Высшая математика. Теория вероятностей_17 вар.. Задача 17. В некотором цехе брак составляет 4% всех изделий. Случайная величина

• Название: Задача 17. В некотором цехе брак составляет 4% всех изделий. Случайная величина
• Анкор: Высшая математика
• Дата: 14.01.2022
• Размер: 133.65 Kb.
• Имя файла: Теория вероятностей_17 вар..docx
• Тип: Задача; #330590

Задача 9.17. В некотором цехе брак составляет 4% всех изделий. Случайная величина ξ – число бракованных изделий среди наугад взятых 3 изделий.

Решение:

Случайная величина ξ – бракованных изделий среди наугад взятых. Значения, которые может принимать данная случайная величина ξ: 0, 1, 2, 3.

Отбор бракованных изделий независимы один от другого, вероятности отбора бракованных изделий равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что, по условию, , получим:





Проверяем полную вероятность:

Тогда закон распределения случайной величины X:

	0	1	2	3
	0,884736	0,110592	0,004608	0,000064

Ответ:

	0	1	2	3
	0,884736	0,110592	0,004608	0,000064

Задача 10.17. На станцию метро в течение определенного времени суток направляется простейший поток пассажиров с плотностью 180 чел./ч. Найти вероятность того, что:

а) за 2 мин на станцию войдут ровно 7 пассажиров;

б) за 0,1 мин на станцию войдут хотя бы 2 пассажира;

в) за 1 мин на станцию не войдет ни один пассажир.

Решение:

По условию . События, состоящие в том, что на станцию зайдут пассажиры, независимы. Воспользуемся формулой Пуассона:



а) Найдем вероятность того, что за 2 мин на станцию войдут ровно 7 пассажиров



б) Найдем вероятность того, что за 0,1 мин на станцию войдут хотя бы 2 пассажира:



в) Найдем вероятность того, что за 1 мин на станцию не войдет ни один пассажир:



Ответ: а) 0,13767; б) 0,0036; в) 0,04979.

Задача 11.17. Для непрерывной случайной величины ξ дана функция распределения , содержащая параметр a. Найти:

а) значение параметра a;

б) плотность распределения и построить графики функций и ;

в) вероятность попадания НСВ ξ на отрезок [b; c];

г) основные числовые характеристики:



Решение:

а) Постоянную aнайдем из условий:



Функция распределения имеет вид:



б) Найдем плотность распределения :



Построим и


в) Вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее отрезок [b; c] вычислим по формуле:



г) Математическое ожидание равно:



Дисперсия:



Среднеквадратическое отклонение:



Задача 12.17. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию с интервалом движения 5 мин. Пусть случайная величина ξ – время ожидания автобуса пассажиром, подошедшим к остановке в некоторый момент времени, распределена равномерно. Требуется найти:

а) плотность вероятности и функцию распределения ;

б) вероятность того, что пассажир будет ожидать очередной автобус менее 2 мин;

в) среднее время ожидания автобуса и дисперсию времени ожидания.

Решение:

а) Плотность распределения случайной величины ξ, распределенной равномерно в интервале вычисляется по формуле:





Функция распределения случайной величины ξ, распределенной равномерно в интервале вычисляется по формуле:



Подставим значения в формулу, получим:



б) вероятность попадания случайной величины в интервал (4; 5) вычислим по формуле:



Вероятность того, что пассажир будет ожидать очередной автобус менее 2 мин, равна:



в) Математическое ожидание вычислим по формуле:



Дисперсию вычислим по формуле:



Задача 13.17. Испытываются два независимо работающий элементов. Длительность времени безотказной работы каждого элемента имеет показательное распределение с параметрами соответственно 0,01 и 0,02. Записать плотность вероятности для каждого элемента и найти вероятность того, что в течение времени t = 50 (в часах):

а) оба элемента будут работать;

б) откажет хотя бы один элемент.

Решение:

Плотность вероятности случайной величины ξ, имеющей показательное распределение с параметром вычисляется по формуле:





а) Найдем вероятность того, что в течение времени t = 50 (в часах) оба элемента будут работать:



б) Событие B – хотя бы один элемент откажет. – ни один элемент не откажет.

Искомая вероятность вычислим по формуле:



Задача 14.17. Расстояние, на котором обнаруживается радиолокационной станцией маловысотная цель, является случайной величиной ξ, подчиненной нормальному закону с параметрами m = 80 км и σ = 20 км. Требуется:

а) записать выражение для плотности вероятности ;

б) найти вероятность обнаружения цели на расстоянии, большем чем 65 км;

в) найти вероятность того, что обнаружение цели произойдет на расстоянии от 65 до 90 км;

г) определить максимальное расстояние, на котором цель обнаруживается с вероятностью не менее 0,785.

Решение:

а) Формула плотности нормального закона распределения имеет вид:





б) Вероятность попадания случайной величины в интервал (α; β) вычислим по формуле:



где – функция Лапласа, которая находится по таблице значения функции Лапласа.

Искомая вероятность равна:



в) вероятность того, что обнаружение цели произойдет на расстоянии от 65 до 90 км равна:



г) Найдем искомый интервал с помощью формулы:

Учитывая, что неравенство равносильно неравенству , получим .

По условию эта вероятность равна 0,785, следовательно:



По таблице значений функции Лапласа находим . Отсюда, . Таким образом, искомый интервал имеет вид: или .

Значит максимальное расстояние, на котором цель обнаруживается с вероятностью не менее 0,785 равна 104,8 км.