Галич_КР_1_В10_Заказ_5195814_24_03_23. Задача Заданы матрицы Вычислить определители матрицАиВи матрицу F. Решение. По формуле вычисляем определители матриц а и В

• Название: Задача Заданы матрицы Вычислить определители матрицАиВи матрицу F. Решение. По формуле вычисляем определители матриц а и В
• Дата: 24.03.2023
• Размер: 29.93 Kb.
• Имя файла: Галич_КР_1_В10_Заказ_5195814_24_03_23.docx
• Тип: Задача; #1012526

Контрольная работа 1.

Линейная и векторная алгебра

Задача 1. Заданы матрицы



Вычислить определители матриц А и В и матрицу F.

Решение. По формуле



вычисляем определители матриц А и В:





По формуле



получаем:



Произведение матриц А и В находим по формуле:





Матрицу F вычисляем с использованием формулы:




Задача 2. Даны системы линейных алгебраических уравнений. Требуется: а) решить систему по правилу Крамера; б) решить систему методом Гаусса. Сделать проверку полученных решений.



Решение.

а) Решим систему по правила Крамера.

Вычислим главный определитель системы:



Главный определитель Δ = -5 ≠ 0, значит, по правилу Крамера система имеет единственное решение.

Вспомогательные определители:





По формулам Крамера получаем:



Проверка. Найденные значения неизвестных подставляем в уравнения системы:



Система решена верно.

Ответ: x = 2,8; y = 5,2.



б) Решим систему методом Гаусса

Расширенная матрица системы имеет вид:



Делим каждую строку на ее первый элемент:



Из второй и третьей строк вычитаем первую строку:



Вторую и третью строки делим на их первые элементы:



Из третьей строки вычитаем вторую



Третью строку делим на ее первый элемент:



Полученной матрице соответствует преобразованная система:



Из последнего уравнения системы получаем

Из второго уравнения системы получаем:

Из первого уравнения системы получаем:

Проверка. Найденные значения неизвестных подставляем в уравнения системы:



Система решена верно.

Ответ:
Задача 3. Заданы вершины треугольника АВС: А(5; 7; -1); В(-2; 4; 3); С(-6; 2; 2). Найти: а) векторы и их модули; б) угол ; в) площадь треугольника АВС; г) высоту треугольника, опущенную из вершины С.

Решение.

А) координаты векторов и находим по формуле:









Модули векторов находим по формуле:



Б) Вычисляем скалярное произведение векторов по формуле:



Найдем угол



В) Вычисляем векторное произведение векторов по формуле:







Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна половине модуля их векторного произведения, т.е.



Г) Из формулы площади треугольника выразим высоту где


Задача 4. Заданы три вектора: Требуется: а) выбрать пару перпендикулярных векторов (если такие есть); б) найти смешанное произведение векторов и объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Решение.

А) перпендикулярность векторов и проверяют по условию:



Вычислим скалярные произведения всех пар векторов:



значит, векторы и являются перпендикулярными;



значит, векторы и не являются перпендикулярными;



значит, векторы и не являются перпендикулярными.

Б) находим смешанное произведение векторов







Объем параллелепипеда