Задачи на проценты
 Скачать 0.72 Mb.
|
|
Пример: зависимость между количеством товара и стоимостью покупки прямо пропорциональная, т.к. если купить товар в несколько раз больше, то и стоимость покупки увеличится во столько же раз. Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны: Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Обратно пропорциональная зависимость между величинами х и у выражается формулой: Пример: зависимость между шириной и длиной при одном и том же значении площади прямоугольника обратно пропорциональная, т.к. если увеличить длину прямоугольника в несколько раз, то надо ширину во столько же раз уменьшить. Если две величины обратно пропорциональны, то отношения значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины: Не всякие две величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными. Например, рост ребенка увеличивается при увеличении его возраста, но эти величины не являются пропорциональными, т.к. при удвоении возраста рост ребенка не удваивается. Вопросы для самоконтроля: Что называют пропорцией? Приведите пример. Замените отношение дробных чисел отношением целых чисел: 3) Назовите основное свойство пропорции. Верна ли пропорция Составьте из чисел 10, 12, 30, 4 верную пропорцию. 4) Для чисел a, b, u, v выполняется равенство av=bu. Составьте из этих чисел верную пропорцию. Сколько верных пропорций можно составить из этих чисел? 5) Найти отношение двух чисел, если 140% от первого числа равны 110% от второго. Какие величины называются прямо пропорциональными (пропорциональными)? Приведите пример. Какой формулой выражается прямо пропорциональная зависимость между величинами x и у. Что такое коэффициент пропорциональности? Проверьте, что числа 6, 18, 12 пропорциональны числам 4, 12, 8 и найдите коэффициент пропорциональности. Какие величины называются обратно пропорциональными? Приведите пример. 10) Какой формулой выражается обратно пропорциональная зависимость между величинами х и у? 11) Будут ли обратно пропорциональными величины х и 12) Какие из величин, входящих в следующие формулы, прямо пропорциональны и какие обратно пропорциональны? 1. s=vt; 2. 3. γ=ε/R; 4. 13) Указать из перечисленных ниже величин прямо пропорциональные и обратно пропорциональные. Цена товара и его количество при постоянной стоимости товара. Длина прямоугольника и его площадь при постоянной ширине его. Продолжительность работы и производительность труда рабочих при постоянном объеме работы. Число рабочих и время выполнения определенной работы. Плотность и объем при постоянной массе. Произведение и величина одного из сомножителей. Множимое и множитель при данном произведении. Числитель и величина дроби при постоянном знаменателе. Делимое и частное при постоянном делителе. Числитель и знаменатель при постоянной величине дроби. Будут ли следующие величины пропорциональны? Обратно пропорциональны? Количество проданных в метро билетов и выручка кассы. Расстояние по железной дороге и стоимость билета. Денежный вклад и процентные деньги при данном количестве процентов. Длина окружности и ее диаметр. Длина и масса проволоки. Концентрация соли в растворе и масса раствора. 1 уровень сложности. К нему относятся простейшие задачи на прямую и обратную пропорциональные зависимости. Примеры решенных задач: В баке 135 литров воды. Разделите ее на две части, относящиеся друг к другу как 4 : 5. Решение: 1 способ. Т.к. искомые части относятся друг к другу как 4 : 5, то они содержат соответственно 4e и 5e литров воды, где e- некоторое неизвестное количество литров (e является коэффициентом пропорциональности). Из условия задачи находим: 4e + 5e = 135, Тогда искомые части составят: 4e = 4 · 15 = 60 (л); 5e = 5 · 15 = 75 (л). 2 способ. Обозначим искомые части через x и y и запишем условия задачи с помощью уравнений: x + y = 135, x + y = 135, x : y = 4 : 5, , , y = 75, x = 135 – 75 = 60. Ответ: 60 и 75 л 2) Разделить число 1200 на части, пропорциональные числам Решение: 1 способ. Сразу заметим, что вместо чисел удобнее взять пропорциональные им целые числа 7, 3 и 2 (они получены умножением данных чисел на их общий знаменатель, т.е. по формуле у = 6х; х и у в этом случае прямо пропорциональны). В задаче требуется найти 3 числа x, y и z, которые в сумме дают 1200 и для которых выполняется условие .Частное называют коэффициентом пропорциональности; обозначим его через к. Тогда х = 7к, у = 3к, z = 2к. Так как х + у + z = 1200, то 12к = 1200, к = 100, и, следовательно, х = 700, у = 300, z = 200. 2 способ. Число 1200 надо представить как сумму трех чисел таких, что первое состоит из7, второе – из 3 и третье – из 2 одинаковых частей. Всего получаем 7 + 3 + 2 = 12 частей. На одну часть приходится 1200 : 12 = 100. Тогда первое число равно 7 · 100 = 700, второе – 300, третье – 200. Ответ: 700, 300, 200. 3) Разделить число 82000 на части, обратно пропорциональные числам . Решение: Надо найти три числа х, у,z, сумма которых равна 82000 и для которых выполняется условие ( по определению обратно пропорциональной зависимости величин произведения их соответствующих значений равны) Откуда т.е. получаем, что х, у и z прямо пропорциональны числам которые являются обратными для данных чисел Вместо чисел возьмем целые 12. 14 и 15. Имеем: 41k = 82000, k =2000, x = 24000, y = 2800, z = 30000. Ответ: 2400, 2800, 30000. 4) 399 метров проволоки распределяются между монтерами так, что число метров проволоки, доставшейся первому монтеру, составляет 40% от количества проволоки, взятой вторым монтером, а количество проволоки, взятой первым монтером, относится к количеству проволоки, взятой третьим монтером, как 7 : 4. Сколько метров проволоки получил каждый? Решение: При решении таких задач с помощью составления уравнения удобнее всего взять в качестве неизвестного коэффициент пропорциональности. Пусть хм- то количество проволоки, которое 7 раз содержится в количестве проволоки, взятой первым монтером, и 4 раза в количестве проволоки, взятой третьим монтером. Следовательно, первый монтер взял 7х м, третий – 4х м. Так как 7х м составляет 40% от количества проволоки, взятой вторым монтером, то второй монтер взял Имеем уравнение: 7х + 4х + 17,5х = 399, откуда х = 14. Итак, первый монтер получил 14 · 7 = 98 (м) проволоки, второй – 17, 5 · 14 = 245 (м) и третий – 14 ·4 = 56 (м). Ответ: 98м, 245 м, 56 м. Тренировочные задания. Задача 1: Отец старше сына на 25 лет. Возраст отца относится к возрасту сына, как Сколько лет отцу и сколько лет сыну? Задача 2: Среди 36 учащихся класса нет таких, кто не катался бы на коньках или на лыжах. Число учащихся, умеющих кататься на коньках, относится к числу учащихся, умеющих кататься на лыжах, как 4 : 5, причем лыжников на 6 больше, чем конькобежцев. Сколько учащихся катается и на коньках, и на лыжах? Сколько учащихся катается только на коньках? Задача 3: Новое серебро (альпака) – это сплав никеля, цинка и меди в отношении 3 : 4 : 13. Сколько килограммов каждого металла нужно взять, чтобы получить 4 кг нового серебра? Задача 4: Число 680 разделить на два числа, обратно пропорционально числам Задача 5: Найдите, какой путь прошел турист за 5 дней пути, если за 2 последних дня он прошел 45 км, а количества километров, проходимых туристом, начиная с первого, относятся как 2 : 6 : 4 : 3 : 2. Задача 6: Веревку длиной 12,4 метра разрезали на три части так, что длина первой части составляет 60% второй, а длина второй части так относится к длине третьей, как 2 : 3.Найдите длину каждой части. Задача 7: За три книги заплатили 1925 рублей. Цена первой книги составляет 40% цены всех книг. Цены двух других книг прямо пропорциональны числам 5 и 6. Найти цену каждой книги. Задача 8: Три колхоза построили сообща гидростанцию. Первый внес на постройку 24% ее стоимости. Суммы, внесенные вторым и третьим колхозами, были обратно пропорциональны числам 3,2 и 2,5.Второй колхоз внес на 4480 рублей меньше третьего. Сколько денег израсходовали колхозы на постройку гидростанции. Ответы и указания. 2 уровень сложности. К нему относятся задачи , в которых пропорциональная зависимость величин указана неявно, и требуется установить какой она носит характер (прямая или обратная) Примеры решенных задач: 1) В уксусной эссенции концентрация уксуса 80%. Концентрация столового уксуса 9%. Сколько воды нужно добавить к 180 мл эссенции, чтобы получить столовый уксус? Решение: 1 способ. Воспользуемся тем, что концентрация уксуса и количество раствора уксуса обратно пропорциональные величины. Так как концентрация уксуса уменьшилась в раз, то количество раствора уксуса увеличится во столько же раз, т.е. станет равным Следовательно, нужно добавить 1600 – 180 = 1420 (мл) воды. 2 способ. Количество столового уксуса можно было найти, составив пропорцию. Концентрация уксуса: Количество: в эссенции – 80% эссенции – 180 мл в столовом столового уксусе – 9% уксуса – х мл А т.к. эти величины обратно пропорциональны, то откуда x =1600 (мл). Нужно добавить 1600 – 180 = 1420 (мл) воды. Ответ: 1420 мл. Замечание: Количество раствора обратно пропорционально концентрации того вещества, количество которого не меняется при разбавлении. Так, в рассмотренной задаче количество уксуса и концентрация раствора будут обратно пропорциональными. 2) Время, необходимое на изготовление некоторой детали, уменьшилось на 20%. На сколько процентов увеличилась производительность труда? Решение. Пусть за время t произведено количество продукции, равное a. Производительность труда – это количество продукции, производимой в единицу времени, т.е. или pt=a. Равенство показывает, что производительность труда и время выполнения определенной работы обратно пропорциональны. 1 способ. Составим пропорцию, приняв время, затрачиваемое ранее на изготовление 1 детали, и прежнюю производительность труда за 100%. Время Производительность труда было 100% была 100% стало 80% стала x%. А т.к. эти величины обратно пропорциональные, то х = 125%. Следовательно, производительность труда увеличилась на 25%. 2 способ. Время, необходимое на изготовление детали, уменьшилось в раза. Следовательно, производительность труда увеличилась в раза и стала равной 3 способ. Раньше 1 деталь изготовляли за 1 ед. времени, стали изготовлять за 0,8 ед. времени (80% = 0,8). Поделив количество деталей (1 дет.) на время, за которое это количество изготовили (0,8 ед. времени), получим, сколько деталей стали изготовлять в 1 ед. времени 1 : 0,8 = 1,25. Это и есть новая производительность труда 1,25 = 125%. Ответ: на 25%. 4) Предприятие перешло с 7-часового рабочего дня на 6-часовой, повысив производительность труда на 20%. Расценки за выполненную работу остались прежними. На сколько процентов возросла заработная плата? Как изменилось количество выпускаемой продукции? Решение: Заработная плата при неизменных расценках пропорциональна количеству выпускаемой продукции. Количество выпускаемой продукции пропорционально производительности труда и пропорционально времени, затраченному на работу. Пусть раньше предприятие выпускало 100% продукции. Т.к. время работы уменьшилось в раза, то и количество выпускаемой продукции уменьшилось в раза и стало равным . С другой стороны, т.к. производительность труда увеличилась в раза, то и количество выпускаемой продукции увеличилось в раза и стало равным Следовательно, количество выпускаемой продукции и заработанная плата увеличились примерно на 3%. Ответ: увеличились примерно на 3%. 4) Шкив диаметром 720 мм, делающий 143 оборота в минуту, соединен ременной передачей с другим шкивом, делающим 396 оборотов в минуту. Найти диаметр второго шкива. Решение: Точка, лежащая на окружности шкива диаметра d мм, за 1 оборот проходит πd мм, а за n оборотов – πdn мм. Т.к. линейные скорости точек обоих шкивов равны (шкивы соединены ременной передачей), то, если d1 и d2 – диаметры шкивов, а n1, n2- количества оборотов, которые они делают в единицу времени (угловые скорости), то πd1n1 = πd2n2, d1n1 = d2n2. Равенство показывает, что угловая скорость и диаметр шкива – обратно пропорциональные величины. 720 · 143 = 396 · d2, d2 = 260 мм – диаметр второго шкива. Ответ: 260 мм Тренировочные задания. Задача 1: Три жильца должны уплатить по одному счету за пользование электроэнергией 408 рублей. У первого жильца 3 лампы по 50 ватт, у второго 4 лампы по 25 ватт и у третьего 2 лампы по 75 ватт. Сколько денег должен уплатить каждый? Задача 2: Три девочки нашли в лесу 93 белых гриба. Когда первая девочка разложила свои грибы в кучки по 5 грибов в каждой, а вторая – в кучки по 6 грибов в каждой, то кучек получилось у них поровну. Когда же вторая разложила свои грибы по 4, а третья – по 3, то кучек у них получилось тоже поровну. Сколько грибов нашла каждая девочка? Задача 3: Сколько воды надо долить к 25 г кислоты в 90%, чтобы получить кислоту в 75%? Задача 4: Скорость резания металла увеличилась с 0,8 м/с до 1 м/с. На сколько процентов уменьшилось время на изготовление 1 детали? На сколько процентов увеличилась производительность труда? Задача 5: Цех стал выпускать в час 250 схем вместо 200. На сколько процентов повысилась производительность труда? На сколько процентов уменьшилось время на изготовление одной схемы? Задача 6: Производительность труда увеличилась на 15%, а рабочий день сократился на 1 час (был 8-часовой рабочий день). На сколько процентов увеличилась заработная плата, если расценки остались прежними? Задача 7: Объем работ по жилищному строительству в районе увеличился на 173% по сравнению с прошлым годом, а производительность труда строительных рабочих повысилась на 40%. На сколько процентов нужно увеличить число строительных рабочих, чтобы выполнить план за то же время? Задача 8: 9 человек выполнили работу за 12 дней при 7-часовом рабочем дне. За сколько дней выполнят такую же работу 10 рабочих при 6-часовом рабочем дне, если производительность труда повысится на 20%? Ответы и указания. 3 уровень сложности. К нему относятся более сложные задачи на смеси, сплавы, а также задачи, содержащие параметры. Примеры решенных задач: 1) Имеется два сплава золота и серебра: в одном количество этих металлов находится в отношении 2 : 3, а в другом – в отношении 3 : 7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5 : 11? Решение: Пусть для получения 8 кг нового сплава нужно взять х кг сплава 1 типа и (8 – х) кг сплава 2 типа. По условию задачи в сплаве 1 типа содержится кг золота (2 части из 5), в сплаве 2 типа содержится кг золота. Тогда в новом сплаве содержится кг золота. С другой стороны, из условия задачи в новом сплаве кг золота. Получаем равенство: Ответ:1 кг и 7 кг. 2) Имеется два куска сплава серебра с медью. Один из них содержит p% меди, другой – q% меди. В каком отношении нужно брать сплавы от первого и второго кусков, чтобы получить новый сплав, содержащий r% меди? При каком соотношении между p, q, r задача имеет решение? Решение: Пусть отношение масс сплавляемых кусков равно x : y. Следовательно, можно взять, например, х и у граммов соответственно первого и второго сплавов. В х г первого сплава содержится p% меди, т.е. x·p/100 г меди, а в у г второго сплава содержится y·q/100 г меди. В новом сплаве массой ( х + у) г будет (x·p/100 + y·q/100) г меди. Зная, что новый сплав содержит r% меди, т.е. (x + y) ·r/100 г меди, имеем или px + qy = r( x+ y), откуда (p – r)x = (r – q)y. Рассмотрим возможные случаи. Если p = r = q, то х и у – любые, т.е. можно взять сколько угодно первого сплава и сколько угодно второго. p = r ≠ q. В этом случае уравнение приобретает вид 0·x = (r – q)y, откуда х – любое, у = 0, т.е. первого сплава можно взять сколько угодно, второго не брать вовсе. p ≠ r = q. Получим уравнение (p – r)x = 0 · y; у – любое, х = 0. p ≠ r, q ≠ r. В этом случае можно написать Задача будет решена, если > 0, т.е. если p < r < q или q > r > p. Тренировочные задания. Задача 1: Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2 : 3, а другая – в отношении 3 : 7. По сколько ведер нужно взять из каждой бочки, чтобы составить 12 ведер смеси, в которой спирт и вода были бы в отношении 3 : 5? Задача 2: Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1 : 2, а другой содержит те же металлы в отношении 2 : 3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17 : 27? Задача 3: Две бочки вместимостью по a ведер наполнены смесью спирта и воды. В первой эти жидкости смешаны в отношении m : n, во второй в отношении p : q. Сколько ведер надо отлить из каждой бочки, чтобы из отлитых частей составить смесь, в которой спирта и воды поровну, а, смешав то, что останется, получить смесь, в которой спирта и воды r |