Задача Построить полигон частот и полигон относительных частот (частостей) 2
![]()
|
ПРЗ №4. Предельные теоремы теории вероятностей и теме Выборочный метод в математической статистике Задача 1. Построить полигон частот и полигон относительных частот (частостей):
Решение:
![]() ![]() Задача 2. Построить гистограмму частот и относительных частот (частостей)
Решение:
![]() ![]() Задача 3. Найти несмещенную выборочную дисперсию на основании данного распределения выборки.
Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, поэтому в статистике применяют также исправленную выборочную дисперсию, которая является несмещенной оценкой генеральной дисперсии. Решение: ![]() ![]() Задача 4. В городе проживает 250тыс. семей. Для определения среднего числа детей в семье была организована 2%-я бесповторная выборка семей. По ее результатам было получено следующее распространение семей по числу детей: P=0,954. Найти пределы в которых будет находится среднее число детей в генеральной совокупности.
Решение: По формуле средней арифметической для интервального вариационного ряда ![]() xi – варианты вариационного ряда, равные срединным значениям интервалов разбиения; ni – соответствующие им частоты; m – число интервалов разбиения, получим: ![]() Аналогично определяется среднее арифметическое квадратов вариант вариационного ряда: ![]() Получим: ![]() Следовательно, выборочная дисперсия будет равна: ![]() ![]() Границы, в которых с вероятностью 0,954 будет находиться находится среднее число детей в генеральной совокупности, определяются предельной ошибкой выборки, которая возможна с заданной доверительной вероятностью. Предельная ошибка бесповторной выборки находится как ![]() ![]() Следовательно, оценка генеральной средней (доверительный интервал) будет удовлетворять следующему двойному неравенству: ![]() где ![]() Для заданной доверительной вероятности 0,954 по таблице функции Лапласа находим, что значение ее аргумента будет равно u2. Средняя квадратическая ошибка при оценке генеральной средней для собственно-случайной бесповторной выборки достаточно большого объема находим по формуле: ![]() По условию имеем, что n 5000, N 250000. Подставляя в последнее соотношение числовое значение вычисленной ранее выборочной дисперсии, получим: ![]() Следовательно, ![]() ![]() Задача 5. С целью определения средней фактической продолжительности рабочего дня в гос. учреждении с численностью служащих 480 человек была проведена 25%-ная механическая выборка. По результатам наблюдения оказалось, что у 10% обследованных потери рабочего времени достигали более 45 мин.в день. С вероятностью 0,683 установите пределы, в которых находится генеральная доля служащих с потерями рабочего времени более 45 мин. в день. Решение: Границы, в которых с вероятностью 0,683 заключена генеральная доля служащих с потерями рабочего времени более 45 мин. в день, определяются предельной ошибкой выборки, которая возможна с заданной доверительной вероятностью. ![]() Средняя квадратическая ошибка собственно-случайной бесповторной выборки при оценке генеральной доли, находится по формуле: ![]() где ![]() Средняя квадратическая ошибка бесповторной выборки будет равна: ![]() Предельная ошибка бесповторной выборки находится как ![]() ![]() Теперь искомый доверительный интервал для генеральной доли определяется соотношением: ![]() Для заданной доверительной вероятности 0,683 по таблице функции Лапласа находим, что значение ее аргумента будет равно u1. Следовательно, ![]() ![]() Задача 6. На предприятии 200 бригад рабочих. Планируется проведение выборочного обследования с целью определения удельного веса рабочих, имеющих профессиональные заболевания. Известно, что дисперсия доли бесповторной выборки равна 225. с вероятностью 0,954 рассчитайте необходимое количество бригад для обследования рабочих, если ошибка выборки не должна превышать 5%. Решение: Для определения объема повторной выборки, необходимого для того, чтобы гарантировать определенную точность оценки генеральной средней, задаваемую предельной ошибкой выборки , при заданной надежности , используем формулу: ![]() По условию задачи доверительная вероятность равна 0,954, что соответствует u=2, а предельная ошибка равна =5. Таким образом, объем повторной выборки приблизительно будет равен (округление производим всегда в большую сторону): ![]() Зная объем повторной выборки и объем генеральной совокупности, вычисляем объем бесповторной выборки по формуле: ![]() |