ПОСТ ПРАКТИКА. Задача в цепи, схема которой приведена на рис. 29, Эдс аккумуляторной батареи е 78 В, ее внутреннее сопротивление r
![]()
|
Примеры расчета цепей постоянного тока2.9.1. Расчет цепи с одним источником питанияЗадача 1. В цепи, схема которой приведена на рис. 2.29, ЭДС аккумуляторной батареи Е = 78 В, ее внутреннее сопротивление r0 = 0,5 Ом. Сопротивления резисторов R1 = 10 Ом, R2 = 5 Ом, R3 = 4 Ом. Вычислить токи во всех ветвях цепи и напряжения на зажимах батареи и на каждом их резисторов.Проанализировать как изменятся токи в схеме при увеличении сопротивления резистора R1.![]() Рис. 2.29. Расчетная схема Анализ и решение задачи 1.1. Обозначение токов и напряжений на участках цепи. Резистор R3 включен последовательно с источником, поэтому ток I для них будет общим, токи в резисторах R1 и R2 обозначим соответственно I1 и I2. Аналогично обозначим напряжения на участках цепи. 2. Определение эквивалентного сопротивления цепи: Rэ = r0 + R3 + R1 R2 / (R1 + R2) = 0,5 + 4 + 5 10 / (5 +10) = 7,8 Ом 3. Ток в цепи источника рассчитываем по закону Ома: I = E / Rэ = 78 / 7,8 = 10 А. 4. Определение напряжений на участках цепи: U12 = R12 I = 3,3 10 = 33 В; U3 = R3 I = 4 10 = 40 В; U = E − r0 I = 78 − 0,5 10 = 73 В. 5. Определение токов и мощностей всех участков: I1 = U12 / R1 = 33 / 10 = 3,3 А; I2 = U12 / R2 = 33 / 5 = 6,6 А; P1 = R1 I12 = U12 I1 = 108,9 Вт; P2 = R2 I22 = U12 I2 = 217,8 Вт; P3 = R3 I2 = U3 I = 400 Вт. Мощность потерь на внутреннем сопротивлении источника ΔP = r0 I2 = 50 Вт. Мощность источника питания P = E I = 780 Вт. 6. Проверка правильности решения задачи. Правильность вычисления токов можно проверить, составив уравнение на основании первого закона Кирхгофа: I = I1 + I2; 10 − 3,3 − 6,6≈0. Правильность расчета мощностей проверяют по уравнению баланса мощностей: P = P1 + P2 + P3 + ΔP. Подставим числа: Р=780 Вт, P1 + P2 + P3 + ΔP +108,9 + 217,8 +400 + 50 =776,7 Вт. Видно, что имеет место приближенное равенство. 7. Как изменятся токи в схеме при увеличении R1? При увеличении R1 увеличивается сопротивление параллельного участка схемы R12, поэтому увеличивается сопротивление Rэкв, что приводит к уменьшению тока I. При уменьшении I уменьшаются падения напряжения I R3 и I r0 и, в соответствии со вторым законом Кирхгофа, напряжение на разветвлении U12 = E − I (R3 + r0) возрастает, что приводит к увеличению тока в резисторе R2. Т.к. ток I уменьшается, а ток I2 возрастает, ток I1 = I − I2 уменьшается. 2.9.2. Расчет сложных цепей при помощи уравнений Кирхгофа Задача 2. Рассчитать схему рис. 2.30, составив систему уравнений на основании законов Кирхгофа. ![]() Рис. 2.30. Расчетная схема Исходные данные к задаче 2: E1 = 60 В; E2 = 80 В; E3 = 70 В; R1 = 20 Ом; R2 = 50 Ом; r03 = 5 Ом; R4 = 65 Ом; R5 = 85 Ом. Анализ и решение задачи 2 1. Определение необходимого числа уравнений. В схеме рис. 2.30 пять ветвей и для расчета токов в них надо составить пять уравнений. По первому закону Кирхгофа составляются уравнения для всех узлов, кроме одного (уравнение для него будет следствием предыдущих), по второму – для независимых контуров (в каждый последующий контур входит хотя бы одна ветвь, не вошедшая в ранее рассмотренные). Для данной схемы надо составить два уравнения по первому закону и три – по второму. 2. Составление и решение системы уравнений. Для составления уравнений задаемся произвольно направлениями токов в ветвях и направлениями обхода контуров (рис. 2.30). Уравнение для узла d: I1 + I3 − I4 = 0. Уравнение для узла е: − I2 − I3 + I5 = 0. Уравнение для контура bcd: I1R1 + I4R4 = E2. Уравнение для контура abe: I2R2 + I5R5 = E2. Уравнение для контура bde: I3r03 + I4 R4 + I5R5 = E3. Подставив в уравнения численные значения величин, получим алгебраическую систему уравнений: I1 + I3 − I4 = 0; − I2 − I3 + I5 = 0; 20 I1 + 65 I4 = 60; 50 I2 + 85 I5 = 80; 5 I3 + 65 I4 + 85 I5 = 70. Решение системы дает значения токов: I1 = 1,093 А; I2 = 0,911 А; I3 = – 0,506 А; I4 = 0,587 А; I5 = 0,405 А. Ток I3 имеет знак минус перед численным значением тока. Знак «–» говорит о том, что реальное направление тока в данной ветви противоположно принятому в начале расчета. 3. Режимы работы элементов схемы, содержащих источники ЭДС. В ветвях с E1 и E2 токи совпадают по направлению с ЭДС, т.е. данные элементы работают источниками, отдавая энергию в схему; в ветви с ЭДС E3 ток направлен против ЭДС, т.е. данный элемент работает потребителем (например, машина постоянного тока в режиме двигателя). 4. Проверка правильности решения задачи. Для проверки правильности расчета можно на основании законов Кирхгофа написать уравнения для узлов и контуров схемы, которые не использовались при составлении исходной системы. Независимой проверкой является уравнение баланса мощностей: сумма мощностей источников Pист равна сумме мощностей, расходуемых в резистивных элементах схемы мощности потребителей Pпотр. Т.к. элемент схемы с ЭДС может работать как в режиме источника, так и в режиме потребителя, соответствующее слагаемое в левой части уравнения берется с плюсом, если Е и I совпадают по направлению (источник), и с минусом, если направления противоположны (потребитель). 4.1. Проверка расчетов по первому закону Кирхгофа. При решении задачи не использовался узел b. Запишем уравнение для этого узла (рис. 2.30): I2 + I4 – I5 – I3 = 0,911 + 0,587 –0,405 – 1,053 = 0,054≈ 0. 4.2. Проверка расчетов по балансу мощностей. Мощности элементов схемы с ЭДС: Pист = E1I1+ E2I2 − E3I3 = 60 1,093 + 80 0,911 − 70 0,506 = 104,04 Вт. Мощности, расходуемые в резистивных элементах схемы: Pпотр.= R1I12 + R2I22 + r03I32 + R4I42+ R5I52 = 20∙1,0932 + 50∙0,9112 + 5∙0,5062 + 65∙0,5872 + 85∙0,4052 = 103,01 Вт. Pпотр.≈ Pист Баланс мощностей практически сошелся, следовательно, задача решена верно. 2.9.3. Расчет цепи методом узлового напряжения Задача 3. В схеме рис. 2.31 E1 = 60 В, E2 = 48 В, E3 = 6 В, R1 = 200 Ом, R2 = 100 Ом, r03 = 0,5 Ом, R3 = 9,5 Ом. Определить токи в ветвях схемы. ![]() Рис. 2.31. Расчетная схема Анализ и решение задачи 31. Вычисление узлового напряжения. Для схемы с двумя узлами напряжение между ними можно подсчитать по формулегде Еi – ЭДС i-й ветви, gi = 1/R1.– ее проводимость.Подставляем числовые значения:2. Расчет токов в ветвяхТоки определяем на основании закона Ома для ветви с источником: напряжение на зажимах источника равно его ЭДС минус падение напряжения на его внутреннем сопротивлении:3. Проверка правильности решения задачи. 3.1. Проверка расчетов по первому закону Кирхгофа. При решении задачи не использовался узел a. Запишем уравнение для этого узла (рис. 2.31): I2 + I4 + I3 = 0,24 + 0,36 –0,6 = 0. 3.2. Проверка расчетов по балансу мощностей. Мощности элементов схемы с ЭДС: Pист = E1I1+ E2I2 + E3I3 = 60∙0,24 + 48∙0,36 + 6∙(− 0,6) = 28,06 Вт. Мощности, расходуемые в резистивных элементах схемы: Pпотр.= R1I12 + R2I22 + r03I32 = 200∙0,242 + 100∙0,362 + 9,5∙0,62 = 27,9 Вт. Pпотр.≈ Pист Баланс мощностей практически сошелся, следовательно, задача решена верно. 4. Режимы работы источников ЭДС в схеме. По результатам расчета Uab < E1, Uab < E2, т.е. эти элементы схемы работают источниками; т.к. Uab > E3, ток в третьей ветви направлен против E3 и принятого перед началом расчета направления I3, т.е. этот элемент схемы работает в режиме потребления энергии . 2.9.4. Расчет цепей методом эквивалентного генератора Задача 4. В схеме рис. 2.32 E1 = 10 В, E2 = 25 В, R1 = 20 Ом, R2 = 40 Ом, R3 = 5 Ом, R4 = 6,36 Ом. Определить ток в ветви с резистором R4. Как экспериментально определить параметры эквивалентного генератора? ![]() Рис. 2.32. Расчетная схема Анализ и решение задачи 41. Заменим по отношению к ветви с резистором R4 всю остальную схему эквивалентным генератором (активным двухполюсником) с ЭДС Eэ и внутренним сопротивлением r0э (рис. 2.33 а). ЭДС Eэ определяется по результатам расчета режима холостого хода генератора как напряжение между точками «а» и «с» схемы рис. 2.32 при разомкнутой ветви с резистором R4.После размыкания ветви с R4 получается схема с двумя узлами рис. 2.33 б. Узловое напряжение![]() Рис. 2.33. Преобразованные расчетные схемы Ток в ветви с ЭДС E3 I3 = (E3 − Ubd) / R3 = (25 − 20) / 5 = 1 А. Для расчета напряжения между точками «а» и «с» в схеме рис. 2.33 б примем потенциал точки «а» равным нулю, тогда φa = 0; φb = φa + E1 = 10 В; φc = φb + R3I3 = 15 В; Eг = φc − φa = 15 В. 2. Для расчета внутреннего сопротивления генератора в схеме рис. 2.33 б закорачиваются все ЭДС (рис. 2.33 в) и определяется сопротивление по отношению к точкам «а» и «с»: ![]() rоэ = 3,64 Ом. 3. Ток в ветви с резистором R4 (схема рис. 2.33 а) I4 = Eэ / (r0э + R4) = 20 / (3,64 + 6,36) = 2 А. 4. Экспериментальное определение параметров эквивалентного генератора. Исходя из эквивалентности схем (рис. 2.32 и рис. 2.33 а), Eэ и r0э можно рассчитать по результатам двух опытов. Разомкнув ветвь с R4, измеряем напряжение между точками «с» и «а» Uxx, равное ЭДС Eэ, (опыт холостого хода). Для определения r0э проводится (если это допустимо) опыт короткого замыкания: заданная ветвь замыкается накоротко и измеряется ток в ней (Iк). При этом r0э = Eэ / Iк. |