9. Задача 8.4
Случайная величина ξ имеет плотность распределения  с заданной дисперсией  . 1) найти константы a и b; 2) найти функцию распределения  построить графики функции распределения и плотности распределения; 3) найти медиану, коэффициенты асимметрии и эксцесса; 4) выяснить, зависимы или нет события А и В; 5) случайная величина ξ измеряется в трех независимых испытаниях. По результатам строят новую случайную величину η, которая равна 1, если хотя бы при одном измерении произошло событие А; равна 0, если А не произошло ни разу, но хотя бы раз произошло событие  , и принимает значение -1 во всех остальных случаях. Найти  и  .
|
Решение:
Функция плотности распределения:
Функция распределения:
а) 
б) 
в) 
График плотности распределения сделанный в Mathcad:
График функции распределения сделанный в Mathcad:
Медиана:
Коэффициент асимметрии:
Коэффициент эксцесса:
Так как  , то событие А и В зависимы.
Вероятность происхождения хотя бы одного события
1: 
-1: 
0:
Ряд распределения случайной величины η:
η
|
1
|
0
|
-1
| |
|
Р
|
0.805
|
0.144
|
0.051
|
Математическое ожидание:
Дисперсия:
10. Задача 9.4
Требуется записать вид функции распределения и плотности распределения вероятностей и начертить их графики, случайная величина  имеет нормальное распределение.
Станок-автомат изготавливает детали, длина которых по стандарту должна отклоняться от 125 мм не более, чем на 0.5 мм. Среди продукции станка 7% нестандартной. Считая, что длины деталей имеют нормальное распределение, найдите их среднее квадратическое отклонение.
|
Решение:
Пусть Х – длина детали, а = М(х)=125 – математическое ожидание.
Из условия:
с = 125 – 0.5 = 124.5,
d = 125 + 0.5 = 125.5.
Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (c, d), находим по формуле:
Так как станок даёт 7% нестандартной продукции, то:
Воспользуюсь таблицей (Приложение 1), чтобы найти среднее квадратическое отклонение. Из неё следует, что  Отсюдого, я могу найти дисперсию: 
Из расчётов я нашёл:
Составлю нормальный закон распределения:
График плотности распределения:
График функции распределения:
Ответ: 
Приложение 1
х
|
Ф(х)
|
х
|
Ф(х)
|
 х
|
Ф(х)
|
х
|
Ф(х)
|
х
|
Ф(х)
|
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
|
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
0,1255
|
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
|
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
|
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
|
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,3315
0,3340
0,3365
|
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
|
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
|
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
|
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
|
х
|
Ф(х)
|
х
|
Ф(х)
|
х
|
Ф(х)
|
х
|
Ф(х)
|
х
|
Ф(х)
|
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
|
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
|
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,02
2,04
|
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
0,4772
0,4783
0,4793
|
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
2,36
2,38
2,40
2,42
|
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
|
2,44
2,46
2,48
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
2,80
|
0,4927
0,4931
0,4934
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4973
0,4974
|
2,82
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
|
0,4976
0,4977
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,49865
0,49931
0,49966
0,499841
0,499928
0,499968
0,499997
0,499997
|
11. Литература
1. Е.С.Вентцель “Теория вероятностей”. Издание четвёртое. Москва 1969.
2. Е.С.Вентцель, Л.А.Овчаров “Теория вероятностей в задачах и примерах”.
Москва 1969.
3. Е.А.Алёшин “Конспект лекций по теории вероятности”
4. Федоренко Ю.П. “Алгоритмы и программы на C++ Builder”. Москва 2010.
|
Скачать 2.93 Mb.