Задачи на проценты
 Скачать 0.72 Mb.
|
|
: s? Задача 4: В двух чанах налита вода. Чтобы в обоих было поровну, нужно перелить из первого во второй столько, сколько там было, потом из второго в первый столько, сколько в первом осталось, и, наконец, из первого во второй столько, сколько во втором осталось. Тогда в каждом чане окажется по 64 ведра. Сколько в них было сначала? Задача 5: Гонорар за книгу был распределен между тремя соавторами в отношении 8 : 6 : 5. Если бы этот же гонорар был распределен в отношении 7 : 5 : 4, то один из соавторов получил бы на 250 рублей больше, чем он получил на самом деле. Чему равна сумма гонорара? Ответы и указания. Задачи на совместную работу. При решении задач на работу всю работу А обычно принимают за 1. Количество работы, выполняемой в единицу времени, будем называть производительностью труда P. Производительность труда и время t, необходимое для выполнения всей работы, - взаимно обратные величины: A = P · t Если работа принята за единицу, а время выполнения ее за t часов, то производительность, выраженная в частях , равна всей работы. Чтобы определить общую производительность нескольких объектов, совместно выполняющих некоторую работу(рабочих, тракторов, кранов и др.), нужно найти сумму производительностей этих объектов: Р = Р1 + Р2 + ... + Рn , где Р – общая производительность, Рi – производительность i-ого объекта (i=1,2,...,n), n – число объектов. Однако, нельзя то же самое сказать о времени совместной работы. Оно будет всегда меньше времени работы каждого объекта в отдельности. Вопросы для самоконтроля: Что называют производительностью труда? Какая формула связывает работу, производительность и время выполнения работы? Как найти общую производительность труда? 4) Винни-Пух съедает банку меда за 3 часа. а) Какую часть меда он съедает за 1 час? За 1,5 часа? За 2 часа? б) Пятачок съедает банку меда за 4 часа. Какую часть меда он съедает за 1 час? Какую часть они съедят вдвоем с Винни-Пухом за 1 час? в) Какое время потребуется Пятачку и Винни-Пуху, чтобы вместе съесть банку меда? 5) Слесарь может выполнить заказ за 6 часов, а ученик за 8 часов. Какую часть заказа выполнит каждый за 1 час? Выполнят оба за 1 час? 6) За час рабочий выполнит 1/6 нормы. За сколько часов рабочий выполнит всю норму? 7) За минуту насос наполняет 1/120 бассейна. За сколько часов насос наполняет весь бассейн? Составить обратную задачу. 8) Кран за 10 минут наполняет 1/30 бассейна. За сколько часов наполнится весь бассейн? 9) За 15 дней трактор вспахал 3/4 поля. За сколько дней трактор вспашет все поле? 10) За а часов рабочий выполнил (b Примеры решенных задач: 1) 8 рабочих выполнили работу за 6 дней. За сколько дней выполнили бы ту же работу 12 рабочих (при той же производительности труда)? Решение: Если всю работу принять за 1, то производительность 8 рабочих будет равна 1/6 (т.е. в день они выполнят 1/6 часть работы). Найдем производительность одного рабочего, приняв, что у всех рабочих одинаковая производительность: 1/6 : 8 = 1/48. Тогда общая производительность 12 рабочих будет равна 12 · 1/48 = 1/4. Следовательно, они выполнят всю работу за 1:1/4 = 4(дня). Ответ: за 4 дня. 2) Одним и тем же количеством сена можно прокормить одну корову в течение 60 дней, а одну лошадь – в течение 36 дней. На сколько дней хватит этого сена для коровы и лошади вместе при той же дневной норме? Решение: Количество сена нам не известно, но мы можем принять его за 1 (т.к. в данном случае, как бы непривычно это ни было, сено выступает в роли работы). Тогда в день корова съедает 1/60 часть сена, лошадь – 1/36(это, по определению, производительность). Нужно найти за какое время корова и лошадь вместе съедят все сено. Найдем сколько сена они съедят вместе за 1 день (общую производительность): 1/60 + 1/36 = 2/45. Чтобы ответить на вопрос задачи, воспользуемся формулой: 1: 2/45 = 22,5 (дня). Ответ: сена хватит на 22,5 дня. 3) Одна бригада грузчиков берется выгрузить груз за 12 часов. Чтобы выгрузить этот груз, второй бригаде требуется 50% этого времени. Третья бригада может этот груз выгрузить за время в 1,5 раза меньшее, чем требуется первой бригаде. На выгрузке работали Задачи на совместную работу зачастую содержат большое количество данных, причем в задаче может идти речь сразу о нескольких процессах (например, работа по плану и фактическая) или временных промежутках (сначала – потом). Поэтому, чтобы было проще разобраться в условии задачи, иногда делают анализ условия и записывают все данные в таблицу. При проведении анализа задачи необходимо ответить на следующие вопросы: О каком процессе идет речь в задаче? Какими величинами характеризуется этот процесс? (Их количество определяет число строчек в будущей таблице.) Сколько процессов в задаче? (Их количество равно числу столбиков в таблице.) Какие величины известны и что нужно найти? (Таблица заполняется данными задачи и ставится знак вопроса.) Как связаны величины в задаче? (Выписываются формулы и уясняются связи величин в таблице.) Какую величину удобно обозначить, например, буквой х?( Анализируется, удобно ли за х взять величину, о которой спрашивается в задаче, или лучше какую-либо другую. Затем остальные неизвестные величины выражаются через х, каждой из них соответствует пустая клетка в таблице.) Какое условие нужно использовать для составления уравнения?( Это то условие, которое не использовалось для выражения неизвестных через х. Записывается условие составления уравнения и само уравнение.) Легко ли решить полученное уравнение?( Нужно подумать не следует ли ввести буквенное обозначение в другую строчку таблицы и для составления уравнения использовать другую связь между величинами.) Примеры решенных задач: По плану тракторная бригада должна была вспахать поле за 14 дней. Бригада вспахивала ежедневно на 5 га больше, чем намечалось по плану, и потому закончила пахоту за 12 дней. Сколько гектаров было вспахано? Найдите площадь поля. Решение: Проанализируем условие задачи, для чего ответим на предложенные выше вопросы. Речь идет о процессе работы. Он характеризуется тремя величинами: вся работа (А) – это измеряемая в гектарах площадь поля; работа в единицу времени, т.е. производительность труда (Р), и время (t) – число дней, затраченное на работу. Значит, в таблице нужны 3 строчки (А, Р, t). В задаче упомянуты два процесса работы: по плану и фактический, значит, в таблице будет два столбика. Теперь остается начертить таблицу с тремя строками и двумя столбцами и заполнить все ее клетки заданными соотношениями. Получаем таблицу 1. (1 связь) А = Р t (2 связь)
4. Формула А = Р t определяет связь этих величин в столбиках краткого условия 5. Обозначим через х ту величину, о которой спрашивается в задаче. А1 = А2 = х 6. Используем 2 связь Р2-Р1=5 для составления уравнения: 7. Это уравнение содержит дроби, что приводит к более сложному решению. Проверим, не удобнее ли будет ввести х во 2 строчку таблицы. Итак, если Р1=х, то Р2= х+5. тогда в соответствии с условием А1 = А2 Р1· t1 Р2· t2 х · 14 (х+5)·12 приходим к уравнению: 14х = 12·(х+5). (2) Уравнение (2) проще уравнения (1), значит, рациональней осуществить второй способ решения, несмотря на то что площадь, о которой спрашивается в задаче, будет найдена не сразу, а только после решения уравнения (2). Анализ задачи в тетрадь не записывается, он выполняется устно или на черновике. Решение задачи записывается в следующем виде: Пусть х (га/день) – производительность бригады по плану, тогда (х+5) (га/день) – фактическая производительность бригады. Работа по плану составляет х · 14(га), а фактическая работа (х+5) · 12 (га). По условию площадь поля: 14х (га) и 12(х+5) (га), в обоих случаях одинакова, поэтому можно составить уравнение: 14х = 12(х+5) 2х = 60 х = 30. Производительность по плану составляет 30 га/день. Тогда площадь поля равна 14·30=420 (га). Ответ: площадь поля равна 420 га. Замечание: Совсем необязательно проводить все рассуждения полностью, но предложенная схема анализа очень полезна в том случае, когда не получается найти решение задачи сходу. 2) Завод по плану должен был изготовить 180 станков к определенному сроку. Перевыполняя дневную норму на 2 станка, завод выполнил задание на 1 день раньше срока. За сколько дней завод выполнил план? Анализ условия задачи проведите самостоятельно. Решение. Обозначим фактическое число дней, затраченных на выполнение задания через х, где х>0. Составим таблицу 2. Разность между фактическим выпуском станков в день и планируемым составила а по условию она равна значит, можно составить уравнение: х(х+1). ОДЗ: 180х + 180 – 180х = 2х2 + 2х, 2х2 + 2х – 180 = 0 :2, х2 + х – 90 = 0. По теореме, обратной теореме Виета, имеем: х1 +х2 = -1 х1 · х2 = -90.
Значит, х1=9, х2= -10, но х2 не удовлетворяет условию задачи (х>0). Значение х=9 входит в ОДЗ. Ответ: завод выполнил план за 9 дней. 3) Вместо одной грузовой машины, в связи с ее занятостью на другой работе, для перевозки груза массой 45 т взяли другую машину, грузоподъемность которой на 2 т меньше первой. Поэтому было сделано на 6 рейсов больше, чем предполагалось. Какой грузоподъемности машина была намечена для перевозки груза? Решение: Речь идет о процессе работы, который в данной задаче характеризуется тремя величинами: М (т) – масса всего перевозимого груза (работа); m (т/рейс) – грузоподъемность машины, т.е. масса, которую машина может перевезти за 1 рейс (производительность); k (рейс) – число рейсов машины. Значит, в таблице нужны 3 строчки с соответствующими обозначениями. Поскольку в задаче речь идет о том, что с перевозкой сначала справлялась одна машина, а затем другая, значит речь идет о двух процессах перевозки, т.е. в таблице кроме столбца “Величины” нужны еще два столбца. Заполним таблицу 3 данными задачи. За х удобно принять грузоподъемность 1 машины. Поскольку х введен во 2 строчку таблицы, для составления уравнения нужно использовать связь величин в 3 строчке. Обозначим грузоподъемность 1 машины через х (т/рейс), где х>0. Тогда грузоподъемность 2 машины будет (х-2) т/рейс. Значит, 1 машина должна была сделать рейсов, а 2 сделала рейсов. Разность между числом рейсов 2 и 1 машины составила рейсов, а по условию она равна 6 рейсам. Следовательно, можно составить уравнение: Решая это уравнение, получим систему: 45х – 45х + 90 – 6х2 + 12х = 0 или х2 – 2х – 15 = 0
Первое уравнение этой системы дает корни х1=5, х2= -3, которые не противоречат второму условию системы. Но значение х = -3 не удовлетворяет условию задачи: х>0. Ответ: для перевозки груза была намечена машина грузоподъемностью 5 т. 4) Бассейн наполняется двумя трубами, действующими одновременно, за 2 часа. За сколько часов может наполнить бассейн первая труба, если она, действуя одна, наполняет бассейн на 3 часа быстрее, чем вторая? Решение: Проанализируем условие задачи. Итак, о какой работе здесь идет речь? О работе по наполнению бассейна, объем которого обозначим через V условных единиц. Этот объем заполняется каждый час на N (усл. ед.), т.е. N – работа в единицу времени. Через t обозначим число часов, необходимых для заполнения бассейна. Значит, в таблице нужны 3 строчки. О скольких процессах упоминается в условии? Речь идет о том, что обе трубы могут выполнить работу(наполнить бассейн) одновременно – это один процесс. Далее сравниваются показатели по наполнению бассейна сначала одной 1 трубой, а затем одной 2 трубой – это еще два разных процесса. Какие величины нам известны, а какие нужно найти? Нужно найти, за сколько часов наполнит бассейн одна 1 труба. Обозначим эту величину через х. Она измеряется в часах. В каких единицах измеряется объем бассейна, не сказано. Значит, для решения задачи это несущественно, и мы вместо условных единиц можем принять любое число. Возьмем самое удобное – 1. Как связаны величины в задаче? Для ответа на этот вопрос заполняем таблицу 4. Для составления уравнения используем связь величин во второй строке таблицы 4 : Р1+Р2=Рсовм, т.е. Условие составления уравнения следует записать таким образом. Так как за 1 ч обе трубы вместе заполняют часть бассейна, а по условию это ½ часть, значит, можно составить уравнение: ·2х(х+3). ОДЗ: Отсюда 2(х+3) + 2х = х(х+3), или х2 – х – 6 = 0. Получаем корни х1=3, х2= -2. Оба корня соответствуют ОДЗ, но х = -2 не удовлетворяет условию задачи. Ответ: 1 труба наполняет бассейн за 3 часа.
3 уровень сложности. К нему относятся задачи, содержащие параметры. Примеры решенных задач: Двум рабочим было поручено изготовить партию одинаковых деталей. После того как первый проработал 7 ч. и второй t ч, оказалось, что они выполнили 5/9 всей работы. Проработав совместно еще 4 ч, они установили, что им остается выполнить 1/8 всей работы. За сколько часов может выполнить всю работу второй рабочий? Решение: Пусть за х ч. может выполнить работу второй рабочий. Тогда его производительность 1/х. Найдем ту часть работы, которую выполнили оба рабочих за 4 часа совместной работы. Следовательно, их совместная производительность за 1 час составляет . Тогда производительность первого рабочего Первый рабочий за 7 часов выполнит часть работы, второй за t часов - часть работы. Зная, что оба они выполнят 5/9 всей работы, составим уравнение: Из условия задачи очевидно, что x>0, t>0, из решения видно, что т.е. т.е. Ответ: 56-8t ч. Задача имеет решение при 2) Двое рабочих выполняют одну работу. Сначала один проработал треть того времени, которое требуется второму для выполнения всей работы. Затем второй проработал треть времени, которое потребовалось бы первому для выполнения всей работы. После этого оказалось, что выполнено а % всей работы. Найти, сколько времени потребовалось бы каждому из них для выполнения всей работы, если вместе они выполнили бы ее за t часов. Для какого а задача имеет единственное решение? Решение: Пусть t1 – время, за которое первый рабочий выполнит всю работу, t2 – второй. Если обозначим всю работу за 1, то из условия задачи получим уравнения (t1+t2)t = t1· t2, t1, t2 > t 100(t12 + t22) = 3at1· t2, 0 t12+t22 Дополним до полного квадрата левую часть: t12+t22+2t1t2 +2t(t1+t2), (t1+t2)2= Отсюда Если не прибавлять 2t1t2, а вычитать, то получим (t1 - t2)2= Заменяя здесь сумму t1+t2 ее значением, получим (t1 - t2)2= t2 Если, например, t1>t2, то Получим систему: Проверим, что t1>t и t2>t. В самом деле, , т.е. t1>t. Учитывая, что получим, что значит, т.е. t2>t. Задача имеет единственное решение, если т.е. Задача не имеет решения, если т.е. Задача имеет 2 решения, если Ответ: или наоборот. Тренировочные задания: Задача 1: Бассейн для плавания имеет три трубы для отвода воды. Через первую и вторую вместе при закрытой третьей трубе наполненный бассейн делается пустым за а мин. Через первую и третью вместе при закрытой второй трубе – за b мин, а через вторую и третью трубы при закрытой первой – за с мин. За какое время освобождается от воды наполненный бассейн через каждую трубу в отдельности? Задача 2: А выполняет некоторую работу в срок на а дней больший, чем В, и на b дней больший, чем С. А и В, работая вместе, выполняют эту работу за столько же дней, что и С. Определить время, в которое каждый выполняет эту работу отдельно. При каком соотношении между заданными величинами задача имеет решение? Задача 3: Двум рабочим было поручено изготовить партию одинаковых деталей; после того как первый проработал а ч, а второй 0,6а ч, оказалось, что они выполнили 5/n всей работы. Проработав совместно еще 0,6а ч, они установили, что им осталось изготовить еще 1/n часть всей партии деталей. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, выполнит всю работу? Число n – натуральное; найти его. Задача 4: Водоем снабжен двумя каналами. Через первый вода выливается, через второй вливается. Узнать, за сколько часов через первый канал пройдет n л воды, если известно, что через второй вольется в 2 раза больше тогда, когда он будет открыт на а ч меньше того времени, за которое через первый канал пройдет n л. Если оба канала открыть одновременно, то в каждый час в водоеме прибывает а л воды. Задача 5: Из автоцистерны сливали бензин в подземное хранилище по двум шлангам разного сечения. Первоначально а мин бензин поступал через оба шланга, затем первый шланг был отключен, и весь оставшийся бензин прошел через второй шланг за b мин. Но, если бы после первоначальных а мин был отключен не первый, а второй шланг, то весь оставшийся бензин прошел бы через первый шланг за с мин.Сколько времени продолжалось бы переливание всего бензина из автоцистерны в хранилище только через один первый шланг? Ответы и указания. 1.7500 жителей 2.162 км 3.600 кг 4. 140 руб. 5. 100 кг 6. 450(550) руб. 7. 1060,9 руб. Примечание: Обратите внимание, что увеличение числа на 3% равносильно умножению его на 1,03, т.к. 100%+3%=103%=1,03. Тогда увеличив 2 раза величину данной суммы на 3%, получим: 1000*1,03*1,03=1060,9 (руб.) 8. на 25% 9. на 2% 10.оба класса справились одинаково Указание: Найдите процентное отношение количества учащихся, решивших задачу, к количеству учащихся всего класса. Сравните полученные для каждого класса результаты. Назад 1. Второе число больше первого на 25% 2. На 25% 3. На 20% 4. Площадь прямоугольника уменьшится на 9% 5. 83,6%; на 16,4% 6. На 38,8% 7. на 24,2% 8. 578 человек Назад 1. 80 кг 2. в 1,03 раза 3. 150 т 4. 50 кг 5. 3 кг 6. 90 г эссенции и 710 г воды 7. ≈ 3% 8. 10 л Назад 1. 45 и 20 лет 2. 18 учащихся катается и на коньках, и на лыжах; 6 учащихся катается только на коньках. 3. 0,6 кг никеля, 0,8 кг цинка и 2,6 кг меди. 4. 300, 200, 180. 5. 153 км. 6. 2,4 м, 4 м, 6 м. 7. 770, 525 и 630 рублей 8. 48000 рублей Назад. 1. 153 руб, 102 руб, 153 руб. 2. 30, 36 и 27 грибов. 3. 5 г. 4. 20%, 25% 5. 25%, 20%. 6. 0,625%. 7. 95% 8. за 10,5 дней. Назад. 1. 9 и 3. 2. 9 и 35. 3. Из 1-ой бочки (a( p – q )((p +q )(ms-nz) + (m +n )(ps –qz )))/(p + q )(r –s )( mq - pn ) 4. 88 и 40 ведер. 5. 1520 рублей. Назад. 1. За 2. За Задача имеет решение при b>a. 3. 4. 5. Назад |