тест 1. высшая математика. Задача 3 Исследовать и найти общее решение системы линейных однородных уравнений. 2 x

• Название: Задача 3 Исследовать и найти общее решение системы линейных однородных уравнений. 2 x
• Анкор: тест 1.2
• Дата: 08.10.2022
• Размер: 114.13 Kb.
• Имя файла: высшая математика.rtf
• Тип: Задача; #721635

Задание 1

РАЗДЕЛ № 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Задача 3

Исследовать и найти общее решение системы линейных однородных

уравнений.

2x-x+3x-7x=0

6x-3x+x-4x=0

4x-2x+14x-31x=0

решение:

Выпишем основную матрицу системы:

2	-х	3	-7
6	-3	0	-4
4	-2	14	-31
x1	x2	x3	x4

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Умножим 1-ую строку на (-3). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	-3	-9	17
6	-3	0	-4
4	-2	14	-31

Умножим 2-ую строку на (-2). Умножим 3-ую строку на (3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	-3	-9	17
0	0	42	-85
4	-2	14	-31

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

0	0	42	-85
0	-3	-9	17
4	-2	14	-31

Найдем ранг матрицы.

0	0	42	-85
0	-3	-9	17
4	-2	14	-31

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 3.

Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2,x3, значит, неизвестные x1,x2,x3 – зависимые (базисные), а x4 – свободные.

Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

0	0	42	85
0	-3	-9	-17
4	-2	14	31

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:

42x3 = 85x4

- 3x2 - 9x3 = - 17x4

4x1 - 2x2 + 14x3 = 31x4

Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2,x3 через свободные x4, то есть нашли общее решение:

x1 = 13/28x4

x2 = - 17/42x4

x3 = 85/42x4

РАЗДЕЛ № 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Задача 1

Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку А

перпендикулярно вектору®BC. Написать ее общее уравнение, а также нормальное уравнение плоскости и уравнение плоскости в отрезках. Составить уравнение плоскости P1, проходящей через точки А, В, С. Найти угол между плоскостями Р и P1. Найти расстояние от точки D до плоскости Р.

A 1,3,5

B 0,2,0