные цепи имеют одинаковую надежность, т.е.
Р
ij
(t)=P
i
(t) . (4.9)
Тогда q t
P t c
i i
n m
( )
( )
;
=
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=
+
∏
1 1
1
(4.10)

p t p t c
i i
n m
( )
( )
= − −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=
+
∏
1 1
1 1
(4.11)
Рассмотрим экспоненциальный закон надежности, т. е.
P
i
(t)=e
-
λi t
(4.12)
В этом случае формулы (5.10), (5.11) примут вид q
c
(t)=(1-e
-
λ0
t
)
m+1
,
(4.13)
P
c
(t)=1-(1-e
-
λ0
t
)
m+1
,
(4.14)
λ
λ
0 1
=
=
∑
i i
n
, (4.15) где
λ
0
– интенсивность отказов цепи, состоящей из n элементов.
Частота отказов системы с о6щим резервированием
(
)
(
)
f t dp t dt m
e e
c c
t t m
( )
( )
= −
=
⋅
+
⋅ −
−
−
λ
λ
λ
0 1
1 0
0
. (4.16)
Интенсивность отказов системы с общим резервированием
(
)
(
)
(
)
λ
λ
λ
λ
λ
c c
c t
t m t m t
f t p t m
e e
e
( )
( )
( )
=
=
+
⋅ −
− −
−
−
−
+
0 1
1 1
1 1
0 0
0
(4.17)
Среднее время безотказной работы резервированной системы m
T
j tc j
m
=
+
=
∑
0 0
1 1
, (4.18) где Т
0
= 1/
λ
0
, - среднее время безотказной работы нерезервированной системы.
Решение типовых задач.
Задача 4.1. Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной работы элемента m
t
= 1000 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадежны. Необ- ходимо найти среднее время безотказной работы системы m
tc
, а также частоту отказов f c
(t) и интенсивность отказов
λ
с
(t) в момент времени t
= 50 час в следующих случаях: а) нерезервированной системы, б) дублированной системы при постоянно включенном резерве.
Решение.

а)
λ
λ
c i
i n
=
=
∑
1
, где
λс – интенсивность отказов системы; λ
i
- интенсивность отказов i - го элемента ; n
= 10.
λ
i
=1/
m ti
= 1/1000=0,001; i = 1,2, . . .,n ;
λ=λ
i
;
λ
c
=
λn=0,001*10=0,01 1/час; m
tc
=
1/
λ
c
=100 час; f
c
(t)=
λ
c
(t) P
c
(t);
λ
c
(50)=
λ
c
; P
c
(t)=e
-
λc t
; f
c
(50)=
λ
c e
-
λc t
=0,01*e
-0,01*50
≈6*10
-3 1/час;
λ
c
(50)=0,01 1/час. б) m
j
tc
c j
m
=
+
=
∑
1 1
1 0
λ
; m=1 ; m
tc
=
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
1 0 01 1
1 2
150
час ;
(
)
p t
e
c
t m
( )
= − −
−
+
1 1
0 1
λ
;
λ
0
=
λ
c
=0.01 1/час ;
(
)
p
e
e
e
c
t
t
t
= − −
=
−
−
−
−
1 1
2 0
0 0
2 2
λ
λ
λ
;
(
)
f t
dp t
dt
e
e
c
c
t
t
( )
( )
= −
=
⋅ −
−
−
2 1
0 0
0
λ
λ
λ
;
(
)
λ
λ
λ
λ
c
c
c
t
t
t
f t
p t
e
e
( )
( )
( )
=
=
−
−
−
−
2 1
2 0
0 0
; f
c
(50)
≈4.8∗10
-3 1/час ;
λ
c
(50)
≈5.7∗10
-3 1/час .
Задача 4.2. В системе телеуправления применено дублирование канала управления. Ин- тенсивность отказов канала
λ=10
-2 1/час. Рассчитать вероятность безотказной работы систе- мы Р
с
(t) при t=10 час, среднее время безотказной работы m
tc
, частоту отказов f c
(t), интен- сивность отказов
λ
с
(t) системы.
Решение. В данном случае n=1;
λ
i
=
λ ; λ
0
=n
λ=λ;m=1. По формуле (4.14) имеем
Р
с
(t)=1-(1-e
-
λ
t
)
2
;
Р
с
(10)=1-(1-e
-0,1
)
2
Из приложения П.7.14 [1] получим e
-0,1
=0,9048 .
Тогда
Р
c
(10)=1-(1-0,9048)
2
=1-0,0952 2
≈1-0,01=0,99 .
Определим m tс
. Из формулы (4.4) имеем m
i tc i
=
+
=
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
=
∑
1 1
1 1
1 1
2 150 0
1
λ
λ
час .
Определим частоту отказов f c
(t). Получим

(
)
f t dp t dt e
e c
c t
t
( )
( )
= −
=
⋅
⋅ −
−
−
2 1
λ
λ
λ
Определим интенсивность отказов
λ
с
(t). Имеем
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
c c
c t
t t
t t
t t
f t p t e
e e
e e
e
=
=
⋅ −
−
=
⋅ −
−
−
−
−
−
−
−
2 1
2 2
1 2
3адача 4.З. Нерезервированная система управления состоит из n = 5000 элементов. Для повышения надежности системы предполагается провести общее дублирование элементов.
Чтобы приближенно оценить возможность достижения заданной вероятности безотказной работы системы Р
с
(t) = 0,9 при t =10 час., необходимо рассчитать среднюю интенсивность отказов одного элемента при предположении отсутствия последействия отказов.
Решение. Вероятность безотказной работы системы при общем дублировании и равно- надежных элементах равна
P
c
(t)=1-(1-e
-
λnt
)
2 или
P
c
(t)=1-[1-P
n
(t)]
2
, где
P(t)=e
-
λt
Здесь Р(t) – вероятность безотказной работы одного элемента.
Так как должно быть
1-[1-P
n
(t)]
2
≥0,9
, то
( )
(
)
p t n
≥ −
1 01 1
Разложив
(
)
1 01 1
−
n по степени 1/n в ряд и пренебрегая членами ряда высшего по- рядка малости, получим
(
)
1 01 1
1 5000 01 1 6 32 10 1 5000 5
−
≈ −
= −
⋅
−
Учитывая, что P(t)= ехр (-
λt)≈1-λt , получим
1-
λt≥1-6,32*10
-5
или
λ≤(6,32*10
-5
)/t=(6,32*10
-5
)/10=6,32*10
-6 1/час.
Задачи для самостоятельного решения.
3адача 4.4. Приемник состоит из трех. блоков: УВЧ, УПЧ и УНЧ. Интенсивности от- казов этих блоков соответственно равны:
λ
1
= 4*10
-4 1/час;
λ
2
= 2,5*10
-4 1/час;
λ
3
= 3*10
-4 1/час. Требуется рассчитать вероятность безотказной работы приемника при t=100 час для следующих случаев: а) резерв отсутствует; б) имеется общее дублирование приемника в целом.
Задача 4.5. Для изображенной на рис.4.3. логической схемы системы определить P
c
(t), m
tc
, f c
(t),
λ
c
(t). Здесь резерв нагруженный, отказы независимы.

Задача 4.6. В радиопередатчике, состоящем из трех равнонадежных каскадов ( n = 3) применено общее постоянное дублирование всего радиопередатчика. Интенсивность отка- зов каскада равна
λ=5*10
-4 1/час. Определить P
c
(t), m tc
, f c
(t),
λ
c
(t) радиопередатчика с дуб- лированием.
Задача 4. 7. Для изображенной на рис.4.4. логической схемы системы определить ин- тенсивность отказов
λ
с
(t). Здесь резерв нагруженный, отказы независимы.
Задача 4.8. Радиоэлектронная аппаратура состоит из трех блоков I,II,III . Интенсивно- сти отказов этих трех блоков соответственно равны:
λ
1
,
λ
2
,
λ
3
. Требуется определить веро- ятность безотказной работы аппаратуры P
c
(t) для следующих случаев: а) резерв отсутствует; б) имеется дублирование радиоэлектронной аппаратуры в целом.
Задача 4.9.Схема расчета надежности изделия показана на рис.4.5. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов изделия. Интенсивно- сти отказов элементов имеют значения:
λ
1
= 0,3*10
-3 1/час;
λ
2
= 0,7*10
-3 1/час. Требуется най- ти вероятность безотказной работы изделия в течении времени t = 100 чаc, среднее время безотказной работы изделия, частоту отказов и интенсивность отказов в момент времени t=100 час.
Задача 4.10. В телевизионном канале связи, состоящем из приемника и передатчика, применено общее дублирование. Передатчик и приемник имеют интенсивности отказов
λ
п
=2*10
-3 1/час,
λ
пр
=1*10
-3 1/час, соответственно. Схема канала представлена на рис.4.6.
Требуется определить вероятность безотказной работы канала Р
c
(t), среднее время безот- казной работы m tс
, частоту отказов f c
(t), интенсивность отказов
λ
с
(t).
Задача 4.11. Схема расчета надежности изделия приведена на рис.4.7. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов изделия. Требуется оп- ределить интенсивность отказов изделия, если интенсивности отказов элементов имеют значения
λ
1
,
λ
2
Задача 4.12. Нерезервированная система управления состоит из n = 4000 элементов.
Известна требуемая вероятность безотказной работы системы Р
с
(t) = 0,9 при t = 100 час.
Необходимо рассчитать допустимую среднюю интенсивность отказов одного элемента, считая элементы равнонадежными, для того чтобы приближенно оценить достижение за- данной вероятности безотказной работы при отсутствии профилактических осмотров в сле- дующих случаях: а) резервирование отсутствует ; б) применено общее ду6лирование .
Задача 4.13. Устройство обра6отки состоит из трех одинаковых блоков. Вероятность безотказной ра6оты устройства Р
y
(t i
) в течение ( 0, t i
) должна быть не менее 0,9. Опреде- лить, какова должна быть вероятность безотказной работы каждого блока в течение ( 0, t i
) для случаев: а) резерв отсутствует; б) имеется пассивное общее резервирование с неизмен- ной нагрузкой всего устройства в целом; в) имеется пассивное раздельное резервирование с неизменной нагрузкой по блокам.
Задача 4.14. Вычислитель состоит из двух блоков, соединенных последовательно и ха- рактеризующихся соответственно интенсивностями отказов
λ
1
=120,54*10
-6 1/час и
λ
2
=185,66*10
-6 1/час. Выполнено пассивное общее резервирование с неизменной нагрузкой всей системы (блока 1 и 2) (см.рис.4.8) . Требуется определить вероятность безотказной ра- боты Р
с
(t) вычислителя, среднее время безотказной работы m tс
, частоту отказов f c
(t) и ин- тенсивность отказов
λ
с
(t) вычислителя. Определить Р
с
(t) при t = 20 час.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №5
Резервирование замещением в режиме облегченного