Задачи на проценты
 Скачать 0.72 Mb.
|
Задачи на проценты.Процентом называется одна сотая часть: Соответственно, Один процент от числа (количества) А – это, по определению, одна сотая часть числа А: 1% от А равен Все задачи на проценты сводятся к разрешению следующих элементарных задач: 1.Вычисление числа по процентам: а) найти p% от числа А Формула ответа: Ф1 б) найти число, p% которого составляет число А Формула ответа: Ф2 в) найти число, превосходящее А на p% Формула ответа: Ф3 г) найти число, меньшее чем А, на p% Формула ответа: Ф4 2. Вычисление процентов по числу: а) Сколько процентов составляет А от В? Формула ответа: Ф5 б) На сколько процентов А больше, чем В? Формула ответа: Ф6 в) На сколько процентов А меньше, чем В? Формула ответа: Ф7 Часто при решении задач на проценты приходится сталкиваться с понятиями “процентное содержание”, “концентрация”, “p%-й раствор”и т.п. Остановимся кратко на этих терминах. Процентное содержание. p%-й раствор. Пусть в ведре 10 л соленой воды. Если процентное содержание соли в нем составляет, например, 15%, то это значит, что в этом ведре 10*0.15=1.5 кг соли.10 л воды весит 10 кг, а удельный вес воды равен 1000 кг/м3.Говорят также, что в ведре 15%-ый раствор соли. Другой пример. Предположим, есть сплав двух металлов:олова и цинка. Пусть вес олова и цинка в сплаве составляет соответственно 10 и 15 кг. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве? Под процентным содержанием олова( цинка) понимается часть, которую составляет вес олова( цинка) от веса всего сплава, выраженная в процентах. Так как вес всего сплава равен 25 кг, то вес олова составляет 10/25=0.4 веса сплава, соответственно вес цинка составляет 15/25=0.6 веса сплава. Если найденные части выразить в сотых долях частей, то получим значение этих частей, выраженное в процентах: 40 и 60%. Следует обратить внимание на то, что 40%+60%=100% Концентрация Дадим простейшее определение концентрации одного вещества в соединении по массе (весу). Если концентрация вещества в соединении по массе составляет p%, то это означает, что масса этого вещества составляет p% от массы всего соединения. Например, если концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%, то в этом сплаве 0.87*300=261 г чистого серебра. Вопросы для самоконтроля: Что называют процентом? Чему равен один процент рубля? Один процент метра? Один процент килограмма? Выберите для каждого процента в левом столбце соответствующую ему дробь в правом столбце: 10% 50% 30% 75% 90% 25% Выразите проценты в виде обыкновенной и десятичной дроби: 39%, 17%, 3%, 50%, 25%, 20%, 10%, 125%. Выразите десятичные дроби в виде процентов: 0,99; 0,25; 0,7; 1,02; 1,21. 6) Вычислить устно: 1. 25% от 3,6 2. 50% от 63 руб. 50 коп. 3. от 3000 руб. 4. 75% от 600 руб. 5. от 3 руб. 6. 15% от 240 руб. 7. 40% от 1060 8. от 3 руб. 9. 10% от 1263 10. 120% от 5 11. 1% от 0,4 12. 150% от 12. 7) Что больше: a% от р или p% от а (а 1. 300% его составляют 336, 3. его составляют 120, 2. 25% его составляют 16, 4. 12,5% его составляют 40. 9) Какую часть составляет число 2 от числа 8? Выразите эту часть в процентах. На сколько процентов число 2 меньше числа 8? 10) Во сколько раз число 3 больше числа 2? Сколько процентов составляет число 3 от числа 2? На сколько процентов число 3 больше числа 2?
1 уровень сложности. К нему относятся простейшие задачи на проценты: 1) нахождение процента от числа; 2) нахождение числа по его проценту; 3) нахождение процентного отношения чисел. Примеры решенных задач: Тренировочные задания. Задача 1: В городе N состоялись выборы в городскую думу, в которых приняли участие 75% избирателей. Только 10% от числа принявших участие в выборах отдали голоса партии “зеленых” .Сколько жителей проголосовали за эту партию, если в городе всего один миллион избирателей? Задача 2: Длина дистанции трехдневной велогонки была 480 км. В первый день велогонщики проехали 25% всего пути, а во второй день 55% оставшегося пути. Сколько километров проехали велогонщики в третий день? Задача 3: При помоле пшеницы получается 80% муки. Сколько пшеницы нужно смолоть, чтобы получить 480 кг пшеничной муки? Задача 4: Мальчик израсходовал 70% имевшихся у него денег, после чего у него осталось 42 руб. Сколько денег было у мальчика первоначально? Задача 5: Яблоки при сушке теряют 84% своей массы. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы приготовить 16 кг сушеных? Задача 6: Изделие стоило 500 руб. Цену уменьшили (увеличили) на 10%. Сколько теперь стоит изделие? Задача 7: В сбербанк положили 1000 руб. Подсчитайте, какую сумму должен получить через 2 года, если по истечении каждого года банк начисляет 3% дохода. Задача 8: Цена товара снизилась с 40 руб. до 30 руб. На сколько процентов снизилась цена? Задача 9: Зарплата повысилась с 5000 руб. до 5100 руб. На сколько процентов повысилась зарплата? Задача 10: В 7-А классе из 40 человек задачу решили 32 человека, а в 7-Б классе из 35 человек эту задачу решили 28 человек. Какой класс справился лучше? Ответы и указания 2 уровень сложности. К нему относятся задачи, в которых, сопоставляя исходные величины, приходится выбирать ту величину, которую необходимо принять за 100% (задачи, в которых находят процент от процента [сложные проценты]). Для нахождения сложных процентов можно использовать следующую формулу: An=A0(1 0,01 x1) … (1 0,01 xn) , где A0 - начальное значение некоторой величины, An – значение, которое получилось в результате нескольких изменений начальной величины (“+” в скобках означает, что величина увеличивалась, “-” –уменьшалась), n- количество изменений начальной величины, x- процент изменения. Когда величина A0 изменяется несколько раз на один и тот же процент, то применяют частный случай вышеуказанной формулы: An=A0(1 0,01 x)n Процентное сравнение осуществляется по формулам Ф6 и Ф7. Напомним их: A > B на , B < A на Примеры решенных задач: Ананасы понизили в цене на 10%, а затем повысили в цене на 10%. Изменилась ли первоначальная цена ананасов, и если да, то на сколько процентов? Решение: Примем исходную цену за А0, а окончательную – за А2, т.к. она установилась после двух изменений. Для наглядности представим ход решения задачи в виде схемы А0 5% 5% А0 ·(1-5 · 0,01)·(1+5 · 0,01) А0 ·(1-5· 0,01) или воспользуемся формулой сложных процентов: А2=А0 ·(1-5 · 0,01)·(1+5 · 0,01) = А0 · (1-25 ·0,0001) = А0 ·(1-0,25 ·0,01) Легко заметить, что процент изменения величины А0 равен 0,25, а знак “-” говорит о том, что цена снизилась. Ответ: цена понизилась на 0,25%. 2) Какой процент ежегодного дохода давал банк, если, положив на счет 13000 руб., вкладчик через 2 года получил 15730 руб.? Решение: а0- размер начальной суммы на счете, А2- размер суммы на счете через 2 года. а2=а0(1+0,01x)2 15730=1300(1+0,01x)2 (1+0,01x)2=1,21 1+0,01x=1,1 или 1+0,01x=-1,1 x1=10 x2= -210- не подходит по смыслу задачи Ответ: банк давал 10% годового дохода. 3) В осенне-зимний период цена на свежие фрукты возрастала трижды: на 10%, на 20% и на25%. На сколько процентов возросла зимняя цена по сравнению с летней? Решение:Обозначим первоначальную летнюю цену за А0, а окончательную через А3, т.к. цена изменялась три раза. По условию: А3=А0 ·(1+0,01 ·10) ·(1+0,01 ·20) ·(1+0,01 ·25) А3=А0 ·1,1 ·1.2 ·1,25 А3=А0 ·1,65 По формуле процентного сравнения: Ответ: цена возросла на 65%. Примечание: Из того, что зимняя цена больше летней на 65% не следует, что летняя цена ниже зимней на также 65%, т.к. в задаче зимняя цена сравнивается с летней и летняя берется за 100%. Если сравнивать с зимней ценой, то ее придется взять за 100%, а эта цена больше. 4) На предприятии выработка продукции возросла за год на 4%, а на следующий год повысилась еще на 8%.Найти средний годовой прирост за эти 2 года. Решение: С одной стороны, А2=А0 · (1+0,04) ·(1+0.08) с другой стороны, А2=А0 ·(1+0,01x)2, где x- средний, одинаковый для каждого года, процент прироста продукции. Тогда А0(1+0.04)(1+0,08) = А0(1+0,01x)2 x2+200x-1232=0 D=44928>0 x1≈6 x2- не удовлетворяет условию задачи Ответ: средний годовой прирост равен 6% Тренировочные задания Задача 1: Известно, что 18% числа составляют 72, а 14% другого числа составляют70.Какое из чисел больше и на сколько процентов? Задача 2: Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколько процентов необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня? Задача 3: Цена товара после двух последовательных снижений на один и тот же процент уменьшилась с 125 до 80 руб. На сколько процентов снижалась цена каждый раз? Задача 4: Выразите в процентах изменение площади прямоугольника, если длина его увеличится на 30%, а ширина уменьшится на 30%. Задача 5: Стоимость товара сначала снизили на 12%, а затем новую стоимость снизили еще на 5%. Сколько процентов от первоначальной стоимости составляет окончательная стоимость этого товара после двух последовательных снижений и на сколько процентов в общем снижена была стоимость товара. Задача 6: Цену товара сперва снизили на 20%, затем на 15% и, наконец, после перерасчета произвели снижение еще на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара? Задача 7: В январе пакет акций стол на 10% меньше, чем в феврале. В феврале этот же пакет акций стоил на 20% меньше, чем в марте. На сколько процентов меньше стоимость пакета акций в январе, чем в марте? Задача 8: Студентов, изучающих французский язык, на 35% меньше, чем изучающих английский, а английский изучают на 4% студентов меньше, чем немецкий. Сколько студентов изучают французский язык, если немецкий изучают на 235 человек больше, чем французский? Ответы и указания 3 уровень сложности. К нему относятся так называемые “двухшаговые” задачи на проценты, т.е. более сложные задачи на смеси, концентрации, производительность и другие, где требуется неоднократное применение задач 1 и 2 уровней. При решении задач на изменение концентрации (изменение процентного содержания) вещества нужно выделить ту компоненту, количество которой остается неизменным. Зная массу этой компоненты и ее процентное содержание в интересующей нас смеси (сплаве, растворе), мы найдем и массу этой смеси. Примеры решенных задач: 1) В расколотом арбузе содержалось 99% воды. После его усыхания содержание воды стало составлять 98%. Во сколько раз усох арбуз? Решение: Обозначим за m первоначальную массу арбуза, m1- массу арбуза после усыхания. Заметим, что масса сухого вещества в арбузе остается неизменной и равна 0,01m, т.к. 100%-99%=1% -приходится на массу сухого вещества; 1% от m есть 0,01m. После усыхания масса сухого вещества составляет 2% от массы всего арбуза (100%-98%=2%). Массу арбуза после усыхания найдем с помощью пропорции: 0,01m – 2% m1 – 100% Ответ: арбуз усох в 2 раза. 2) Кусок сплава меди с оловом массой 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы новый сплав имел 40% меди? Решение: Обратим внимание на то, что масса меди в сплаве не изменится после прибавления олова. Условия задачи дают возможность узнать, сколько килограммов меди в данном куске. Так как эта медь должна составлять 40% массы нового сплава, то мы узнаем массу нового сплава, а, значит, и массу олова, которое надо добавить. Запишем решение задачи. Сколько килограммов меди в 12 кг сплава? Какова масса нового сплава? Сколько чистого олова надо добавить? 13,5 – 12 = 1,5 (кг) Ответ: 1,5 кг 3) Сколько надо взять 10-процентного раствора уксусной кислоты и сколько воды, чтобы смешав, получить 50 г 3-процентного столового уксуса? Решение: Заметим, что при добавлении воды масса чистой уксусной кислоты в растворе остается неизменной. Эту массу мы можем найти, т.к. известна масса столового уксуса и процентное содержание в нем уксусной кислоты. А так как эта масса составляет 10% массы раствора уксусной кислоты, то мы узнаем нужную для смешивания массу раствора и массу воды. Запишем решение. 1. Сколько граммов уксусной кислоты в 50 г столового уксуса? 2. Сколько надо взять для смешивания 10-процентной уксусной кислоты? , 1,5·10=15 (г) Сколько нужно взять для смешивания воды? 50 – 15 = 35 (г) Ответ: нужно взять 15 г 10- процентного раствора уксусной кислоты и 35 г воды. Проверка: Убедимся, что решение верно, для чего проверим, что все условия задачи выполнены: 15 + 35 = 50 (г); в 15 г 10-процентного раствора содержится 15 · 0,1 = 1,5 (г) уксусной кислоты; она составляет в 50 г столового уксуса 3% 3) Из 20-процентного раствора поваренной соли испарилось 25% имеющейся в растворе воды. Найдите концентрацию получившегося раствора. Решение: Пусть m- начальная масса раствора, c- масса соли в растворе (она остается неизменной). Определим сколько граммов соли было в первоначальном растворе: (г) Какова массовая доля воды в первоначальном растворе? Сколько воды осталось в растворе после испарения? Какова концентрация получившегося раствора ( отношение массы соли к массе всего раствора)? Ответ: концентрация соли в растворе составляет 25%. 4) Для проведения опыта научный сотрудник химической лаборатории смешал 4-процентный раствор некоторого химического вещества и 10-процентный раствор этого же вещества и получил 75 мл 8-процентного раствора. Сколько миллилитров 4-процентного раствора и сколько 10-процентного раствора было взято? Решение: Обозначим через x и y количество 4-процентного и 10-процентного растворов, запишем первое уравнение системы: x + y = 75 Второе уравнение системы связывает количество химического вещества в 4-процентном, 10-процентном и получившемся растворах: 0,04x + 0,1y = 0,08(x +y) Решим систему уравнений: x + y = 75, x + y = 75, 0,04x + 0,1y = 0,08(x + y), 4x + 10y = 8x + 8y, x + y = 75, x = 25, 2x – y = 0, y = 50. Ответ: 25 мл, 50 мл. Тренировочные задания. Задача 1: Собранные грибы, влажность которых была 99%, подсушили, после чего влажность снизилась до 96%. Сколько было собрано грибов, если после подсушивания их масса равнялась 20 кг? Задача 2: Влажность семян изменилась при хранении с 5% до 8%. Во сколько раз увеличилась масса семян? Задача 3: Руда, загружаемая в домну, содержит 60% железа. В домне из руды выплавляется чугун, который содержит 98% железа. Сколько тонн чугуна будет выплавлено из 245 тонн руды? Задача 4: Сколько килограммов воды надо выпарить из 100 кг целлюлозной массы, содержащей 90% воды, чтобы получить массу с содержанием 80% воды? Задача 5: Сколько килограммов меди нужно переплавить с двумя килограммами сплава меди и серебра, содержащего 5% серебра, чтобы получить сплав, содержащий 2% серебра? Задача 6: В уксусной эссенции концентрация уксуса 80%. Концентрация столового уксуса 9%. Сколько эссенции и сколько воды нужно взять, чтобы, смешав, получить 800 г столового уксуса? Задача 7: К 10 л 5-процентного раствора соли добавили 5 л воды. Определите процент содержания соли в новом растворе. Задача 8: К 15 л 10-процентного раствора соли добавили 5-процентным раствор соли и получили 8-процентный раствор. Какое количество литров 5% раствора добавили? Ответы и указания Задачи на пропорциональное деление. Пропорцией называется равенство двух отношений. Пропорции записывают так: a : b = c : d или , где a, d называются крайними членами, b, c – средними членами пропорции. Основное свойство пропорции: в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. Выделяют два вида пропорциональной зависимости – прямую и обратную. Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Прямо пропорциональная зависимость между величинами х и у выражается следующей формулой: y = k·x, k≠0. Число k называют коэффициентом пропорциональности. |