Статья. научная статья. Задачи на смеси, сплавы, растворыКондратьев Иван
 Скачать 499.87 Kb.
|
|
Тема: « Задачи на смеси, сплавы, растворы»Кондратьев Иван Россия, Забайкальский край, Карымский район, село Тыргетуй МОУ СОШ с.Тыргетуй 9 класс. Научная статья Научные понятия: смесь, сплав, раствор, концентрация. В жизни мы встречаемся не с чистыми веществами, а со смесями, т.е. соединениями веществ. Смеси1 могут быть жидкими, твёрдыми и газообразными. Раствор – это однородная система, состоящая из частиц растворённого вещества, растворителя и продуктов их взаимодействия. Сплавы2 – это материалы с характерными свойствами, состоящие из двух или более компонентов, из которых по крайней мере один - металл. Отношение массы растворённого вещества к общей массе раствора называют массовой долей растворённого вещества. Массовую долю выражают в долях единицы или процентах. W( в долях)=m(вещество): m(раствор), W( в %)=w* 100% Массовую долю, выраженную в процентах, называют концентрацией вещества. Тема: « Задачи на смеси, сплавы, растворы»Кондратьев Иван Россия, Забайкальский край, Карымский район, село Тыргетуй МОУ СОШ с.Тыргетуй 9 класс. Методы решения задач на сплавы, смеси, растворы. Существуют несколько способов решения задач по данной теме: 1)Метод прямоугольников; 2)Арифметический способ; 3)Алгебраический способ; 4)Табличный способ; 5) Схематический способ; 6) Метод «стаканчиков» Рассмотрим методы решения задач на сплавы , смеси, растворы: Решение задач на смеси методом прямоугольников. Одним из универсальных методов является метод прямоугольников. Данный способ удобен, так как зрительное восприятие данных, расположенных в определенном задуманном порядке, позволяет компактно представить процессы соединения растворов, упростить составление уравнения, а также облегчить процесс как решения, так и проверки задачи. Наиболее распространены задачи, в которых из двух смесей (растворов или сплавов) получается новая смесь (раствор или сплав). Этот способ основан на приравнивании площадей равновеликих прямоугольников. Рассмотрим типовые задачи. Задача 13. Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять? Решение: Обозначим x массу первого раствора, тогда масса второго (600 - x).  15x = 5 (600- x) x =150 г. Ответ: 150 г и 450 г. Решение других задач методом прямоугольников смотрите приложение 1. Метод прямоугольников можно назвать «красивым», но составление рисунка занимает много времени. Табличный метод. Решение задач на концентрацию В данных задачах речь идет о сплавах, растворах и смесях, которые получаются при сплавлении или смешивании различных веществ. При решении таких задач принимаются некоторые допущения. Первое: если смешиваются два раствора, масса которых х и у, то получившаяся смесь будет иметь массу х + у. Второе: получившиеся смеси и сплавы имеют однородную консистенцию. В смесях и растворах содержится некоторая масса чистого вещества, которую и отражает концентрация. При решении таких задач удобно пользоваться таблицей, которая помогает понять задачу и по которой легче составить уравнение или систему, так как она нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие определенного расположения величин в таблице дает дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задачи и её проверки. Такая таблица имеет стандартный вид, который легко использовать для записи любой задачи данного типа:
Алгоритм решения задачи на сплавы, растворы и смеси: Изучить условия задачи. Выбрать неизвестные величины (их обозначают буквами х, у и т.д.), относительно которых составить пропорции, этим, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. Используя условия задачи, определить все взаимосвязи между данными величинами. Составить математическую модель задачи и решить ее. Изучить полученное решение, провести критический анализ результата. Задача 1. Имеются два раствора соли массой 80 г и 120 г. В первом растворе содержится 12 г соли, а во втором – 15 г соли. Какова концентрация этих растворов. Какой будет концентрация, если оба эти раствора смешать? Решение:
К = 12/80*100% = 3/20*100% = 15 (%) – концентрация 1 раствора. К = 15/120*100% = 5/40*100% = 12,5 (%) – концентрация 2 раствора. К = 27/200*100% = 27/2 = 13,5 (%) – концентрация смеси. Ответ: 15; 12,5; 13,5. Табличный способ позволяет видеть условие задачи,для этого надо запомнить название столбцов и заполнить таблицу. Старинный способ решения4 Таким способом можно решать задачи на смешивание (сплавление) любого числа веществ. Задачам подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и «Арифметике» Леонтия Филипповича Магницкого (1703г). (Лео́нтийФили́пповичМагни́цкий5 (при рождении Телятин; 9 (19) июня 1669, Осташков — 19 (30) октября 1739, Москва) — русский математик, педагог. Преподаватель математики в Школе математических и навигацких наук в Москве (с 1701 по 1739), автор первой в России учебной энциклопедии по математике). Данный способ позволяет получить правильный ответ за очень короткое время и с минимальными усилиями. Решим предыдущую задачу 1 старинным способом. Друг под другом пишутся процентные содержания меди в имеющихся сплавах, слева от них и примерно посередине – процентное содержание меди в сплаве, который должен получиться после сплавления. Соединив написанные числа черточками, получим такую схему: Рассмотрим пары 75 и 72; 75 и 80. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее, и результат запишем в конце соответствующей стрелочки. Получится такая схема: 72 5 75 80 3 Из нее делается заключение, что 72%-ного сплава следует взять 5 частей, а 80%-ного – 3 части (800:(5 + 3) = 100 г приходится на одну часть.) Таким образом, для получения 800 г 75%-ного сплава нужно взять 72%-ного сплава 100·5 = 500 г, а 80%-ного – 100·3 = 300 г. Ответ:500г, 300г. Решение других задач методом Магницкого смотрите приложение 2. Правило креста или квадрат Пирсона (Карл (Чарлз) Пирсон (27 марта 1857, Лондон — 27 апреля 1936, там же) — выдающийся английский математик, статистик, биолог и философ; основатель математической статистики, автор свыше 650 опубликованных научных работ). Очень часто при решении задач приходится встречаться со случаями приготовления растворов с определенной массовой долей растворенного вещества, смешением двух растворов разной концентрации или разбавлением крепкого раствора водой. В некоторых случаях можно провести достаточно сложный арифметический расчёт. Однако это малопродуктивно. Чаще для этого лучше применить правило смешения (диагональную модель «квадрата Пирсона», или, что тоже самое, правило креста). Допустим, нужно приготовить раствор определенной концентрации, имея в распоряжении два раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно нам. Тогда, если обозначить массу первого раствора через m1, а второго – через m2, то при смешивании общая масса смеси будет складываться из суммы этих масс. Пусть массовая доля растворённого вещества в первом растворе – 1, во втором – 2, а в их смеси – 3. Тогда общая масса растворённого вещества в смеси будет складываться из масс растворённого вещества в исходных растворах: m1∙1 + m2∙2 = 3(m1 + m2). Отсюда m1(1 – 3) = m2(3 – 2), . Видно, что отношение массы первого раствора к массе второго раствора есть отношение разности массовых долей растворённого вещества в смеси и во втором растворе к разности соответствующих величин в первом растворе и в смеси. При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешения. При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора. ω1 ω3 – ω2 ω3 ω2 ω1 – ω3 ω1, ω2 – массовые части первого и второго растворов соответственно. Для пояснения этого правила сначала решим простейшую задачу. Задача. Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%? 5% 1,5% 30 кг 1,5% 0% 3,5% х кг Ответ: 7 килограммов. Данный метод может использоваться и при решения задач на смеси и сплавы. Отлили часть раствора, отрезали кусок сплава. При этой операции остается неизменной концентрация веществ. Алгебраический способ6 Довольно часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, разбавлять что-либо водой или наблюдать испарение воды. В задачах такого типа эти операции приходится проводить мысленно и выполнять расчёты. Итак, пусть смесь массы М содержит некоторое вещество массой m. Тогда: - концентрацией данного вещества в смеси (сплаве) называется величина c = m/M; - процентным содержанием данного вещества называется величина с× 100%; Из последней формулы следует, что при известных величинах концентрации вещества и общей массы смеси (сплава) масса данного вещества определяется по формуле m=c×M. Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида: 1. Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m1 и m2 и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с1 и с2. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества равна c1m1+c2m2 или c(m1+m2), тогда получаем уравнение: c1m1+c2m2 = c(m1+m2). 2. Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз. При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом доливе смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение. Рассмотрим конкретные задачи. Задача №1. Из сосуда ёмкостью 54 литра, наполненного кислотой, вылили несколько литров и доли сосуд водой. Потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 литра чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз? Решение. Пусть x литров кислоты вылили в первый раз. Тогда в сосуде осталось (54-x) литров. Долив сосуд водой, получим 54 литра смеси, в которой растворилось (54 - х) литров кислоты. Значит, в одном литре смеси содержится  литров кислоты. Всего за два раза вылили= 30 литров кислоты. В результате получили уравнение: x + x× = 30.Решив это уравнение, найдём два корня: х=90 и х=18. Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи. Ответ: в первый раз было вылито 18 литров кислоты. Решение других задач алгебраическим методом смотрите приложение 3. При решении задач на смеси считается, что рассматриваемые смеси однородны: не делается различия между литром как единицей массы и как единицей ёмкости). Этот способ универсальный и им можно пользоваться Метод стаканчиков7 Данный метод заключается в следующем: берут два стакана с раствором, сливают их в третий стакан. Условие задачи – краткая запись в виде трёх стаканов. Проценты заменяем дробью от числа. В каждом стакане: раствор вещество Учитывая, что объём вещества в третьем стакане равен сумме объёмов вешеств в первом и втором стаканах, составляют уравнение , либо систему уравнений.   Решение других задач методом стаканчиков смотрите приложение 4. Метод стаканчиков можно использовать при решении самых сложных задач ЕГЭ. 1 Габриелян О. С.Химия 8 класс.-учебник.М:2010 2 Габриелян О.С. Химия 9 класс.- учебник .М: 2010 3 Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики» лекция 1 – 4 4 Захаров А. Е. Учимся решать задачи на смеси и сплавы// Математика для школьников. 2006. № 3 с. 18 – 21 5 Советский энциклопедический словарь . Москва. Изд. «Советская энциклопедия». 1982. С.740 6 Задачи на смеси и сплавы. Журнал «Математика в школе». № 6. 2004г. 7 Методический журнал для учителей математики «Математика». Изд. Первое сентября. № 11, 2012. С. 33 – 35 |