Контрольная работа по дисциплине «Планирование эксперимента в системах автоматизации технологических процессов и производств» Ва. Планирование. Задача Имеются данные о пробеге автомобилей на 10. 01. 2012 г. Целью обработки статистической информации является построение полигона и гистограммы распределения,

• Название: Задача Имеются данные о пробеге автомобилей на 10. 01. 2012 г. Целью обработки статистической информации является построение полигона и гистограммы распределения,
• Анкор: Контрольная работа по дисциплине «Планирование эксперимента в системах автоматизации технологических процессов и производств» Ва
• Дата: 21.11.2022
• Размер: 1.51 Mb.
• Имя файла: Планирование.docx
• Тип: Задача; #803131

Контрольная работа

по дисциплине

«Планирование эксперимента

в системах автоматизации технологических процессов и производств» Вариант 3

Выполнил: студент

Проверил:

Санкт-Петербург-2022

Задача 1. Имеются данные о пробеге автомобилей на 10.01.2012 г. Целью обработки статистической информации является: построение полигона и гистограммы распределения, определение числовых характеристик выборки, построение интервальных оценок математического ожидания и дисперсии. Данные для анализа представлены в таблице 1.1. (пробег автомобилей указан в тыс. км.).

Таблица 1.1

34,7	137,1	198,3	144,5	120,5	32,9	95,6
98,3	109	74,2	16,8	15,8	53,9	21,4
84,9	170,5	185,1	182,7	170,8	103,4	76,8
13,4	75,5	168,5	199,3	56,4	6,6	183,4
162,5	99,2	76,4	17.9	80,3	147,8	167,8

Решение

Проведем группировку исходных данных. Объём наблюдений: n=35.

Количество интервалов определим по формуле Стерджесса:
𝑘 = 1 + 3.322 lg⁽𝑛⁾ = 1 + 3.322 lg⁽35⁾ = 6.129 ≈ 6.
Наименьший элемент: 𝑥_𝑚𝑖𝑛 = 6,6. Наибольший элемент: 𝑥_𝑚𝑎𝑥 = 199,3. Размах R=𝑥_𝑚𝑎𝑥 − 𝑥_𝑚𝑖𝑛 = 199,3 − 6,6 = 192,7

Ширина одного интервала:



Для каждого интервала определим частоты n_i,

относительные частоты 𝑝^∗ = ^𝑛𝑖

𝑖 _𝑛
и середины интервалов 𝑥^∗ = ^{𝑥𝑖−1+𝑥𝑖}, i=1,2,…,6.

𝑖 ₂

№ интер- вала	Границы интервала	Час- тота ni	Относи- тельная частота 𝑝∗ = 𝑛𝑖 𝑖 𝑛	𝑝∗/ℎ 𝑖	Середина интервала 𝑥∗ 𝑖 𝑥𝑖−1+𝑥𝑖 = 2	𝑥∗𝑝∗ 𝑖 𝑖	(𝑥∗ − 𝑥̅)2𝑝∗ 𝑖 𝑖
1	[6,6; 38,7]	8	0,228	0,00710	22,65	5,164	1546,187
2	[38,7; 70,8]	2	0,057	0,00177	54,75	3,120	143,9286
3	[70,8; 102,9]	9	0,257	0,00800	86,85	22,32	84,66158
4	[102,9; 135]	3	0,085	0,00264	118,95	10,11	16,54121
5	[135; 167,1]	4	0,114	0,00355	151,05	17,21	241,7487
6	[167,1; 199,3]	9	0,257	0,00800	183,2	47,08	1571,617
Сумма:		35	0,998			105	3604,684

Построим гистограмму распределения:


Рисунок 1 – Гистограмма распределения
Построим полигон распределения:



Рисунок 2 – Полигон распределения

Запишем эмпирическую функцию распределения:





и т.д.



Найдём точечную оценку математического ожидания:

Точечная оценка дисперсии:

Точечная оценка среднеквадратичного отклонения:

Построение доверительного интервала для математического ожидания

Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид

(𝑥̅ − 𝑡 ∙ ^𝑆

√^𝑛

, 𝑥̅ + 𝑡 ∙ ^𝑆 ).

√^𝑛

𝑥̅ = 105 𝑆 = 60,04 при доверительной вероятности γ=0,95 Ф(t)=0.975,откуда t=1.96.

Получим:

Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания: 85,1 < 𝑚 < 124,9

Построение доверительного интервала для дисперсии

Доверительный интервал для дисперсии 𝜎² имеет вид
₍(𝑛−1)𝑆² _, (𝑛−1)𝑆² _).

𝜒
2

^𝛼,𝑛−1

_𝜒2 _𝛼

₂ 1−₂,𝑛−1
𝑆² = 3604,684 при доверительной вероятности γ=0,95 имеем

𝛼 = 1 − 𝛾 = 0,05, тогда значения хи-квадрат распределения:
_𝜒² 2 ² 2




𝛼_,𝑛−1 = 𝜒_{0,025; 34} = 51.966; 𝜒 𝛼 = 𝜒_{0,925; 34} = 19.806.

₂ 1−₂,𝑛−1
Получим:

34 ·3604,684

⁽ 51.966 ^,

34 · 3604,684

19.806 ⁾

(2077,5; 5450,7).
Таким образом, доверительный интервал для дисперсии:

2077,5 < 𝜎² < 5450,7.

Задача 2. Имеются две случайные величины Х₁ и Х₂. Необходимо установить между ними корреляционную связь, а также построить ковариационную матрицу. Данные для анализа представлены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

X1	X2
-201	885
391	983
669	-930
-578	466
-990	-887
-567	716
-611	-268
-937	387
-644	203
-341	-127

Решение

Для решения первой части решения задачи воспользуемся формулой Пирсона для коэффициента линейной корреляции малой выборки. Выполним расчёт необходимых величин при помощи exile данные сведем в таблицу.

2.1

Где; r_x1x2- коэффициента линейной корреляции малой выборки

x_i-данные

х^ср₁ и х^ср₂-среднее значение данных

Ϭ_х1 и Ϭ_х2- стандартное отклонение х₁ и х₂

n-количество данных


таблица 2.2

	х1	х2
	-201	885
	391	983
	669	-930
	-578	466
	-990	-887
	-567	716
	-611	-268
	-937	387
	-644	203
	-341	-127
Сумма:	-3809	1428
Среднее:	-380,9	142,8
Среднее знач. Стандартного отклонения:	538,3075	683,6184
Коэффициент корреляции	-0,13565

Проверка правильности решения при помощи функции коррел.


𝑋^̅₁ = −52,5; 𝑋^̅₂ = 446,6; 𝑋^̅2 = 311770,9; 𝑋^̅2 = 355579,2;

1 2

𝑋^̅̅₁^̅̅𝑋^̅̅₂ = 4314,8.
𝑐𝑜𝑣⁽𝑋₁, 𝑋₁⁾ = 𝜎² = 𝑋^̅2 − ⁽𝑋^̅₁⁾² = 311770,9 − ⁽−52,5⁾² = 309014,7

1 1
𝑐𝑜𝑣⁽𝑋₁, 𝑋₂⁾ = 𝑐𝑜𝑣⁽𝑋₂, 𝑋₁⁾ = 𝑋^̅̅₁^̅̅𝑋^̅̅₂ − 𝑋^̅₁ · 𝑋^̅₂ =

= 4314,8 − (−52,5) · 446,6 = 27761,3
𝑐𝑜𝑣⁽𝑋₂, 𝑋₂⁾ = 𝜎² = 𝑋^̅2 − ⁽𝑋^̅₂⁾² = 355579,2 − 446,6² = 156127,6

2 2
Ковариационная матрица:

1
𝛺 = (

𝜎² 𝑐𝑜𝑣⁽𝑋₁, 𝑋₂⁾
) = (

309014,7 27761,3 ₎

2
𝑐𝑜𝑣⁽𝑋₂, 𝑋₁⁾ 𝜎²

27761,3 156127,6

Вычислим коэффициент корреляции:

𝑐𝑜𝑣⁽𝑋₂, 𝑋₁⁾

𝑟 =

√𝜎²𝜎²

27761,3

= = 0,126.

√309014,7 · 156127,6

1 2

Значение коэффициента корреляции положительное, это означает, что связь между X₁ и X₂ прямая: увеличению X₁ соответствует увеличение X₂.

По модулю коэффициент корреляции находится в пределах от 0,1 до 0,3, поэтому можно сказать, что связь между X₁ и X₂ слабая.

Вывод: между X₁ и X₂ наблюдается слабая прямая взаимосвязь.