Случайные величины НЕТУ. Задача 7 Условие
![]()
|
Вариант №6 Задача 7 Условие: Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 1/6. Случайная величина X – число выигрышных билетов среди четырех купленных. Построить ряд распределения, многоугольник распределения. Найти функцию распределения и построить ее график. Вычислить числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение. Решение: Пусть p = 1/6 – вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна, q = 1 – p = 1 – 1/6 = 5/6 – вероятность проигрыша. Используем формулу Бернулли: ![]() Тогда получим ряд распределения: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() или
Многоугольник распределения: ![]() Вычислим функцию распределения ![]()
И построим ее график ![]() Математическое ожидание ![]() ![]() Среднеквадратическое отклонение ![]() Задача 8 Условие: Задана непрерывная случайная величина X своей плотностью распределения вероятности: ![]() Требуется: определить коэффициент C; найти функцию распределения F(x) схематично построить графики функций f(x) и F(x); вычислить M(X), D(X); определить ![]() Решение: Вычислим константу С, исходя из условия нормировки ![]() Получаем ![]() ![]() Теперь найдем функцию распределения: ![]() Построим графики f(x) и F(x) ![]() Математическое ожидание ![]() Дисперсия ![]() Среднеквадратическое отклонение ![]() ![]() Задача 9 Условие: Двумерный случайный вектор (X, Y) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рисунке области B. Двумерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B: ![]() Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y
![]() Решение: Построим область B согласно координатам из таблицы и по рисунку выше. ![]() Область B на промежутке ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, совместная плотность вероятности примет вид: ![]() Найдем константу с из условия нормировки: ![]() ![]() Проверим полученный результат геометрически. Объём тела, ограниченного поверхностью распределения В и плоскостью xOy равен 1, т.е: ![]() Следовательно, константа ![]() Вычислим математические ожидания: ![]() ![]() Вычислим дисперсии: ![]() ![]() Вычислим корреляционный момент ![]() ![]() Задача 10 Условие: Задан закон распределения двумерной случайной величины (X, Y).
Задан закон распределения двумерной случайной величины (X, Y). Найти коэффициенты ковариации и корреляции, законы распределения составляющих X и Y. Вычислить математическое ожидание, дисперсию, ско СВ X и СВ Y, корреляционный момент и коэффициент корреляции. Решение: Найдем законы распределения СВ X и СВ Y, суммируя вероятности соответственно по строкам и по столбцам.
Для СВ X: Математическое ожидание ![]() Дисперсия ![]() Среднеквадратическое отклонение ![]() Для СВ Y: Математическое ожидание ![]() Дисперсия ![]() Среднеквадратическое отклонение ![]() Для СВ X и СВ Y: Ковариация: ![]() Коэффициент корреляции: ![]() Значение K(X,Y) почти равно 0, поэтому следует сделать вывод об очень слабой отрицательной связи X и Y или практически их некоррелируемости. Задача 10 Условие: Вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а так же определить их коэффициент корреляции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Решение: Математические ожидания: ![]() ![]() Дисперсии: ![]() ![]() Ковариация: ![]() Учитывая, что ![]() ![]() ![]() ![]() Значение K(U,V) свидетельствует о слабой отрицательной связи U и V. Задача 11 Условие: Дана выборка из генеральной совокупности случайной величины X.
Требуется: составить интервальный статистический ряд; построить гистограмму относительных частот; перейти к дискретному вариационному ряду, взяв за варианты середины частичных интервалов, и построить полигон относительных частот; построить формулу и график эмпирического распределения; вычислить точечные статистические математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности; выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины X, проверить эту гипотезу по критерию Пирсона (на уровне значимости ![]() Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии (доверительную вероятность выбрать самостоятельно). Решение: Построим интервальный статистический ряд. Найдем среди значений признака ![]() ![]() ![]() Размах выборки: ![]() Количество интервалов: ![]() Вычислим возможную длину интервала ![]() Примем ![]() ![]() Перейдем к дискретному вариационному ряду, взяв за варианты середины частичных интервалов. В таблице ![]() ![]() ![]()
Построим теперь полигон относительных частот (рисунок ниже) ![]() Далее построим формулу и график эмпирического распределения: ![]() ![]() Вычислим точечные статистические математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности. Обозначим: ![]() где ![]() с− среднее значение признака в интервале с наибольшей частотой, принятое в качестве "нуля"; ![]() Для нашей задачи ![]() ![]() Далее рассчитаем ![]() ![]() и занесем их в таблицу.
Выборочная средняя: ![]() Выборочная дисперсия: ![]() ![]() Выдвинем гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины X и проверим эту гипотезу по критерию Пирсона - ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() Для статистического ряда определим меру расхождения, сводя результаты расчетов в таблицу. Таблица 4 – Оценка меры расхождения
Вычислив, найдем число "степеней свободы" распределения ![]() ![]() На уровне значимости ![]() ![]() . Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии, ![]() ![]() Доверительный интервал для дисперсии определим при ![]() ![]() Очевидная неточность в определении связана с тем, что случайная величина X все же не распределена по нормальному закону. |