Случайные величины НЕТУ. Задача 7 Условие

• Название: Задача 7 Условие
• Дата: 18.03.2022
• Размер: 262.79 Kb.
• Имя файла: Случайные величины НЕТУ.docx
• Тип: Задача; #403737

Вариант №6
Задача 7

Условие:

Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 1/6. Случайная величина X – число выигрышных билетов среди четырех купленных. Построить ряд распределения, многоугольник распределения. Найти функцию распределения и построить ее график. Вычислить числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение.

Решение:

Пусть p = 1/6 – вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна, q = 1 – p = 1 – 1/6 = 5/6 – вероятность проигрыша.

Используем формулу Бернулли: – вероятность того, что событие наступит ровно k раз в n независимых испытаниях.

Тогда получим ряд распределения:

,

,

,

,

.

или

xi	0	1	2	3	4
P(xi)	0,482	0,386	0,116	0,015	0,001

Многоугольник распределения:


Вычислим функцию распределения

xi	0	1	2	3	4	>4
F(X=xi)	0	0,482	0,868	0,984	0,999	1

И построим ее график



Математическое ожидание

Дисперсия



Среднеквадратическое отклонение


Задача 8

Условие:

Задана непрерывная случайная величина X своей плотностью распределения вероятности:



Требуется:

1. 
   определить коэффициент C;
   
2. 
   найти функцию распределения F(x)
   
3. 
   схематично построить графики функций f(x) и F(x);
   
4. 
   вычислить M(X), D(X);
   
5. 
   определить , a = 2, b = 4.
   

Решение:

Вычислим константу С, исходя из условия нормировки



Получаем .


Теперь найдем функцию распределения:



Построим графики f(x) и F(x)


Математическое ожидание



Дисперсия



Среднеквадратическое отклонение





Задача 9

Условие:

Двумерный случайный вектор (X, Y) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рисунке области B. Двумерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:



Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y

x1	x2	x3	x4	x5	x6	y1	y2
0	1	4	5,5	5,5	6	1	2

Решение: Построим область B согласно координатам из таблицы и по рисунку выше.

Область B на промежутке ограничена прямыми:

1. 
   ;
   
2. 
   ;
   
3. 
   ;
   
4. 
   ;
   
5. 
   
   

Следовательно, совместная плотность вероятности примет вид:



Найдем константу с из условия нормировки:



Проверим полученный результат геометрически. Объём тела, ограниченного поверхностью распределения В и плоскостью xOy равен 1, т.е:



Следовательно, константа рассчитана верно.

Вычислим математические ожидания:



Вычислим дисперсии:





Вычислим корреляционный момент





Задача 10

Условие:

Задан закон распределения двумерной случайной величины (X, Y).

X/Y	1	2	3	4
0	0,16	0,12	0,14	0,08
1	0,08	0,10	0,09	0,08
3	0,06	0,04	0,03	0,02

Задан закон распределения двумерной случайной величины (X, Y).

Найти коэффициенты ковариации и корреляции, законы распределения составляющих X и Y. Вычислить математическое ожидание, дисперсию, ско СВ X и СВ Y, корреляционный момент и коэффициент корреляции.
Решение:

Найдем законы распределения СВ X и СВ Y, суммируя вероятности соответственно по строкам и по столбцам.

xi	0	1	3
P(xi)	0,5	0,35	0,15

yi	1	2	3	4
P(yi)	0,30	0,26	0,26	0,18

Для СВ X:

Математическое ожидание



Дисперсия



Среднеквадратическое отклонение


Для СВ Y:

Математическое ожидание



Дисперсия



Среднеквадратическое отклонение


Для СВ X и СВ Y:

Ковариация:



Коэффициент корреляции:



Значение K(X,Y) почти равно 0, поэтому следует сделать вывод об очень слабой отрицательной связи X и Y или практически их некоррелируемости.
Задача 10

Условие:

Вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а так же определить их коэффициент корреляции : , . Конкретные значения коэффициентов , и числовые характеристики случайных величин заданы в таблице.

-2	6	2	9	-8	-2	-5	6	-2	4	16	25	-4	10	0

Решение:

Математические ожидания:





Дисперсии:




Ковариация:



Учитывая, что , , получаем:





Значение K(U,V) свидетельствует о слабой отрицательной связи U и V.
Задача 11

Условие:

Дана выборка из генеральной совокупности случайной величины X.

34,0	26,2	32,0	19,2	21,0	23,2	16,6	22,9	35,7	35,6
25,0	52,9	38,5	26,8	24,1	39,1	33,0	33,7	30,8	48,6
30,1	25,7	23,8	24,1	21,2	26,1	25,4	34,3	20,1	23,6
23,0	47,5	36,1	23,7	28,7	34,3	38,2	38,6	17,4	36,7
31,9	31,9	25,6	30,1	35,5	32,5	42,1	25,0	37,3	20,3
27,5	33,2	29,6	26,4	36,7	26,4	31,1	18,6	13,1
21,0	22,5

Требуется:

1. 
   составить интервальный статистический ряд;
   
2. 
   построить гистограмму относительных частот;
   
3. 
   перейти к дискретному вариационному ряду, взяв за варианты середины частичных интервалов, и построить полигон относительных частот;
   
4. 
   построить формулу и график эмпирического распределения;
   
5. 
   вычислить точечные статистические математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности;
   
6. 
   выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины X, проверить эту гипотезу по критерию Пирсона (на уровне значимости ).
   
7. 
   Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии (доверительную вероятность выбрать самостоятельно).
   

Решение:

Построим интервальный статистический ряд. Найдем среди значений признака минимальное и максимальное:

,

.

Размах выборки:

.

Количество интервалов:



Вычислим возможную длину интервала



Примем и проведем разбиение на интервалы. Определим количество значений , приходящихся на каждый i-й интервал, и заполним таблицу.

Перейдем к дискретному вариационному ряду, взяв за варианты середины частичных интервалов. В таблице - границы i-го интервала, – середина i-го интервала, – частота в i-м интервале.

№ интервала	1	2	3	4	5	6	7
Границы интервала	13,1-18,8	18,8-24,5	24,5-30,2	30,2-35,9	35,9-41,6	41,6-47,3	47,3-52,9
Середина интервала	15,95	21,65	27,35	33,05	38,75	44,45	50,15
Число наблюдений в интервале	4	14	16	16	8	1	3
Частота в интервале	0,06	0,23	0,26	0,26	0,13	0,02	0,05

Построим теперь полигон относительных частот (рисунок ниже)


Далее построим формулу и график эмпирического распределения:


Вычислим точечные статистические математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности.

Обозначим:

,

где − среднее значение признака в i-ом интервале;

с− среднее значение признака в интервале с наибольшей частотой, принятое в качестве "нуля";

– ширина интервала.

Для нашей задачи и .

Далее рассчитаем

,

,
и занесем их в таблицу.

Интервал					A	B
1	15,95	0,06	-2	4	-0,12	0,24
2	21,65	0,23	-1	1	-0,23	0,23
3	27,35	0,26	0	0	0	0
4	33,05	0,26	1	1	0,26	0,26
5	38,75	0,13	2	4	0,26	0,52
6	44,45	0,02	3	9	0,06	0,18
7	50,15	0,05	4	16	0,2	0,8
∑					0,43	2,23

Выборочная средняя:

.

Выборочная дисперсия:

.

.
Выдвинем гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины X и проверим эту гипотезу по критерию Пирсона - (на уровне значимости ).

,

где

,



Для статистического ряда определим меру расхождения, сводя результаты расчетов в таблицу.
Таблица 4 – Оценка меры расхождения

№ инт.	xi					Ф(ti)
1	13,1-18,8	15,95	4	0,06	-1,58	-0,44295
2	18,8-24,5	21,65	14	0,23	-0,87	-0,30785	0,14	3,78
3	24,5-30,2	27,35	16	0,26	-0,16	-0,06356	0,24	0,05
4	30,2-35,9	33,05	16	0,26	0,55	0,20884	0,27	0,05
5	35,9-41,6	38,75	8	0,13	1,26	0,39617	0,19	1,12
6	41,6-47,3	44,45	1	0,02	1,97	0,47558	0,08	3,13
7	47,3-52,9	50,15	3	0,05	2,69	0,49642	0,02	2,26
∑								10,38

Вычислив, найдем число "степеней свободы" распределения , где k − число интервалов, а s − число связей, накладываемых на частоты. При гипотезе о нормальном распределении число связей равно 3, тогда .

На уровне значимости по таблице. Поскольку расчетное значение = 10,38 больше, делаем вывод, что гипотеза об нормальном распределении не соответствует расчетным данным.
.


Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии, и t = 2,06 определяется по формуле:


Доверительный интервал для дисперсии определим при по формуле:

.

Очевидная неточность в определении связана с тем, что случайная величина X все же не распределена по нормальному закону.