Пример. Задача Найти частные производные второго порядка функции и показать, что она удовлетворяет уравнению. Решение
![]()
|
Пример решения типового расчета Задача 1. Найти частные производные второго порядка функции ![]() ![]() Решение. Найдем частные производные первого порядка: ![]() Теперь найдем частные производные второго порядка: ![]() Подставим найденные производные в данное уравнение, получим ![]() Ответ: ![]() Задача 2. Дана функция ![]() ![]() точное значение функции ![]() ![]() приближенное значение функции ![]() ![]() оценить в процентах относительную погрешность; написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности ![]() ![]() Решение. 1. Вычисляем точное значение данной функции в точке ![]() ![]() 2. Чтобы вычислить приближенное значение данной функции в точке ![]() ![]() Тогда ![]() Находим частные производные данной функции и их значения в точке ![]() ![]() Вычисляем значение данной функции в точке ![]() ![]() Находим дифференциал и его значение в точке ![]() ![]() Тогда приближенное значение функции в точке ![]() ![]() 3. Абсолютная погрешность приближенного вычисления равна ![]() ![]() Относительная погрешность ![]() ![]() Поверхность ![]() ![]() ![]() Имеем: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Подставляя, получим: уравнение касательной плоскости: ![]() ![]() уравнение нормали к поверхности: ![]() Ответ: 1. ![]() 4. ![]() ![]() Задача 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение: 1 А Сделаем чертеж области ![]() Область ![]() внутреннюю часть треугольника О 0 1 В ![]() ![]() ![]() Найдем частные производные, приравняем их нулю и найдем стационарные точки: ![]() Единственная стационарная точка ![]() ![]() ![]() Исследуем границу области. Отрезок ![]() Тогда ![]() ![]() Стационарная точка ![]() Находим значения функции на концах отрезка ![]() ![]() Отрезок ![]() Тогда ![]() ![]() Стационарная точка ![]() Находим значения функции на концах отрезка ![]() ![]() Отрезок ![]() Тогда ![]() ![]() ![]() Стационарная точка ![]() Значения функции на концах отрезка ![]() Выбираем из найденных наибольшее и наименьшее значения функции: ![]() Ответ: ![]() Задача 4. Найти экстремум функции ![]() ![]() Решение. Составим функцию Лагранжа: ![]() Имеем: ![]() ![]() Найдем ![]() ![]() Значит, ничего сказать о наличии или отсутствии условного экстремум экстремума в точке ![]() Вычислим ![]() ![]() Значит, в точке (2,1) функция ![]() ![]() Ответ: ![]() Задача 5. Найти градиент скалярного поля ![]() ![]() Решение. Найдем частные производные функции ![]() ![]() Вычислим значения этих частных производных в точке ![]() Получим: ![]() Значит, ![]() Ответ: ![]() Задача 6. Найти производную скалярного поля ![]() ![]() ![]() наибольшее значение производной функции ![]() ![]() Решение. Найдем сначала градиент скалярного поля ![]() ![]() Имеем: ![]() ![]() Производная в направлении единичного вектора ![]() ![]() Заметим, что ![]() ![]() ![]() ![]() 2. Наибольшее значение производной функции ![]() ![]() ![]() Ответ: 1. ![]() ![]() |