Задачи вариационного исчисления с функ ционалами обобщенного вида
 Скачать 285 Kb.
|
|
Задачи вариационного исчисления с функ- ционалами обобщенного вида Рассмотрим теперь более общие постановки задач вариационно- го исчисления, а именно случаи, когда оптимизируемый функционал представляется: – интегралом, зависящим от производных высших порядков; – интегралом, зависящим от нескольких неизвестных функций; – кратным интегралом от неизвестной функции нескольких пере- менных; Далее мы будем использовать очевидные аналоги определений для экстремумов и экстремалей, приводя лишь те определения, которые содержат существенно новые условия. 1 Функционалы, зависящие от производных высших порядков Рассмотрим 𝒞 𝑘 [𝑎, 𝑏] – множество всех 𝑘 раз (𝑘 ≥ 2) непрерывно дифференцируемых на [𝑎, 𝑏] вещественных функций, расстояние меж- ду которыми определяется формулой 𝜌 (𝑦 1 (𝑥), 𝑦 2 (𝑥)) = max 𝑥∈[𝑎,𝑏] |𝑦 1 (𝑥) − 𝑦 2 (𝑥)| + 𝑘 ∑︁ 𝑖=1 max 𝑥∈[𝑎,𝑏] ⃒ ⃒ ⃒ 𝑦 (𝑖) 1 (𝑥) − 𝑦 (𝑖) 2 (𝑥) ⃒ ⃒ ⃒ , ∀𝑦 1 (𝑥), 𝑦 2 (𝑥) ∈ 𝒞 𝑘 [𝑎, 𝑏] . Ясно, что в этом случае множество 𝒞 𝑘 [𝑎, 𝑏] является линейным норми- рованным пространством. 2 Пусть 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑝 1 , . . . , 𝑝 𝑘 ) непрерывно дифференцируемая 𝑘 + 1 раз при всех 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑦 ∈ (−∞, +∞) и 𝑝 𝑖 ∈ (−∞, +∞) ∀𝑖 = [1, 𝑘] функция. Рассмотрим функционал 𝐽 (𝑦) = 𝑏 ∫︁ 𝑎 𝐹 (︁ 𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦 ′ (𝑥), 𝑦 ′′ (𝑥), . . . , 𝑦 (𝑘) (𝑥) )︁ 𝑑𝑥 (7.2.1) на множестве 𝒞 𝑘 ⃗ 𝐴 ⃗ 𝐵 [𝑎, 𝑏] ⊆ 𝒞 𝑘 [𝑎, 𝑏] функций 𝑦(𝑥), удовлетворяющих условиям 𝑦 (𝑖) (𝑎) = 𝐴 𝑖 и 𝑦 (𝑖) (𝑏) = 𝐵 𝑖 ∀𝑖 = [0, 𝑘 − 1]. 3 По аналогии с ранее использованной символикой, через 𝒞 𝑘 ⃗ 0⃗ 0 [𝑎, 𝑏] бу- дем обозначать подмножество функций ℎ(𝑥) в 𝒞 𝑘 [𝑎, 𝑏], для которых ℎ (𝑖) (𝑎) = 0 и ℎ (𝑖) (𝑏) = 0 ∀𝑖 = [0, 𝑘 − 1]. Заметим также, что для данно- го класса функций справедлив аналог основной леммы вариационного исчисления. Как и в случае простейшей вариационной задачи из теоремы Лейб- ница следует, что справедливо равенство 𝑑𝐽 (𝑦 + 𝛼ℎ) 𝑑𝛼 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝛼=0 = = 𝑏 ∫︁ 𝑎 (︃ 𝜕𝐹 𝜕𝑦 ℎ(𝑥) + 𝜕𝐹 𝜕𝑦 ′ ℎ ′ (𝑥) + . . . + 𝜕𝐹 𝜕𝑦 (𝑘) ℎ (𝑘) (𝑥) )︃ 𝑑𝑥 , (7.2.2) левая часть которого называется первой вариацией функционала (7.2.1). 4 Повторяя рассуждения проведенные для простейшей вариационной задачи, нетрудно убедиться, что равенство нулю этой первой вариа- ции есть необходимое условие существования экстремума функциона- ла (7.2.1). Более того, выполнив последовательное интегрирование по частям выражения стоящего в правой части (7.2.2), в силу свойств функций ℎ(𝑥) ∈ 𝒞 𝑘 00 [𝑎, 𝑏], можно прийти к заключению, что справедлива Теорема 7.2.1 Если 2𝑘 раз непрерывно дифференцируемая функция 𝑦 * (𝑥) ∈ 𝒞 𝑘 ⃗ 𝐴 ⃗ 𝐵 [𝑎, 𝑏] является слабым экстре- мумом для функционала (7.2.1), то она удовле- творяет уравнению Эйлера – Пуассона 𝜕𝐹 𝜕𝑦 − 𝑑 𝑑𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑦 ′ + 𝑑 2 𝑑𝑥 2 𝜕𝐹 𝜕𝑦 ′′ + . . . + (−1) 𝑘 𝑑 𝑘 𝑑𝑥 𝑘 𝜕𝐹 𝜕𝑦 (𝑘) = 0 . (7.2.3) Эта теорема позволяет выделять «подозрительные на экстремум» для функционала (7.2.1) функции. 5 Функционалы, зависящие от нескольких неизвестных функ- ций Пусть ⃗ 𝒞 1 [𝑎, 𝑏] – множество всех вектор-функций ⃗ 𝑦(𝑥) c непрерывно дифференцируемыми на [𝑎, 𝑏] компонентами 𝑦 𝑘 (𝑥) ∀𝑘 ∈ [1, 𝑛]. В этом случае ⃗ 𝑦 ′ (𝑥) также будет являться вектор-функцией с компонентами 𝑦 ′ 𝑘 (𝑥) ∀𝑘 ∈ [1, 𝑛]. И пусть расстояние между вектор-функциями ⃗ 𝑦 (1) (𝑥) и ⃗ 𝑦 (2) (𝑥) определяется формулой 𝜌 (︀⃗𝑦 (1) (𝑥), ⃗ 𝑦 (2) (𝑥) )︀ = = max 𝑥∈[𝑎,𝑏] 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 | 𝑦 1𝑘 (𝑥) − 𝑦 2𝑘 (𝑥) | + max 𝑥∈[𝑎,𝑏] 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 | 𝑦 ′ 1𝑘 (𝑥) − 𝑦 ′ 2𝑘 (𝑥) | ∀ ⃗ 𝑦 (1) (𝑥), ⃗ 𝑦 (2) (𝑥) ∈ 𝒞 1 [𝑎, 𝑏] . Множество ⃗ 𝒞 1 [𝑎, 𝑏] является линейным нормированным простран- ством. 6 Пусть 𝐹 (𝑥, 𝑦 1 , . . . , 𝑦 𝑛 , 𝑝 1 , . . . , 𝑝 𝑛 ) дважды непрерывно дифференци- руемая при всех 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑦 𝑘 ∈ (−∞, +∞) и 𝑝 𝑘 ∈ (−∞, +∞) ∀𝑘 = [1, 𝑛] функция. Рассмотрим функционал 𝐽 (⃗ 𝑦) = 𝑏 ∫︁ 𝑎 𝐹 (︂ 𝑥, 𝑦 1 (𝑥), . . . , 𝑦 𝑛 (𝑥), 𝑦 ′ 1 (𝑥), . . . , 𝑦 ′ 𝑛 (𝑥) )︂ 𝑑𝑥 (7.2.4) на множестве ⃗ 𝒞 1 ⃗ 𝐴 ⃗ 𝐵 [𝑎, 𝑏] ⊆ ⃗ 𝒞 1 [𝑎, 𝑏] функций ⃗ 𝑦(𝑥), удовлетворяющих усло- виям 𝑦 𝑘 (𝑎) = 𝐴 𝑘 и 𝑦 𝑘 (𝑏) = 𝐵 𝑘 ∀𝑘 = [1, 𝑛]. 7 Будет справедлива Теорема 7.2.2 Если дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция ⃗ 𝑦 * (𝑥) ∈ ⃗ 𝒞 1 ⃗ 𝐴 ⃗ 𝐵 [𝑎, 𝑏] является слабым экстремумом для функционала (7.2.4), то ее ком- поненты удовлетворяют системе уравнений Эйлера 𝜕𝐹 𝜕𝑦 𝑘 − 𝑑 𝑑𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑦 ′ 𝑘 = 0 ∀𝑘 ∈ [1, 𝑛] . (7.2.5) 8 Функционалы, являющиеся кратными интегралами Пусть 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝜉, 𝜂, 𝜅) дважды непрерывно дифференцируемая при всех (𝑥, 𝑦) ∈ Ω и (𝜉, 𝜂, 𝜅) ∈ (−∞, +∞) функция. Рассмотрим функционал 𝐽 (𝑢) = ∫︁ ∫︁ Ω 𝐹 (︂ 𝑥, 𝑦, 𝑢(𝑥, 𝑦), 𝜕𝑢(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥 , 𝜕𝑢(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦 )︂ 𝑑𝑥𝑑𝑦 (7.2.6) на множестве C 1 𝐺 (Ω) ⊆ C 1 (Ω) функций 𝑢(𝑥, 𝑦), удовлетворяющих условию 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝐺(𝑥, 𝑦) ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝜕Ω, где 𝐺(𝑥, 𝑦) некоторая заданная и непрерывная на 𝜕Ω функция. 9 В сделанных предположениях оказывается справедливой Теорема 7.2.2 Если дважды непрерывно дифференцируе- мая вектор-функция 𝑢 * (𝑥, 𝑦) ∈ C 1 𝐺 (Ω) явля- ется слабым экстремумом для функционала (7.2.6), то она удовлетворяет уравнению Эйлера – Остроградского 𝜕𝐹 𝜕𝑢 − 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝜂 − 𝜕 𝜕𝑦 𝜕𝐹 𝜕𝜅 = 0 , (7.2.7) где 𝜂 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 , 𝜅 = 𝜕𝑢 𝜕𝑦 , а 𝜕 𝜕𝑥 и 𝜕 𝜕𝑦 – операторы полных частных производных. 10 Задачи вариационного исчисления с гранич- ными условиями обобщенного вида Рассмотрим возможное обобщение постановки простейшей вариа- ционной задачи для следующего частного случая. Пусть 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑝) дважды непрерывно дифференцируемая при всех 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑦 ∈ (−∞, +∞) и 𝑝 ∈ (−∞, +∞) функция. И пусть 𝑦(𝑥) принадлежит 𝒞 1 𝐴− [𝑎, 𝑏] – множеству непрерывно дифференцируемых на [𝑎, 𝑏] функций таких, что 𝑦(𝑎) = 𝐴. Определение 7.3.1 Задача отыскания слабого экстремума (то есть, поиска функции 𝑦 * (𝑥) ∈ 𝒞 1 𝐴− [𝑎, 𝑏] с 𝑦 * (𝑎) = 𝐴) функционала 𝐽 (𝑦) = 𝑏 ∫︁ 𝑎 𝐹 (︀𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦 ′ (𝑥) )︀ 𝑑𝑥 (7.3.1) называется задачей со свободным концом. Данное название отражает тот факт, что искомая функция при 𝑥 = 𝑏 может иметь любое значение. 11 Необходимое условие оптимальности для задачи со свободным кон- цом дает Теорема 7.3.1 Если дважды непрерывно дифференцируемая функция 𝑦 * (𝑥) ∈ 𝒞 1 𝐴− [𝑎, 𝑏] есть решение задачи со свободным концом, то она удовлетворяет уравне- нию Эйлера 𝜕𝐹 𝜕𝑦 − 𝑑 𝑑𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑦 ′ = 0 и граничному условию 𝜕𝐹 𝜕𝑦 ′ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑥=𝑏 = 0 . (7.3.2) 12 Доказательство. Поскольку 𝑦 * (𝑥) есть решение задачи 7.3.1 (задачи со сво- бодным концом), то 𝛿𝐽 (𝑦 * , ℎ) = 0 для любой ℎ(𝑥) ∈ 𝒞 1 0− [𝑎, 𝑏], то есть такой, что ℎ(𝑥) ∈ 𝒞 1 [𝑎, 𝑏] и ℎ(𝑎) = 0. Используя теорему Лейбница и рассуждая как при доказа- тельстве теоремы 7.1.2, получаем 0 = 𝑑𝐽 (𝑦 * + 𝛼ℎ) 𝑑𝛼 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝛼=0 = 𝑏 ∫︁ 𝑎 (︃ 𝜕𝐹 𝜕𝑦 ℎ(𝑥) + 𝜕𝐹 𝜕𝑦 ′ ℎ ′ (𝑥) )︃ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑦=𝑦 * 𝑑𝑥 . Второе слагаемое в подынтегральной функции можно про- интегрировать по частям. Тогда, с учетом ℎ(𝑎) = 0, прихо- дим к равенству 𝜕𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) 𝜕𝑦 ′ ℎ(𝑥) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑥=𝑏 + 𝑏 ∫︁ 𝑎 (︃ 𝜕𝐹 𝜕𝑦 − 𝑑 𝑑𝑥 𝜕𝐹 𝜕𝑦 ′ )︃⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑦=𝑦 * ℎ(𝑥) 𝑑𝑥 = 0. Последнее равенство должно выполняться при любых ℎ(𝑥) ∈ 𝒞 1 0− [𝑎, 𝑏], в том числе и для таких, что ℎ(𝑏) = 0. То- гда по основной лемме вариационного исчисления получаем, что для 𝑦 * (𝑥) справедливо уравнение Эйлера, а необходимое условие принимает вид 𝜕𝐹 (𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦 ′ (𝑥)) 𝜕𝑦 ′ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑥=𝑏 ℎ(𝑏) = 0 , что в силу произвольности ℎ(𝑏) приводит к равенству (7.3.2). Теорема доказана. 13 Условные вариационные задачи В ряде практически важных вариационных задач дополнительные условия (сужающие множество допустимых вариаций) не сводятся лишь к модификации оптимизируемого функционала или граничных условий, а являются ограничениями более общего вида. Приведем возможную постановку такой задачи. Пусть функции 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑝) и 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑝) дважды непрерывно дифференцируемы при 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] и 𝑦 ; 𝑝 ∈ (−∞, +∞). Рассмотрим задачу отыскания экстремума функционала по 𝑦(𝑥) ∈ 𝒞 1 𝐴𝐵 [𝑎, 𝑏] 𝐽 (𝑦) = 𝑏 ∫︁ 𝑎 𝐹 (𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦 ′ (𝑥)) 𝑑𝑥 (7.4.1) при условии 𝐻(𝑦) = 𝑏 ∫︁ 𝑎 𝐺(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦 ′ (𝑥)) 𝑑𝑥 = 𝑙 , (7.4.2) где 𝐴, 𝐵 и 𝑙 – заданные числа. Уравнение (7.4.2) принято называть условием связи, а функционал (7.4.1) – целевым функционалом. 14 Метод решения изопериметрической задачи – отыскания локально- го слабого экстремума функционала (7.4.1) – при условии (7.4.2), явля- ется аналогом метода множителей Лагранжа для задачи на условный экстремум функций многих переменных. Его основой служат функция Лагранжа 𝐿(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦 ′ (𝑥), 𝜆) = 𝐹 (𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦 ′ (𝑥)) + 𝜆𝐺(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦 ′ (𝑥)) , 𝜆 ∈ 𝑅 и Теорема 7.4.1 Если дважды непрерывно дифференцируемая функция 𝑦 * (𝑥) есть решение изопериметрической задачи и вариация 𝛿𝐻(𝑦 * , ℎ) ̸= 0 ∀ℎ(𝑥) ∈ 𝒞 1 00 [𝑎, 𝑏], тогда найдется такое 𝜆, что 𝑦 * (𝑥) удовлетворяет уравнению Эйлера следующего вида 𝜕𝐿 𝜕𝑦 − 𝑑 𝑑𝑥 𝜕𝐿 𝜕𝑦 ′ = 0 . 15 Проиллюстрируем применение этой теоремы следующими приме- рами. Задача 7.4.1 Решить изопериметрическую задачу для функционала 𝐽 (𝑦) = 1 ∫︁ 0 (𝑦 ′ ) 2 𝑑𝑥 с граничными условиями 𝑦(0) = 0, 𝑦(1) = 2 и условием связи 𝐻(𝑦) = 1 ∫︁ 0 𝑥𝑦 𝑑𝑥 = 1 . 16 Решение. Лагранжиан в данной задаче имеет вид 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝜆) = (𝑦 ′ ) 2 + 𝜆𝑥𝑦. Уравнение Эйлера для него будет 2𝑦 ′′ −𝜆𝑥 = 0 , поскольку 𝜕𝐿 𝜕𝑦 = 𝜆𝑥 , 𝜕𝐿 𝜕𝑦 ′ = 2𝑦 ′ , 𝑑 𝑑𝑥 𝜕𝐿 𝜕𝑦 ′ = 2𝑦 ′′ Подставив общее решение уравнения Эйлера – уравнение экстремалей – 𝑦(𝑥) = 𝜆 12 𝑥 3 + 𝐶 1 𝑥 + 𝐶 2 в условие связи и приняв во внимание граничные условия, находим, что 𝐶 1 = 9 2 , 𝐶 2 = 0 и 𝜆 = −30 и, следовательно, допустимая экстремаль имеет вид 𝑦 * (𝑥) = − 5 2 𝑥 3 + 9 2 Выясним теперь тип найденной допустимой экстремали. Пусть пробная функция ℎ(𝑥) такова, что ℎ(0) = ℎ(1) = 0. 17 Решение получено. Кроме того, условие связи не должно нарушаться при варьировании, поэтому из равенства 1 ∫︁ 0 𝑥(𝑦 * + ℎ) 𝑑𝑥 = 1 должно следовать 1 ∫︁ 0 𝑥ℎ 𝑑𝑥 = 0 . Имеем оценку ∆𝐽 = 𝐽 (𝑦 * + ℎ) − 𝐽 (𝑦 * ) = 1 ∫︁ 0 (︀2(𝑦 * ) ′ ℎ ′ + (ℎ ′ ) 2 )︀ 𝑑𝑥 = (интегрируя по частям первое слагаемое и используя уравнение Эйлера 2(𝑦 * ) ′′ − 𝜆𝑥 = 0, получаем c учетом свойств функции ℎ(𝑥)) = 2𝑦 *′ ℎ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 1 0 − 1 ∫︁ 0 2(𝑦 * ) ′′ ℎ 𝑑𝑥 + 1 ∫︁ 0 (ℎ ′ ) 2 𝑑𝑥 = = −𝜆 1 ∫︁ 0 𝑥ℎ 𝑑𝑥 + 1 ∫︁ 0 (ℎ ′ ) 2 𝑑𝑥 = 1 ∫︁ 0 (ℎ ′ ) 2 𝑑𝑥 ≥ 0 . То есть 𝑦 * (𝑥) доставляет целевому функционалу абсолют- ный минимум. 18 Задача 7.4.2 Среди непрерывно дифференцируемых на промежутке [𝑎, 𝑏] функций 𝑦(𝑥) ≥ 0 таких, что 𝑦(𝑎) = 𝑦(𝑏) = 0 и имеющих график длины 𝐿, найти те, у которых на этом промежутке площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью 𝑂𝑥, максимальна. Решение. Лагранжев функционал в рассматриваемой задаче будет 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝜆) = 𝐽 (𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) + 𝜆𝐻(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) = = 𝑏 ∫︁ 𝑎 𝑦(𝑥) 𝑑𝑥+𝜆 𝑏 ∫︁ 𝑎 (︁ √︁ 1 + 𝑦 ′2 )︁ 𝑑𝑥 = 𝑏 ∫︁ 𝑎 (︁ 𝑦(𝑥)+𝜆 √︁ 1 + 𝑦 ′2 )︁ 𝑑𝑥 . Для этого функционала уравнение Эйлера имеет вид 𝑑 𝑑𝑥 𝜆𝑦 ′ √︁ 1 + 𝑦 ′2 − 1 = 0 , 19 интегрирование которого дает 𝑦 ′ √︁ 1 + 𝑦 ′2 = 𝑥 − 𝐶 1 𝜆 =⇒ 𝑦 ′ (𝑥) = 𝑥 − 𝐶 1 √︁ 𝜆 2 − (𝑥 − 𝐶 1 ) 2 Откуда окончательно получаем, что (𝑥 − 𝐶 1 ) 2 + (𝑦 − 𝐶 2 ) 2 = 𝜆 2 Поскольку система координат ортонормированная, то по- лученное уравнение, определяющее искомую функцию 𝑦(𝑥) , есть уравнение окружности радиуса |𝜆| с центром в точке 𝐴(𝐶 1 , 𝐶 2 ) и проходящей через точки с координата- ми (𝑎, 0) и (𝑏, 0) . См. рис. 7.1. Рис. 1. К решению задачи 7.4.2. 20 Решение получено. Условия 𝑦(𝑎) = 𝑦(𝑏) = 0 , записанные в виде ⎧ ⎨ ⎩ (𝑎 − 𝐶 1 ) 2 + 𝐶 2 2 = 𝜆 2 , (𝑏 − 𝐶 1 ) 2 + 𝐶 2 2 = 𝜆 2 , дают 𝐶 1 = 𝑎 + 𝑏 2 Пусть угол ∠𝑎𝐴𝑏 равен 2𝛼 . Тогда в силу свойств окруж- ности (известных из курса элементарной геометрии) бу- дет справедливо равенство: sin 𝛼 𝛼 = 𝑏 − 𝑎 𝐿 Поскольку это уравнение (в условиях задачи) всегда од- нозначно разрешимо относительно 𝛼 , то значения пара- метров 𝜆 и 𝐶 2 также однозначно могут быть найдены из соотношений 𝜆 = 2𝛼 𝐿 и 𝐶 2 = 𝜆 cos 𝛼 . 21 В заключение отметим, что использование определения экстремума функционала в задачах вариационного исчисления могут иметь огра- ниченную применимость. Проиллюстрируем эту особенность задач вариационного исчисле- ния следующим примером. Теорема 7.5.3 (Нера- венство Виртин- гера) Пусть функция ℎ(𝑥) – непрерывна на [0, 𝜋], – ℎ(0) = ℎ(𝜋) = 0 и – имеет производную с интегрируемым квад- ратом на (0, 𝜋) , тогда справедливо неравенство 𝐼 = 𝜋 ∫︁ 0 (︁ ℎ ′2 (𝑥) − ℎ 2 (𝑥) )︁ 𝑑𝑥 ≥ 0 . (7.5.6) 22 Доказательство. Продолжим функцию ℎ(𝑥) на отрезок [−𝜋, 𝜋] нечетным об- разом. Тогда разложения в ряд Фурье по стандартной три- гонометрической системе для функций ℎ(𝑥) и ℎ ′ (𝑥) будут ℎ(𝑥) = +∞ ∑︁ 𝑘=1 𝑏 𝑘 sin 𝑘𝑥 и ℎ ′ (𝑥) = +∞ ∑︁ 𝑘=1 𝑘 𝑏 𝑘 cos 𝑘𝑥 , причем, в силу равенства Парсеваля, 𝜋 ∫︁ −𝜋 ℎ 2 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝜋 +∞ ∑︁ 𝑘=1 𝑏 2 𝑘 и 𝜋 ∫︁ −𝜋 ℎ ′2 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝜋 +∞ ∑︁ 𝑘=1 𝑘 2 𝑏 2 𝑘 Функции ℎ 2 (𝑥) и ℎ ′2 (𝑥) четные по построению, поэтому 𝐼 = 𝜋 ∫︁ 0 (︁ ℎ ′2 (𝑥) − ℎ 2 (𝑥) )︁ 𝑑𝑥 = 1 2 𝜋 ∫︁ −𝜋 (︁ ℎ ′2 (𝑥) − ℎ 2 (𝑥) )︁ 𝑑𝑥 = = 𝜋 2 +∞ ∑︁ 𝑘=1 (︂ (︀𝑘 2 − 1 )︀ 𝑏 2 𝑘 )︂ ≥ 0 , поскольку 𝑘 ≥ 1 . Теорема доказана. Таким образом, тот факт, что подынтегральная функция предста- вима в виде разности полных квадратов, вообще говоря не позволяет сделать заключение об отсутствии у функционала знаковой опреде- ленности – в данном примере функции ℎ(𝑥) и ℎ ′ (𝑥) не являются неза- висимыми. 23 |