Пример 1. Задача 2. 1 Найти скалярное произведение векторов a и b, если 1 Решение

• Название: Задача 2. 1 Найти скалярное произведение векторов a и b, если 1 Решение
• Дата: 14.03.2023
• Размер: 93.08 Kb.
• Имя файла: Пример 1.docx
• Тип: Задача; #989967

Пример 1. (Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, Л.А.Беклемешева, А.Ю.Петрович, И.А.Чубаров., задача №2.1)
Найти скалярное произведение векторов a и b, если:

1) 
Решение:
Известны длины векторов и угол между ними, т.е. следует использовать формулу

.


Подставим: 
Замечание: угол между векторами острый – скалярное произведение положительно.
Ответ: 
2) 
Решение:
Известны длины векторов и угол между ними, т.е. следует использовать формулу

.


Подставим: 
Замечание: угол между векторами тупой – скалярное произведение отрицательно.
Ответ: -21
3) 
Решение:
Известны длины векторов и угол между ними, т.е. следует использовать формулу

.


Подставим: 
Замечание: угол между векторами прямой (вектора перпендикулярны) – скалярное произведение равно нулю. Этот факт применяют в случае, если требуется определить, являются ли вектора взаимоперпендикулярными.
Ответ: 0
4)   , a и b сонаправлены.
Решение:
Известны длины векторов и то, что они сонаправлены, т.е. они параллельны или лежат на одной прямой и направлены в одну сторону.




Угол между ними равен нулю. Используем ту же формулу

.


Подставим: 
Ответ: 5.
5)   , a и b противоположно направлены.
Решение:
Известны длины векторов и то, что они противоположно направлены, т.е. они параллельны или лежат на одной прямой и направлены в разные стороны.




Угол между ними развернутый, т.е. равен 180 градусов.
Подставим: 
Ответ: -6.

Пример 2.
Найти скалярное произведение векторов
 и  .
Решение:
Здесь векторы a и b заданы как суммы базисных векторов (в ортонормированном базисе), т.е. они имеют координаты   и  .
Известны их координаты, поэтому для вычисления скалярного произведения применим формулу 
(стрелочки над векторами ставить не будем, как и в большинстве задачников, но, вообще говоря, они должны быть).
Подставим: 
Ответ: -13.

Пример 3.
Вычислить скалярное произведение  , если известно, что   и  .
Замечание: здесь использовано альтернативное обозначение операции скалярного умножения векторов:  .
Решение:
Первый вектор в скалярном произведении:  . Найдем его координаты, используя элементы векторной алгебры.




Аналогично со вторым вектором:  . Найдем его координаты, используя элементы векторной алгебры.



Далее по формуле:




Ответ: -54,12

Пример 4:
Вычислить скалярное произведение  , если известно, что  .
Решение:
Здесь неизвестны координаты векторов a и b, поэтому найти координаты векторов   и   затруднительно.
Используем свойства скалярного произведения (см. Свойства скалярного произведения векторов.):

 =


Применим свойство 7)



И свойство 6)




И свойство 3)




И свойство 1)




Ответ: 
Пример 5.
Найти угол   между векторами   и 
Решение:
Применим формулу




Подставим




Ответ: