Задача К3 на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей,
 Скачать 165.27 Kb.
|
|
Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В или Е (рис.К3.0 – К3.7) или стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис. К3.8, К3.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1, О2 шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно ℓ1=0,4 м, ℓ2=1,2 м, ℓ3=1,4 м, ℓ4=0,6 м. Положение механизма определяется углами  Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К3а (для рис. 0-4) или в табл. К3б (для рис. 5-9); при этом в табл. К3а  - величины постоянные. Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол  на рис. 8 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. 9 – против хода часовой стрелки).Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом  ; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К3 (см. рис. К3б).Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против хода часовой стрелки, а заданные скорость  и ускорение  - от точки В к b (на рис. 5-9).Указания. Задача К3 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности. При определение ускорений точек механизма исходить из векторного равенства  где А – точка, ускорение  которой или задано, или непосредственно определяется по условиям задачи (если точка А движется по дуге окружности, то  ); В – точка, ускорение  которой нужно определить (в случае, когда точка В тоже движется по дуге окружности, также следует представить см. примечание в конце рассмотренного ниже примера К3).Таблица К3а (к рис. К3.0 – К3.4) Таблица К3б (к рис. К3.5 – К3.9)
  Пример К3. Механизм (рис. К3а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2шарнирами.Дано:  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  (направления  и  - против хода часовой стрелки).Определить:  Решение.1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К3б; на этом рисунке изображаем все векторы скоростей). 2. Определяем  . Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти , надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление . По данным задачи, учитывая направление , можем определить  ; численно (1)Направление найдем, учтя, что точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим (2)3. Определяем  . Точка Е принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АВ. Для этого, зная и , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АВ; это точка Р3, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восстановленных из точек А и В (к перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора определяем направление поворота стержня АВ вокруг МЦС Р3. Вектор  перпендикулярен отрезку DР3, соединяющему точки D и Р3, и направлен в сторону поворота. Величину  найдем из пропорции (3)Чтобы вычислить C3D и C3B, заметим, что треугольник АС3В – прямоугольный, так как острые углы в нем равны  и  , и что Тогда треугольник BР3D является равносторонним и Р3В=Р3D. В результате равенство (3) дает  (4)Так как точка Е принадлежит одновременно стержню О2Е, вращающемуся вокруг О2, то  . Тогда, восставляя из точек Е и D перпендикуляры к скоростям и , построим МЦС Р2 стержня DE. По направлению вектора определяем направление поворота стержня DE вокруг центра Р2. Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К3б видно, что  , откуда  . Составив теперь пропорцию, найдем, что (5)4. Определяем  . Так как МЦС стержня 2 известен (точка Р2) и  (6)5. Определяем (рис. К3в, на котором изображаем все векторы ускорений). Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти , надо знать ускорение какой-нибудь другой точки стержня АВ и траекторию точки В. По данным задачи можем определить , где численно  (7) Вектор  направлен вдоль АО1, а  - перпендикулярно АО1; изображаем эти векторы на чертеже (см. рис. К3в).Так как точка В одновременно принадлежит ползуну, то вектор параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и .Для определения воспользуемся равенством  (8)Изображаем на чертеже векторы  (вдоль ВА от В к А) и  (в любую сторону перпендикулярно ВА); численно  Найдя  с помощью построенного МЦС Р3 стержня 3, получим (9)Таким образом, у величин, входящих в равенство (8), неизвестны только числовые значения  и  ; их можно найти, спроектировав обе части равенства (8) на какие-нибудь две оси.Чтобы определить , спроектируем обе части равенства (8) на направление ВА (ось x), перпендикулярное неизвестному вектору . Тогда получим
 (10)Подставив в равенство (10) числовые значения всех величин из (7) и (9), найдем, что  (11)Так как получилось  , то, следовательно, вектор направлен как показано на рис. К3в.6. Определяем  . Чтобы найти , сначала определим . Для этого обе части равенства (8) спроектируем на направление, перпендикулярное АВ (ось y). Тогда получим (12)Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин из (11) и (7), найдем, что  Знак указывает, что направление противоположно показанному на рис. К3в.Теперь из равенства  получим Ответ:      Примечание. Если точка В, ускорение которой определяется, движется не прямолинейно (например, как на рис. К3.0-К3.4, где В движется по окружности радиуса О2В), то направление заранее неизвестно.В этом случае также следует представить двумя составляющими (  ) и исходное уравнение (8) примет вид (13)При это вектор  (см., например, рис. К3.0) будет направлен вдоль ВО2, а вектор - перпендикулярно ВО2 в любую сторону. Числовые значения  определяются так же, как в рассмотренном примере (в частности, по условиям задачи может быть  или  , если точка А движется прямолинейно).Значение  также вычисляется по формуле где ℓ – радиус окружности О2В, а определяется так же, как скорость любой другой точки механизма.После этого в равенстве (13) остаются неизвестные только значения  и и они, как и в рассмотренном примере, находятся проектированием обеих частей равенства (13) на две оси.Найдя , можем вычислить искомое ускорение Величина служит для нахождения  (как в рассмотренном примере). |